Страница 211 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.203. Автомат фасует масло в пачки по $\frac{1}{5}$ кг. Сколько пачек получится из:

а) 4 кг;

б) 5 кг;

в) 6 кг;

г) 11 кг масла?

Чтобы найти, сколько пачек масла получится, нужно общее количество масла разделить на вес одной пачки. Вес одной пачки составляет $\frac{1}{5}$ кг. Операция деления на дробь эквивалентна умножению на обратную ей дробь. Для $\frac{1}{5}$ обратной дробью является $5$.

а) Найдем, сколько пачек получится из 4 кг масла. Для этого разделим 4 на $\frac{1}{5}$:

$4 \div \frac{1}{5} = 4 \times 5 = 20$ (пачек)

Ответ: 20 пачек.

б) Найдем, сколько пачек получится из 5 кг масла. Для этого разделим 5 на $\frac{1}{5}$:

$5 \div \frac{1}{5} = 5 \times 5 = 25$ (пачек)

Ответ: 25 пачек.

в) Найдем, сколько пачек получится из 6 кг масла. Для этого разделим 6 на $\frac{1}{5}$:

$6 \div \frac{1}{5} = 6 \times 5 = 30$ (пачек)

Ответ: 30 пачек.

г) Найдем, сколько пачек получится из 11 кг масла. Для этого разделим 11 на $\frac{1}{5}$:

$11 \div \frac{1}{5} = 11 \times 5 = 55$ (пачек)

Ответ: 55 пачек.

4.204. Периметр квадрата равен:

а) 16 см;

б) 14 см;

в) 13 см;

г) 17 см.

Найдите длину стороны квадрата.

Периметр квадрата $(P)$ вычисляется по формуле $P = 4 \cdot a$, где $a$ – длина стороны квадрата. Чтобы найти длину стороны квадрата, зная его периметр, необходимо периметр разделить на 4.

Формула для нахождения стороны: $a = P / 4$.

а)

Если периметр равен 16 см, то длина стороны квадрата равна:

$a = 16 \text{ см} / 4 = 4 \text{ см}$

Ответ: 4 см.

б)

Если периметр равен 14 см, то длина стороны квадрата равна:

$a = 14 \text{ см} / 4 = 3,5 \text{ см}$

Ответ: 3,5 см.

в)

Если периметр равен 13 см, то длина стороны квадрата равна:

$a = 13 \text{ см} / 4 = 3,25 \text{ см}$

Ответ: 3,25 см.

г)

Если периметр равен 17 см, то длина стороны квадрата равна:

$a = 17 \text{ см} / 4 = 4,25 \text{ см}$

Ответ: 4,25 см.

4.205. Ленту надо разрезать на равные куски длиной $\frac{1}{5}$ м. Сколько таких кусков получится из ленты длиной:

а) 1 м;

б) 3 м;

в) 11 м;

г) 17 м?

Чтобы найти количество кусков, необходимо общую длину ленты разделить на длину одного куска. Длина одного куска равна $\frac{1}{5}$ м. Операция деления на дробь эквивалентна умножению на обратную ей дробь. Для дроби $\frac{1}{5}$ обратной является дробь $\frac{5}{1}$, что равно 5.

а) 1 м
Вычисляем количество кусков для ленты длиной 1 м:
$1 \div \frac{1}{5} = 1 \times 5 = 5$ (кусков).
Ответ: 5 кусков.

б) 3 м
Вычисляем количество кусков для ленты длиной 3 м:
$3 \div \frac{1}{5} = 3 \times 5 = 15$ (кусков).
Ответ: 15 кусков.

в) 11 м
Вычисляем количество кусков для ленты длиной 11 м:
$11 \div \frac{1}{5} = 11 \times 5 = 55$ (кусков).
Ответ: 55 кусков.

г) 17 м
Вычисляем количество кусков для ленты длиной 17 м:
$17 \div \frac{1}{5} = 17 \times 5 = 85$ (кусков).
Ответ: 85 кусков.

4.206 Числа 20, 30, 40, 50 разделите:

а) на 4;

б) на ${1 \over 4}$.

а)

Чтобы разделить числа 20, 30, 40, 50 на 4, выполним деление для каждого числа:

$20 : 4 = 5$

$30 : 4 = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7,5$

$40 : 4 = 10$

$50 : 4 = \frac{50}{4} = \frac{25}{2} = 12,5$

Ответ: 5; 7,5; 10; 12,5.

б)

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю. Делитель в данном случае — это $\frac{1}{4}$, а обратная ему дробь — это $\frac{4}{1}$, или просто 4. Следовательно, для решения нужно умножить каждое из чисел 20, 30, 40, 50 на 4.

$20 : \frac{1}{4} = 20 \cdot 4 = 80$

$30 : \frac{1}{4} = 30 \cdot 4 = 120$

$40 : \frac{1}{4} = 40 \cdot 4 = 160$

$50 : \frac{1}{4} = 50 \cdot 4 = 200$

Ответ: 80; 120; 160; 200.

4.207 Числа $ \frac{1}{9} $, $ \frac{3}{5} $, $ \frac{3}{2} $, $ \frac{5}{7} $ разделите:

а) на 3;

б) на $ \frac{1}{3} $.

а) Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно представить это число в виде дроби (например, $3 = \frac{3}{1}$) и затем выполнить деление дробей, то есть умножить делимое на дробь, обратную делителю. Или, что то же самое, умножить знаменатель исходной дроби на это натуральное число.
Выполним деление каждого числа на 3:
1) $\frac{1}{9} : 3 = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{9 \cdot 3} = \frac{1}{27}$
2) $\frac{3}{5} : 3 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$. Сократим дробь на 3: $\frac{3:3}{15:3} = \frac{1}{5}$.
3) $\frac{3}{2} : 3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$. Сократим дробь на 3: $\frac{3:3}{6:3} = \frac{1}{2}$.
4) $\frac{5}{7} : 3 = \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{5}{21}$
Ответ: $\frac{1}{27}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{2}$; $\frac{5}{21}$.

б) Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю. Дробь, обратная $\frac{1}{3}$, это $\frac{3}{1}$ или просто 3.
Выполним деление каждого числа на $\frac{1}{3}$:
1) $\frac{1}{9} : \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 1} = \frac{3}{9}$. Сократим дробь на 3: $\frac{3:3}{9:3} = \frac{1}{3}$.
2) $\frac{3}{5} : \frac{1}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 1} = \frac{9}{5}$. Можно представить в виде смешанного числа: $1\frac{4}{5}$.
3) $\frac{3}{2} : \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 1} = \frac{9}{2}$. Можно представить в виде смешанного числа: $4\frac{1}{2}$.
4) $\frac{5}{7} : \frac{1}{3} = \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{1} = \frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \frac{15}{7}$. Можно представить в виде смешанного числа: $2\frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$; $\frac{9}{5}$; $\frac{9}{2}$; $\frac{15}{7}$.

4.208 Запишите в виде дроби частное:

а) $1/2$

б) $2/5$

в) $7/10$

г) $8/5$

Чтобы записать частное двух чисел в виде дроби, нужно делимое записать в числитель дроби, а делитель — в знаменатель. Знак деления (:) заменяется на черту дроби.

а) Частное $1:2$ представляет собой деление 1 на 2. В виде дроби это записывается так: 1 становится числителем, а 2 — знаменателем.

$1:2 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Частное $2:5$ представляет собой деление 2 на 5. Запишем это в виде дроби: 2 — числитель, 5 — знаменатель.

$2:5 = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

в) Частное $7:10$ представляет собой деление 7 на 10. Запишем это в виде дроби: 7 — числитель, 10 — знаменатель.

$7:10 = \frac{7}{10}$

Ответ: $\frac{7}{10}$

г) Частное $8:5$ представляет собой деление 8 на 5. Запишем это в виде дроби: 8 — числитель, 5 — знаменатель.

$8:5 = \frac{8}{5}$

Ответ: $\frac{8}{5}$

Вычислите (4.209–4.213):

4.209. а) $15 : 3;$

б) $13 : 2;$

в) $17 : 4;$

г) $27 : 5;$

д) $123 : 13;$

е) $123 : 12;$

ж) $168 : 22;$

з) $168 : 23.$

а) Чтобы разделить 15 на 3, нужно найти число, которое при умножении на 3 даст 15. Это число 5, так как $5 \cdot 3 = 15$. Деление выполняется без остатка. Ответ: $15 : 3 = 5$.

б) Чтобы разделить 13 на 2 с остатком, найдем наибольшее число до 13, которое делится на 2 без остатка. Это число 12. $12 : 2 = 6$. Теперь найдем остаток, вычтя 12 из 13: $13 - 12 = 1$. Таким образом, 13 разделить на 2 равно 6 и 1 в остатке. Ответ: $13 : 2 = 6$ (ост. 1).

в) Выполним деление 17 на 4 с остатком. Найдем ближайшее к 17 число, меньшее его и делящееся на 4. Это 16. $16 : 4 = 4$. Найдем остаток: $17 - 16 = 1$. Итак, частное равно 4, остаток равен 1. Ответ: $17 : 4 = 4$ (ост. 1).

г) Разделим 27 на 5 с остатком. Найдем наибольшее число, не превосходящее 27, которое делится на 5. Это число 25. $25 : 5 = 5$. Остаток от деления будет равен разности 27 и 25: $27 - 25 = 2$. Ответ: $27 : 5 = 5$ (ост. 2).

д) Выполним деление 123 на 13. Подберем частное. $13 \cdot 9 = 117$. $13 \cdot 10 = 130$. Число 117 — это наибольшее произведение 13 на целое число, которое меньше 123. Значит, неполное частное равно 9. Найдем остаток: $123 - 117 = 6$. Ответ: $123 : 13 = 9$ (ост. 6).

е) Разделим 123 на 12. Мы знаем, что $12 \cdot 10 = 120$. Это значение близко к 123 и меньше его. Найдем остаток: $123 - 120 = 3$. Таким образом, при делении 123 на 12 получается неполное частное 10 и остаток 3. Ответ: $123 : 12 = 10$ (ост. 3).

ж) Выполним деление 168 на 22. Для нахождения неполного частного попробуем умножить 22 на разные числа. $22 \cdot 7 = 154$. $22 \cdot 8 = 176$. Так как 176 больше 168, а 154 меньше, то неполное частное равно 7. Найдем остаток: $168 - 154 = 14$. Ответ: $168 : 22 = 7$ (ост. 14).

з) Разделим 168 на 23. Подберем неполное частное. $23 \cdot 7 = 161$. $23 \cdot 8 = 184$. Поскольку $161 < 168$ и $184 > 168$, неполное частное равно 7. Остаток от деления равен $168 - 161 = 7$. Ответ: $168 : 23 = 7$ (ост. 7).

4.210. а) $(\frac{1}{2} : \frac{3}{4} - \frac{4}{9}) : \frac{3}{5};$

б) $\frac{1}{2} : \frac{3}{8} - \frac{4}{9} : \frac{3}{5};$

в) $\frac{3}{5} : (\frac{9}{10} - \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{9});$

г) $\frac{3}{5} : \frac{9}{10} - \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{9}.$

а) $(\frac{1}{2} : \frac{3}{4} - \frac{4}{9}) : \frac{3}{5}$
Решим по действиям, начиная с выражения в скобках.
1) Выполним деление в скобках: $\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
2) Выполним вычитание в скобках: $\frac{2}{3} - \frac{4}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю 9. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3: $\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9}$. Теперь вычитаем: $\frac{6}{9} - \frac{4}{9} = \frac{6-4}{9} = \frac{2}{9}$.
3) Теперь разделим результат, полученный в скобках, на $\frac{3}{5}$: $\frac{2}{9} : \frac{3}{5} = \frac{2}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 3} = \frac{10}{27}$.
Ответ: $\frac{10}{27}$

б) $\frac{1}{2} : \frac{3}{8} - \frac{4}{9} : \frac{3}{5}$
Согласно порядку действий, сначала выполняем деление (слева направо), а затем вычитание.
1) Первое деление: $\frac{1}{2} : \frac{3}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6}$. Сократим дробь на 2: $\frac{4}{3}$.
2) Второе деление: $\frac{4}{9} : \frac{3}{5} = \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 3} = \frac{20}{27}$.
3) Выполним вычитание: $\frac{4}{3} - \frac{20}{27}$. Приведем дроби к общему знаменателю 27. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 9: $\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{36}{27}$. Вычитаем: $\frac{36}{27} - \frac{20}{27} = \frac{36-20}{27} = \frac{16}{27}$.
Ответ: $\frac{16}{27}$

в) $\frac{3}{5} : (\frac{9}{10} - \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{9})$
Решим по действиям, начиная с выражения в скобках.
1) Выполним умножение в скобках: $\frac{3}{5} \cdot \frac{8}{9}$. Сократим 3 и 9 на 3: $\frac{1}{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 3} = \frac{8}{15}$.
2) Выполним вычитание в скобках: $\frac{9}{10} - \frac{8}{15}$. Общий знаменатель для 10 и 15 равен 30. $\frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{27}{30} - \frac{16}{30} = \frac{27-16}{30} = \frac{11}{30}$.
3) Выполним деление: $\frac{3}{5} : \frac{11}{30} = \frac{3}{5} \cdot \frac{30}{11}$. Сократим 5 и 30 на 5: $\frac{3}{1} \cdot \frac{6}{11} = \frac{18}{11}$.
Ответ: $\frac{18}{11}$

г) $\frac{3}{5} : \frac{9}{10} - \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{9}$
Согласно порядку действий, сначала выполняем деление и умножение, а затем вычитание.
1) Выполним деление: $\frac{3}{5} : \frac{9}{10} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9}$. Сократим 3 и 9 на 3, а 5 и 10 на 5: $\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.
2) Выполним умножение: $\frac{3}{5} \cdot \frac{8}{9}$. Сократим 3 и 9 на 3: $\frac{1}{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{15}$.
3) Выполним вычитание: $\frac{2}{3} - \frac{8}{15}$. Приведем дроби к общему знаменателю 15: $\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$. Вычитаем: $\frac{10}{15} - \frac{8}{15} = \frac{10-8}{15} = \frac{2}{15}$.
Ответ: $\frac{2}{15}$

4.211. а) $4 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{3}{7} - 4 \cdot \frac{1}{35};$

б) $\frac{3}{8} \cdot 5 + \frac{5}{56} - \frac{1}{7} : \frac{1}{5};$

В) $\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6} + \frac{3}{2} : \frac{9}{10} - \frac{3}{2} \cdot \frac{13}{18};$

Г) $\frac{4}{5} : \frac{5}{8} - \frac{4}{5} \cdot \frac{24}{25} + \frac{1}{25} : \frac{5}{4}.$

а) $4 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{3}{7} - 4 \cdot \frac{1}{35}$

Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения. Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4 \cdot (\frac{1}{5} + \frac{3}{7} - \frac{1}{35})$

Теперь выполним действия в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 7 и 35 равен 35.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{7}{35}$

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35}$

Подставим полученные дроби в выражение в скобках:

$\frac{7}{35} + \frac{15}{35} - \frac{1}{35} = \frac{7 + 15 - 1}{35} = \frac{21}{35}$

Сократим дробь $\frac{21}{35}$, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{21 \div 7}{35 \div 7} = \frac{3}{5}$

Теперь умножим результат на 4:

$4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$

Ответ: $2\frac{2}{5}$

б) $\frac{3}{8} \cdot 5 + \frac{5}{56} - \frac{1}{7} \div \frac{1}{5}$

Решим пример, соблюдая порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

1. Выполним умножение: $\frac{3}{8} \cdot 5 = \frac{3 \cdot 5}{8} = \frac{15}{8}$.

2. Выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь: $\frac{1}{7} \div \frac{1}{5} = \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{7}$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{15}{8} + \frac{5}{56} - \frac{5}{7}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8, 56 и 7 равен 56.

$\frac{15}{8} = \frac{15 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{105}{56}$

$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{40}{56}$

5. Выполним сложение и вычитание:

$\frac{105}{56} + \frac{5}{56} - \frac{40}{56} = \frac{105 + 5 - 40}{56} = \frac{70}{56}$

6. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 14:

$\frac{70 \div 14}{56 \div 14} = \frac{5}{4}$

7. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Ответ: $1\frac{1}{4}$

в) $\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6} + \frac{3}{2} \div \frac{9}{10} - \frac{3}{2} \cdot \frac{13}{18}$

В этом примере можно заметить общий множитель $\frac{3}{2}$. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{3}{2} \div \frac{9}{10} = \frac{3}{2} \cdot \frac{10}{9}$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{10}{9} - \frac{3}{2} \cdot \frac{13}{18}$

Вынесем общий множитель $\frac{3}{2}$ за скобки:

$\frac{3}{2} \cdot (\frac{5}{6} + \frac{10}{9} - \frac{13}{18})$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6, 9 и 18 равен 18.

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$

$\frac{10}{9} = \frac{10 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{20}{18}$

Подставим дроби обратно и выполним действия в скобках:

$\frac{3}{2} \cdot (\frac{15}{18} + \frac{20}{18} - \frac{13}{18}) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{15 + 20 - 13}{18}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{22}{18}$

Теперь выполним умножение, предварительно сократив дроби:

$\frac{3}{2} \cdot \frac{22}{18} = \frac{3 \cdot 22}{2 \cdot 18} = \frac{1 \cdot 11}{1 \cdot 6} = \frac{11}{6}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$

Ответ: $1\frac{5}{6}$

г) $\frac{4}{5} \div \frac{5}{8} - \frac{4}{5} \cdot \frac{24}{25} + \frac{1}{25} \div \frac{5}{4}$

Сначала заменим все операции деления на умножение на обратную дробь:

$\frac{4}{5} \cdot \frac{8}{5} - \frac{4}{5} \cdot \frac{24}{25} + \frac{1}{25} \cdot \frac{4}{5}$

Мы видим, что множитель $\frac{4}{5}$ является общим для всех трех слагаемых. Переставим слагаемые для удобства и вынесем его за скобки:

$\frac{4}{5} \cdot \frac{8}{5} - \frac{4}{5} \cdot \frac{24}{25} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{25} = \frac{4}{5} \cdot (\frac{8}{5} - \frac{24}{25} + \frac{1}{25})$

Теперь выполним действия в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 25.

$\frac{8}{5} = \frac{8 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{40}{25}$

Подставим дробь в скобки и вычислим значение:

$\frac{4}{5} \cdot (\frac{40}{25} - \frac{24}{25} + \frac{1}{25}) = \frac{4}{5} \cdot (\frac{40 - 24 + 1}{25}) = \frac{4}{5} \cdot \frac{17}{25}$

Выполним умножение:

$\frac{4 \cdot 17}{5 \cdot 25} = \frac{68}{125}$

Эта дробь несократима.

Ответ: $\frac{68}{125}$

4.212. а) $\frac{\frac{5}{2}}{3}$;

б) $\frac{\frac{5}{2}}{3}$;

в) $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{16}}$;

г) $\frac{\frac{5}{17}}{\frac{15}{34}}$;

д) $\frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}$;

е) $\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}}{2}$;

ж) $\frac{\frac{9}{16}}{\frac{3}{4} - \frac{3}{8}}$;

з) $\frac{\frac{5}{6} - \frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}$;

и) $\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}}$;

к) $\frac{\frac{17}{14} - \frac{5}{7}}{\frac{11}{21} + \frac{1}{7}}$.

а) Исходное выражение представляет собой деление дроби $\frac{5}{2}$ на число 3. Чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить без изменений.
$\frac{\frac{5}{2}}{3} = \frac{5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

б) Исходное выражение представляет собой деление числа 5 на дробь $\frac{2}{3}$. Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной (перевернутую).
$\frac{5}{\frac{2}{3}} = 5 \div \frac{2}{3} = 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$.
Ответ: $\frac{15}{2}$

в) Исходное выражение представляет собой деление дроби $\frac{3}{4}$ на дробь $\frac{9}{16}$. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \div \frac{9}{16} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 9}$.
Сократим множители до умножения: 3 и 9 сокращаются на 3, 16 и 4 сокращаются на 4.
$\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{4}^1} \cdot \frac{\cancel{16}^4}{\cancel{9}^3} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

г) Делим одну дробь на другую, для этого первую дробь умножаем на обратную ко второй.
$\frac{\frac{5}{17}}{\frac{15}{34}} = \frac{5}{17} \div \frac{15}{34} = \frac{5}{17} \cdot \frac{34}{15}$.
Сократим множители: 5 и 15 сокращаются на 5, 34 и 17 сокращаются на 17.
$\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{17}^1} \cdot \frac{\cancel{34}^2}{\cancel{15}^3} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

д) Сначала необходимо выполнить действие в знаменателе (сложение дробей).
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$. Приводим к общему знаменателю 4: $\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $\frac{3}{\frac{3}{4}}$.
Делим число 3 на полученную дробь: $3 \div \frac{3}{4} = 3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{3} = 4$.
Ответ: $4$

е) Сначала необходимо выполнить действие в числителе (вычитание дробей).
$\frac{1}{2} - \frac{1}{6}$. Приводим к общему знаменателю 6: $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $\frac{\frac{1}{3}}{2}$.
Делим полученную дробь на число 2: $\frac{1}{3} \div 2 = \frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

ж) Сначала выполним действие в знаменателе (вычитание дробей).
$\frac{3}{4} - \frac{3}{8}$. Приводим к общему знаменателю 8: $\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{3}{8} = \frac{6}{8} - \frac{3}{8} = \frac{3}{8}$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $\frac{\frac{9}{16}}{\frac{3}{8}}$.
Делим одну дробь на другую: $\frac{9}{16} \div \frac{3}{8} = \frac{9}{16} \cdot \frac{8}{3} = \frac{9 \cdot 8}{16 \cdot 3} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

з) Сначала выполним действие в числителе (вычитание дробей).
$\frac{5}{6} - \frac{2}{3}$. Приводим к общему знаменателю 6: $\frac{5}{6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6}$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}$.
Делим одну дробь на другую: $\frac{1}{6} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

и) Сначала выполним действия в числителе и знаменателе по отдельности.
1. Числитель: $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
2. Знаменатель: $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Теперь разделим результат числителя на результат знаменателя: $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3} \div \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{1} = 2$.
Ответ: $2$

к) Сначала выполним действия в числителе и знаменателе по отдельности.
1. Числитель: $\frac{17}{14} - \frac{5}{7}$. Общий знаменатель 14: $\frac{17}{14} - \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{17}{14} - \frac{10}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
2. Знаменатель: $\frac{11}{21} + \frac{1}{7}$. Общий знаменатель 21: $\frac{11}{21} + \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{11}{21} + \frac{3}{21} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$.
Теперь разделим результат числителя на результат знаменателя: $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

4.213. a) $\frac{\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{3}\right) : \frac{5}{7}}{\left(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{6}{11}}$

б) $\frac{\frac{3}{20} \cdot \left(\frac{7}{12} - \frac{1}{2}\right) + \frac{79}{80}}{\frac{13}{24} : \left(\frac{7}{12} + \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{4}}$

В) $\frac{\left(3 + \frac{7}{11}\right) \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{22}}{\left(5 - \frac{3}{11}\right) : 13 + \frac{1}{2}}$

a) Решим по действиям. Сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя, и в конце разделим первое на второе.
1. Вычислим выражение в скобках в числителе: $ \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 - 1 \cdot 4}{12} = \frac{9-4}{12} = \frac{5}{12} $.
2. Разделим результат на $ \frac{5}{7} $: $ \frac{5}{12} : \frac{5}{7} = \frac{5}{12} \cdot \frac{7}{5} = \frac{7}{12} $.
Таким образом, числитель равен $ \frac{7}{12} $.
3. Вычислим выражение в скобках в знаменателе: $ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 4}{12} = \frac{3+8}{12} = \frac{11}{12} $.
4. Умножим результат на $ \frac{6}{11} $: $ \frac{11}{12} \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $.
Таким образом, знаменатель равен $ \frac{1}{2} $.
5. Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{7}{12} : \frac{1}{2} = \frac{7}{12} \cdot \frac{2}{1} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} $.
Ответ: $ \frac{7}{6} $

б) Решим по действиям. Сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя, и в конце разделим первое на второе.
1. Вычислим выражение в скобках в числителе: $ \frac{7}{12} - \frac{1}{2} = \frac{7}{12} - \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{7-6}{12} = \frac{1}{12} $.
2. Умножим результат на $ \frac{3}{20} $: $ \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{240} = \frac{1}{80} $.
3. Прибавим $ \frac{79}{80} $: $ \frac{1}{80} + \frac{79}{80} = \frac{80}{80} = 1 $.
Таким образом, числитель равен $ 1 $.
4. Вычислим выражение в скобках в знаменателе: $ \frac{7}{12} + \frac{1}{2} = \frac{7}{12} + \frac{6}{12} = \frac{13}{12} $.
5. Разделим $ \frac{13}{24} $ на результат: $ \frac{13}{24} : \frac{13}{12} = \frac{13}{24} \cdot \frac{12}{13} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} $.
6. Вычтем $ \frac{1}{4} $: $ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $.
Таким образом, знаменатель равен $ \frac{1}{4} $.
7. Разделим числитель на знаменатель: $ 1 : \frac{1}{4} = 1 \cdot 4 = 4 $.
Ответ: $ 4 $

в) Решим по действиям. Сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя, и в конце разделим первое на второе.
1. Вычислим выражение в скобках в числителе: $ 3 + \frac{7}{11} = \frac{3 \cdot 11}{11} + \frac{7}{11} = \frac{33+7}{11} = \frac{40}{11} $.
2. Умножим результат на $ \frac{1}{4} $: $ \frac{40}{11} \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{11} $.
3. Вычтем $ \frac{1}{22} $: $ \frac{10}{11} - \frac{1}{22} = \frac{20}{22} - \frac{1}{22} = \frac{19}{22} $.
Таким образом, числитель равен $ \frac{19}{22} $.
4. Вычислим выражение в скобках в знаменателе: $ 5 - \frac{3}{11} = \frac{5 \cdot 11}{11} - \frac{3}{11} = \frac{55-3}{11} = \frac{52}{11} $.
5. Разделим результат на 13: $ \frac{52}{11} : 13 = \frac{52}{11} \cdot \frac{1}{13} = \frac{4 \cdot 13}{11 \cdot 13} = \frac{4}{11} $.
6. Прибавим $ \frac{1}{2} $: $ \frac{4}{11} + \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{22} + \frac{1 \cdot 11}{22} = \frac{8+11}{22} = \frac{19}{22} $.
Таким образом, знаменатель равен $ \frac{19}{22} $.
7. Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{19}{22} : \frac{19}{22} = 1 $.
Ответ: $ 1 $