Страница 218 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.235. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после своего выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в $B$. Через сколько минут после своего выхода из $B$ второй пришёл в $A$?

Обозначим скорость первого пешехода (вышедшего из пункта А) как $v_1$, а скорость второго пешехода (вышедшего из пункта В) как $v_2$.

По условию, пешеходы встретились через 40 минут после выхода. Пусть точка их встречи — C. За это время первый пешеход прошел расстояние $S_{AC}$, а второй — расстояние $S_{BC}$.
$S_{AC} = v_1 \cdot 40$
$S_{BC} = v_2 \cdot 40$

После встречи первому пешеходу, чтобы дойти до пункта В, нужно было пройти расстояние $S_{BC}$. По условию, он затратил на это 32 минуты. Таким образом, мы можем записать:
$S_{BC} = v_1 \cdot 32$

Теперь у нас есть два выражения для расстояния $S_{BC}$. Приравняем их, чтобы найти соотношение скоростей пешеходов:
$v_2 \cdot 40 = v_1 \cdot 32$
Отсюда находим отношение $\frac{v_1}{v_2}$:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$

Второму пешеходу после встречи для того, чтобы дойти до пункта А, нужно пройти расстояние $S_{AC}$. Найдем время $t_{2,ост}$, которое он на это потратил.
$t_{2,ост} = \frac{S_{AC}}{v_2}$
Мы знаем, что $S_{AC} = v_1 \cdot 40$. Подставим это выражение:
$t_{2,ост} = \frac{v_1 \cdot 40}{v_2} = (\frac{v_1}{v_2}) \cdot 40$
Теперь подставим найденное нами соотношение скоростей $\frac{v_1}{v_2} = \frac{5}{4}$:
$t_{2,ост} = \frac{5}{4} \cdot 40 = 5 \cdot 10 = 50$ минут.

Полное время, которое второй пешеход затратил на весь путь из В в А, равно сумме времени до встречи и времени после встречи:
$T_2 = 40 \text{ мин} + t_{2,ост} = 40 + 50 = 90$ минут.

Ответ: 90 минут.

4.236. Из пункта A в пункт B выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта B в A выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и ещё через 3 ч прибыла в пункт B. Сколько времени потратила легковая машина на путь из B в A?

Обозначим расстояние от пункта А до пункта В как $S$, скорость грузовой машины как $v_г$, а скорость легковой машины как $v_л$.

Грузовая машина до встречи ехала 2 часа, а после встречи еще 3 часа. Следовательно, вся ее поездка заняла $2 + 3 = 5$ часов. За это время она прошла весь путь $S$. Таким образом, расстояние можно выразить через скорость грузовой машины: $S = v_г \cdot 5$.

Машины встретились через 2 часа после начала движения. За это время грузовая машина проехала расстояние $S_1 = v_г \cdot 2$, а легковая машина проехала расстояние $S_2 = v_л \cdot 2$. Вместе они проехали все расстояние $S$, то есть $S_1 + S_2 = S$.

После встречи грузовая машина ехала еще 3 часа до пункта В. Это означает, что она проехала оставшееся расстояние, которое равно расстоянию $S_2$, пройденному легковой машиной до встречи. Таким образом, мы можем записать: $S_2 = v_г \cdot 3$.

Теперь у нас есть два выражения для расстояния $S_2$:
$S_2 = v_л \cdot 2$
$S_2 = v_г \cdot 3$
Приравняем их: $v_л \cdot 2 = v_г \cdot 3$.
Отсюда найдем соотношение скоростей: $v_л = \frac{3}{2} v_г = 1.5 v_г$. Это означает, что скорость легковой машины в 1.5 раза больше скорости грузовой.

Теперь найдем общее время, которое легковая машина потратила на весь путь из В в А. Время равно расстояние, деленное на скорость: $T_л = \frac{S}{v_л}$.
Подставим известные нам выражения для $S$ и $v_л$:
$T_л = \frac{5v_г}{1.5v_г}$
Скорость $v_г$ сокращается, и мы получаем:
$T_л = \frac{5}{1.5} = \frac{5}{3/2} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$ часа.

Переведем это время в часы и минуты:
$\frac{10}{3}$ часа = $3\frac{1}{3}$ часа.
Поскольку в одном часе 60 минут, $\frac{1}{3}$ часа = $\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ минут.
Таким образом, легковая машина потратила на весь путь 3 часа 20 минут.

Ответ: 3 часа 20 минут.

4.237. а) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

б) Первый плотник может построить дом за год, второй — за два года, третий — за три года, четвёртый — за четыре года. За какой срок они построят дом при совместной работе?

а) Это задача на совместную работу. Примем весь объём работы (один воз сена) за 1.
1. Определим производительность каждого животного, то есть какую часть воза сена каждое животное съедает за один месяц:
- Производительность лошади: $1 \div 1 = 1$ (воза в месяц).
- Производительность козы: $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ (воза в месяц).
- Производительность овцы: $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ (воза в месяц).

2. Теперь найдём общую производительность, сложив производительности всех животных. Это покажет, какую часть воза они съедят за месяц, работая вместе:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
Приводим дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6}$ (воза в месяц).

3. Чтобы найти время, за которое они вместе съедят один воз сена, нужно весь объём работы (1) разделить на их общую производительность ($\frac{11}{6}$):
$Время = 1 \div \frac{11}{6} = 1 \times \frac{6}{11} = \frac{6}{11}$ месяца.

Ответ: $\frac{6}{11}$ месяца.

б) Эта задача также решается через нахождение общей производительности. Примем всю работу по постройке дома за 1.
1. Определим производительность каждого плотника, то есть какую часть дома каждый из них строит за один год:
- Производительность первого плотника: $1 \div 1 = 1$ (дома в год).
- Производительность второго плотника: $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ (дома в год).
- Производительность третьего плотника: $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ (дома в год).
- Производительность четвёртого плотника: $1 \div 4 = \frac{1}{4}$ (дома в год).

2. Найдём общую производительность всех плотников при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{12}{12} + \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{12+6+4+3}{12} = \frac{25}{12}$ (дома в год).

3. Чтобы найти время, за которое они вместе построят дом, нужно всю работу (1) разделить на их общую производительность ($\frac{25}{12}$):
$Время = 1 \div \frac{25}{12} = 1 \times \frac{12}{25} = \frac{12}{25}$ года.

Ответ: $\frac{12}{25}$ года.

4.238. а) Коза съедает стог сена за 30 дней, а корова — за 20 дней. Телёнку в день требуется половина того, что за день съедают коза и корова вместе. За сколько дней они съедают стог сена втроём?

б) Первый тракторист вспашет поле за 21 ч, второй — за 28 ч, а третьему трактористу на вспашку того же поля требуется в 2 раза больше времени, чем первым двум при совместной работе. За сколько часов совместной работы три тракториста вспашут поле?

а)

Примем весь стог сена за 1.

1. Найдем, какую часть стога съедает коза за один день (её производительность):
$1 : 30 = \frac{1}{30}$ (стога/день)

2. Найдем, какую часть стога съедает корова за один день (её производительность):
$1 : 20 = \frac{1}{20}$ (стога/день)

3. Найдем, какую часть стога съедают коза и корова вместе за один день:
$\frac{1}{30} + \frac{1}{20} = \frac{2}{60} + \frac{3}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ (стога/день)

4. По условию, телёнку в день требуется половина того, что съедают коза и корова вместе. Найдем, какую часть стога съедает телёнок за один день:
$\frac{1}{12} : 2 = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{24}$ (стога/день)

5. Найдем, какую часть стога съедают все трое вместе за один день:
$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ (стога/день)

6. Найдем, за сколько дней они съедят весь стог сена втроём:
$1 : \frac{1}{8} = 1 \cdot 8 = 8$ (дней)

Ответ: 8 дней.

б)

Примем все поле за 1.

1. Найдем производительность первого тракториста (какую часть поля он вспахивает за 1 час):
$1 : 21 = \frac{1}{21}$ (поля/час)

2. Найдем производительность второго тракториста:
$1 : 28 = \frac{1}{28}$ (поля/час)

3. Найдем их совместную производительность:
$\frac{1}{21} + \frac{1}{28} = \frac{4}{84} + \frac{3}{84} = \frac{7}{84} = \frac{1}{12}$ (поля/час)

4. Найдем, за сколько часов они вспашут поле при совместной работе:
$1 : \frac{1}{12} = 12$ (часов)

5. По условию, третьему трактористу требуется в 2 раза больше времени, чем первым двум при совместной работе. Найдем, за сколько часов третий тракторист вспашет поле один:
$12 \cdot 2 = 24$ (часа)

6. Найдем производительность третьего тракториста:
$1 : 24 = \frac{1}{24}$ (поля/час)

7. Найдем совместную производительность трёх трактористов:
$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ (поля/час)

8. Найдем, за сколько часов три тракториста вспашут поле при совместной работе:
$1 : \frac{1}{8} = 8$ (часов)

Ответ: 8 часов.