Страница 204 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.179. Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно:

а) правильными дробями;

б) неправильными дробями;

в) натуральными числами?

а) правильными дробями
Взаимно обратными называются два числа, произведение которых равно 1.Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Если дробь положительная, ее значение всегда меньше 1.Допустим, существуют два взаимно обратных числа, и оба они являются правильными дробями. Обозначим их $x$ и $y$.Поскольку $x$ и $y$ — положительные правильные дроби, то выполняются неравенства $0 < x < 1$ и $0 < y < 1$.Если перемножить два положительных числа, каждое из которых меньше 1, то их произведение также будет меньше 1. То есть, $x \cdot y < 1$.Однако, по определению взаимно обратных чисел, их произведение должно быть равно 1 ($x \cdot y = 1$).Возникает противоречие.Можно рассуждать и по-другому. Возьмем любую правильную дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа и $a < b$. Обратным к ней числом будет дробь $\frac{b}{a}$. Так как $a < b$, то в дроби $\frac{b}{a}$ числитель $b$ больше знаменателя $a$. Дробь, у которой числитель больше знаменателя, является неправильной.Таким образом, два взаимно обратных числа не могут быть одновременно правильными дробями.
Ответ: нет, не могут.

б) неправильными дробями
Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Если дробь положительная, ее значение всегда больше или равно 1.Пусть $x$ и $y$ — два взаимно обратных числа ($x \cdot y = 1$), и оба они являются неправильными дробями.Если $x$ — положительная неправильная дробь, то $x \ge 1$.Тогда обратное ему число $y = \frac{1}{x}$. Из условия $x \ge 1$ следует, что $\frac{1}{x} \le 1$, то есть $y \le 1$.С другой стороны, по нашему предположению, $y$ — тоже неправильная дробь, а значит $y \ge 1$.Единственное число, которое одновременно удовлетворяет двум условиям $y \le 1$ и $y \ge 1$, — это число 1.Если $y=1$, то и $x = \frac{1}{y} = \frac{1}{1} = 1$.Число 1 является неправильной дробью, так как его можно представить в виде дроби, где числитель равен знаменателю (например, $\frac{1}{1}$, $\frac{2}{2}$, $\frac{3}{3}$ и т.д.).Следовательно, два взаимно обратных числа могут быть одновременно неправильными дробями, но только в том случае, если оба этих числа равны 1.
Ответ: да, могут, если оба числа равны 1.

в) натуральными числами
Натуральные числа — это числа, используемые при счете: $1, 2, 3, \ldots$.Пусть $n$ и $m$ — два взаимно обратных числа, и оба они натуральные.По определению взаимно обратных чисел, их произведение равно 1: $n \cdot m = 1$.Поскольку $n$ и $m$ — натуральные числа, они не могут быть меньше 1. То есть $n \ge 1$ и $m \ge 1$.Рассмотрим уравнение $n \cdot m = 1$.Если предположить, что хотя бы одно из чисел, например $n$, строго больше 1 (т.е. $n \ge 2$), то для выполнения равенства второе число $m$ должно быть равно $m = \frac{1}{n}$. В этом случае $m$ будет правильной дробью ($0 < m < 1$) и, следовательно, не будет являться натуральным числом.Значит, единственная возможность, при которой $n$ и $m$ являются натуральными числами, — это когда $n=1$. Подставив это значение в уравнение, получим: $1 \cdot m = 1$, откуда $m=1$.Число 1 является натуральным.Таким образом, два взаимно обратных числа могут быть одновременно натуральными, если оба они равны 1.
Ответ: да, могут, если оба числа равны 1.

4.180. Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно:

а) меньше 1;

б) больше 1;

в) равны 1?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Пусть даны два взаимно обратных числа $a$ и $b$. Это означает, что $a \cdot b = 1$, или $b = \frac{1}{a}$. Проанализируем каждый случай.

а) меньше 1

Проверим, могут ли оба числа $a$ и $\frac{1}{a}$ быть меньше 1, то есть $a < 1$ и $\frac{1}{a} < 1$.

Рассмотрим два возможных случая для $a$:

1. Если $a$ — положительное число, то из условия $a < 1$ следует, что $0 < a < 1$. В этом случае обратное число $\frac{1}{a}$ будет больше 1. Например, если $a = \frac{1}{2}$, то $\frac{1}{a} = 2$. Здесь $a < 1$, но $\frac{1}{a} > 1$. Таким образом, для положительных чисел это невозможно.

2. Если $a$ — отрицательное число, то $a < 0$. Любое отрицательное число меньше 1. Обратное к отрицательному числу $a$ число $\frac{1}{a}$ также будет отрицательным, а значит, тоже будет меньше 1. Например, если $a = -2$, то обратное ему число $\frac{1}{a} = -\frac{1}{2}$. Оба числа, $-2$ и $-\frac{1}{2}$, меньше 1. Их произведение равно $(-2) \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$.

Следовательно, взаимно обратные числа могут быть одновременно меньше 1, если они оба отрицательные.

Ответ: Да, могут. Например, числа $-2$ и $-\frac{1}{2}$.

б) больше 1

Проверим, могут ли оба числа $a$ и $\frac{1}{a}$ быть больше 1, то есть $a > 1$ и $\frac{1}{a} > 1$.

Если число $a > 1$, то оно положительное. Разделим обе части неравенства $a > 1$ на $a$. Так как $a > 0$, знак неравенства не изменится:

$\frac{a}{a} > \frac{1}{a}$

$1 > \frac{1}{a}$

Это означает, что если число $a$ больше 1, то обратное ему число $\frac{1}{a}$ всегда будет меньше 1. Таким образом, два взаимно обратных числа не могут быть одновременно больше 1.

Ответ: Нет, не могут.

в) равны 1

Проверим, могут ли оба числа $a$ и $\frac{1}{a}$ быть равны 1, то есть $a = 1$ и $\frac{1}{a} = 1$.

Если мы возьмем число $a = 1$, то обратное ему число будет $\frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1$.

В этом случае оба числа в паре взаимно обратных чисел равны 1. Их произведение равно $1 \cdot 1 = 1$, что удовлетворяет определению взаимно обратных чисел.

Ответ: Да, могут. Это число 1, которое обратно самому себе.

4.181. Какое число обратно самому себе?

Обозначим искомое число как $x$.

Числом, обратным числу $x$, является число $\frac{1}{x}$. По условию задачи, число должно быть равно своему обратному. Это означает, что должно выполняться следующее равенство:

$x = \frac{1}{x}$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на $x$, при условии, что $x \neq 0$ (для нуля обратное число не определено).

$x \cdot x = \frac{1}{x} \cdot x$

$x^2 = 1$

Это уравнение имеет два решения:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Таким образом, существует два числа, которые обратны самим себе: $1$ и $-1$.

Ответ: $1$ и $-1$.

4.182. а) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь. Какое число получится: большее или меньшее 2?

б) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число, меньшее 1? Если да, то приведите два примера.

в) Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число, большее 1? Если да, то приведите два примера.

г) Верно ли, что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число, меньшее этого натурального числа? Если да, то приведите два примера.

а) Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому любая (положительная) правильная дробь меньше 1. При умножении числа на множитель, который меньше 1, произведение всегда будет меньше исходного числа. Таким образом, если число 2 умножить на правильную дробь, результат будет меньше 2.
Например, умножим 2 на правильную дробь $\frac{3}{4}$:
$2 \times \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Число $1.5$ меньше, чем $2$.
Ответ: получится число, меньшее 2.

б) Да, может. Чтобы при умножении числа 3 на правильную дробь $x$ получилось число, меньшее 1, должно выполняться неравенство $3 \times x < 1$. Это означает, что дробь $x$ должна быть меньше $\frac{1}{3}$. Мы можем легко найти такие правильные дроби.
Пример 1: Возьмем дробь $\frac{1}{4}$. Это правильная дробь, и $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$.
$3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Число $\frac{3}{4}$ меньше 1.
Пример 2: Возьмем дробь $\frac{2}{7}$. Это правильная дробь, и $\frac{2}{7} < \frac{1}{3}$ (так как $2 \times 3 < 7 \times 1$, то есть $6 < 7$).
$3 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$. Число $\frac{6}{7}$ меньше 1.
Ответ: да, может. Например, при умножении на $\frac{1}{4}$ получится $\frac{3}{4}$, а при умножении на $\frac{1}{5}$ получится $\frac{3}{5}$.

в) Да, может. Чтобы при умножении числа 4 на правильную дробь $x$ получилось число, большее 1, должно выполняться неравенство $4 \times x > 1$. Это означает, что дробь $x$ должна быть больше $\frac{1}{4}$. Мы можем найти правильные дроби, которые удовлетворяют этому условию.
Пример 1: Возьмем дробь $\frac{1}{2}$. Это правильная дробь, и $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$.
$4 \times \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Число 2 больше 1.
Пример 2: Возьмем дробь $\frac{3}{4}$. Это правильная дробь, и $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$.
$4 \times \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Число 3 больше 1.
Ответ: да, может. Например, при умножении на $\frac{1}{2}$ получится 2, а при умножении на $\frac{3}{4}$ получится 3.

г) Да, это утверждение верно. Правильная дробь всегда меньше 1. При умножении любого натурального (положительного) числа на положительное число, которое меньше 1, результат всегда будет меньше исходного натурального числа.
Пусть $N$ — натуральное число, а $\frac{a}{b}$ — правильная дробь, где $a < b$. Их произведение равно $N \times \frac{a}{b} = \frac{Na}{b}$. Поскольку $a < b$, то $Na < Nb$, и, следовательно, $\frac{Na}{b} < \frac{Nb}{b}$, что равносильно $\frac{Na}{b} < N$.
Пример 1: Умножим натуральное число 5 на правильную дробь $\frac{2}{3}$.
$5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$. Результат $3\frac{1}{3}$ меньше исходного числа 5.
Пример 2: Умножим натуральное число 10 на правильную дробь $\frac{3}{5}$.
$10 \times \frac{3}{5} = \frac{30}{5} = 6$. Результат 6 меньше исходного числа 10.
Ответ: да, верно. Например, $7 \times \frac{1}{2} = 3.5$, что меньше 7; $4 \times \frac{3}{4} = 3$, что меньше 4.

4.183. В равностороннем треугольнике длина стороны равна $\frac{5}{9}$ м. Найдите периметр треугольника.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину. Периметр любой фигуры – это сумма длин всех её сторон.

Обозначим длину стороны треугольника как $a$. По условию задачи дано:
$a = \frac{5}{9}$ м.

Периметр $P$ равностороннего треугольника можно найти по формуле:
$P = a + a + a = 3 \times a$

Подставим значение длины стороны в формулу для вычисления периметра:
$P = 3 \times \frac{5}{9}$

Чтобы умножить целое число на дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений:
$P = \frac{3 \times 5}{9} = \frac{15}{9}$

Полученная дробь $\frac{15}{9}$ является сократимой, так как и числитель (15), и знаменатель (9) делятся на 3:
$P = \frac{15 \div 3}{9 \div 3} = \frac{5}{3}$

Это неправильная дробь, так как числитель больше знаменателя. Выделим из неё целую часть:
$\frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$

Следовательно, периметр треугольника равен $1 \frac{2}{3}$ м.

Ответ: $1 \frac{2}{3}$ м.

4.184. Вычислите периметр квадрата, сторона которого равна:

а) $\frac{1}{4}$ м;

б) $\frac{1}{4}$ дм;

в) $\frac{7}{32}$ м;

г) $\frac{15}{64}$ дм.

Периметр квадрата – это сумма длин всех его сторон. Поскольку у квадрата все четыре стороны равны, его периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ – длина стороны квадрата.

а) Дана сторона квадрата $a = \frac{1}{4}$ м.
Для вычисления периметра умножим длину стороны на 4:
$P = 4 \times \frac{1}{4} = \frac{4 \times 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$ м.
Ответ: 1 м.

б) Дана сторона квадрата $a = \frac{1}{4}$ дм.
Для вычисления периметра умножим длину стороны на 4:
$P = 4 \times \frac{1}{4} = \frac{4 \times 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$ дм.
Ответ: 1 дм.

в) Дана сторона квадрата $a = \frac{7}{32}$ м.
Для вычисления периметра умножим длину стороны на 4:
$P = 4 \times \frac{7}{32} = \frac{4 \times 7}{32}$.
Сократим дробь на 4 (разделим числитель и знаменатель на 4):
$P = \frac{7}{8}$ м.
Ответ: $\frac{7}{8}$ м.

г) Дана сторона квадрата $a = \frac{15}{64}$ дм.
Для вычисления периметра умножим длину стороны на 4:
$P = 4 \times \frac{15}{64} = \frac{4 \times 15}{64}$.
Сократим дробь на 4 (разделим числитель и знаменатель на 4):
$P = \frac{15}{16}$ дм.
Ответ: $\frac{15}{16}$ дм.

4.185. Вычислите:

а) $(\frac{1}{2})^2;$

б) $(\frac{1}{3})^2;$

в) $(\frac{1}{10})^3;$

г) $(\frac{1}{25})^2;$

д) $(\frac{1}{5})^3;$

е) $(\frac{4}{3})^2;$

ж) $(\frac{2}{3})^4;$

з) $(\frac{10}{3})^3.$

а) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Возводим числитель и знаменатель в квадрат (во вторую степень): $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

в) Возводим числитель и знаменатель в куб (в третью степень): $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1^3}{10^3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{10 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{1}{1000}$.
Ответ: $\frac{1}{1000}$.

г) Возводим числитель и знаменатель в квадрат: $(\frac{1}{25})^2 = \frac{1^2}{25^2} = \frac{1}{625}$.
Ответ: $\frac{1}{625}$.

д) Возводим числитель и знаменатель в куб: $(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{1}{125}$.
Ответ: $\frac{1}{125}$.

е) Возводим числитель и знаменатель в квадрат: $(\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \frac{16}{9}$.
При желании, можно представить результат в виде смешанного числа: $1\frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{16}{9}$.

ж) Возводим числитель и знаменатель в четвертую степень: $(\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{16}{81}$.
Ответ: $\frac{16}{81}$.

з) Возводим числитель и знаменатель в куб: $(\frac{10}{3})^3 = \frac{10^3}{3^3} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1000}{27}$.
При желании, можно представить результат в виде смешанного числа: $37\frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1000}{27}$.

4.186. За минуту наполняется $ \frac{1}{20} $ бассейна. Какая часть бассейна наполнится за: 2 мин; 4 мин; 10 мин; 20 мин? За сколько минут наполнится весь бассейн?

Какая часть бассейна наполнится за 2 мин:
Чтобы найти, какая часть бассейна наполнится за определённое время, нужно скорость наполнения ($ \frac{1}{20} $ бассейна в минуту) умножить на это время.
$ \frac{1}{20} \cdot 2 = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} $
Ответ: за 2 минуты наполнится $ \frac{1}{10} $ часть бассейна.

Какая часть бассейна наполнится за 4 мин:
$ \frac{1}{20} \cdot 4 = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $
Ответ: за 4 минуты наполнится $ \frac{1}{5} $ часть бассейна.

Какая часть бассейна наполнится за 10 мин:
$ \frac{1}{20} \cdot 10 = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $
Ответ: за 10 минут наполнится $ \frac{1}{2} $ часть бассейна.

Какая часть бассейна наполнится за 20 мин:
$ \frac{1}{20} \cdot 20 = \frac{20}{20} = 1 $
Ответ: за 20 минут наполнится весь бассейн.

За сколько минут наполнится весь бассейн?
Чтобы найти общее время наполнения, нужно весь объём бассейна (примем его за 1) разделить на скорость наполнения.
$ 1 : \frac{1}{20} = 1 \cdot \frac{20}{1} = 20 $ минут.
Ответ: весь бассейн наполнится за 20 минут.

4.187. За минуту через первую трубу наполняется $\frac{1}{20}$ бассейна, а через вторую трубу — $\frac{1}{10}$ бассейна.

а) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 мин?

б) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 6 мин?

в) Наполнится ли бассейн через обе трубы за 8 мин?

а) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 мин?

Чтобы найти, какую часть бассейна наполнят обе трубы вместе за одну минуту, нужно сложить их производительности (скорости наполнения).
Производительность первой трубы: $ \frac{1}{20} $ бассейна в минуту.
Производительность второй трубы: $ \frac{1}{10} $ бассейна в минуту.
Складываем производительности, приведя дроби к общему знаменателю 20:
$ \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1}{20} + \frac{2}{20} = \frac{1+2}{20} = \frac{3}{20} $
За 1 минуту обе трубы вместе наполнят $ \frac{3}{20} $ бассейна.
Ответ: $ \frac{3}{20} $ бассейна.

б) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 6 мин?

Чтобы найти, какую часть бассейна наполнят обе трубы за 6 минут, нужно их совместную производительность умножить на время.
$ \frac{3}{20} \times 6 = \frac{3 \times 6}{20} = \frac{18}{20} $
Сократим полученную дробь на 2:
$ \frac{18}{20} = \frac{9}{10} $
За 6 минут обе трубы вместе наполнят $ \frac{9}{10} $ бассейна.
Ответ: $ \frac{9}{10} $ бассейна.

в) Наполнится ли бассейн через обе трубы за 8 мин?

Чтобы ответить на этот вопрос, вычислим, какая часть бассейна будет заполнена за 8 минут.
$ \frac{3}{20} \times 8 = \frac{3 \times 8}{20} = \frac{24}{20} $
Весь бассейн принимается за единицу (1), или $ \frac{20}{20} $. Сравним полученный результат с единицей:
$ \frac{24}{20} > \frac{20}{20} $, что означает $ \frac{24}{20} > 1 $.
Так как за 8 минут заполнится часть бассейна, большая единицы, то бассейн полностью наполнится (и даже переполнится).
Ответ: Да, наполнится.