Страница 221 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.251. Упростите запись смешанной дроби:

а) $3 \frac{2}{8};$

б) $6 \frac{15}{18};$

в) $14 \frac{25}{75};$

г) $5 \frac{26}{39}.$

Чтобы упростить запись смешанной дроби, необходимо упростить (сократить) ее дробную часть. Для этого нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дробной части и разделить их на это число. Целая часть при этом не изменяется.

а) $3 \frac{2}{8}$

Упростим дробную часть $\frac{2}{8}$. Наибольший общий делитель для 2 и 8 равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:

$3 \frac{2}{8} = 3 \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = 3 \frac{1}{4}$

Ответ: $3 \frac{1}{4}$.

б) $6 \frac{15}{18}$

Упростим дробную часть $\frac{15}{18}$. Наибольший общий делитель для 15 и 18 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$6 \frac{15}{18} = 6 \frac{15 \div 3}{18 \div 3} = 6 \frac{5}{6}$

Ответ: $6 \frac{5}{6}$.

в) $14 \frac{25}{75}$

Упростим дробную часть $\frac{25}{75}$. Наибольший общий делитель для 25 и 75 равен 25. Разделим числитель и знаменатель на 25:

$14 \frac{25}{75} = 14 \frac{25 \div 25}{75 \div 25} = 14 \frac{1}{3}$

Ответ: $14 \frac{1}{3}$.

г) $5 \frac{26}{39}$

Упростим дробную часть $\frac{26}{39}$. Наибольший общий делитель для 26 и 39 равен 13. Разделим числитель и знаменатель на 13:

$5 \frac{26}{39} = 5 \frac{26 \div 13}{39 \div 13} = 5 \frac{2}{3}$

Ответ: $5 \frac{2}{3}$.

4.252. Сравните числа:

а) $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$;

б) $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{2}$;

в) $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$;

г) $1\frac{1}{2}$ и $1\frac{1}{3}$;

д) $3\frac{2}{5}$ и $3\frac{1}{2}$;

е) $2\frac{2}{3}$ и $2\frac{3}{4}$;

ж) $2\frac{1}{2}$ и $1\frac{1}{3}$;

з) $3\frac{2}{5}$ и $4\frac{1}{2}$;

и) $3\frac{2}{3}$ и $5\frac{3}{4}$;

к) $1\frac{1}{2}$ и $2\frac{1}{3}$;

л) $4\frac{2}{5}$ и $3\frac{1}{2}$;

м) $5\frac{2}{3}$ и $3\frac{3}{4}$.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 это 6.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$
Сравниваем числители: $3 > 2$. Следовательно, $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{2}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 2 это 10.
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}$
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$
Сравниваем числители: $4 < 5$. Следовательно, $\frac{4}{10} < \frac{5}{10}$.
Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 это 12.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$
Сравниваем числители: $8 < 9$. Следовательно, $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$.
Ответ: $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

г) Для сравнения смешанных чисел $1\frac{1}{2}$ и $1\frac{1}{3}$ сначала сравниваем их целые части. Они равны (1). Затем сравниваем дробные части $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Как показано в пункте а), $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.
Ответ: $1\frac{1}{2} > 1\frac{1}{3}$.

д) Для сравнения смешанных чисел $3\frac{2}{5}$ и $3\frac{1}{2}$ сначала сравниваем их целые части. Они равны (3). Затем сравниваем дробные части $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{2}$. Как показано в пункте б), $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$.
Ответ: $3\frac{2}{5} < 3\frac{1}{2}$.

е) Для сравнения смешанных чисел $2\frac{2}{3}$ и $2\frac{3}{4}$ сначала сравниваем их целые части. Они равны (2). Затем сравниваем дробные части $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Как показано в пункте в), $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.
Ответ: $2\frac{2}{3} < 2\frac{3}{4}$.

ж) Для сравнения смешанных чисел $2\frac{1}{2}$ и $1\frac{1}{3}$ сначала сравниваем их целые части. Целая часть первого числа (2) больше целой части второго числа (1).
Ответ: $2\frac{1}{2} > 1\frac{1}{3}$.

з) Для сравнения смешанных чисел $3\frac{2}{5}$ и $4\frac{1}{2}$ сначала сравниваем их целые части. Целая часть первого числа (3) меньше целой части второго числа (4).
Ответ: $3\frac{2}{5} < 4\frac{1}{2}$.

и) Для сравнения смешанных чисел $3\frac{2}{3}$ и $5\frac{3}{4}$ сначала сравниваем их целые части. Целая часть первого числа (3) меньше целой части второго числа (5).
Ответ: $3\frac{2}{3} < 5\frac{3}{4}$.

к) Для сравнения смешанных чисел $1\frac{1}{2}$ и $2\frac{1}{3}$ сначала сравниваем их целые части. Целая часть первого числа (1) меньше целой части второго числа (2).
Ответ: $1\frac{1}{2} < 2\frac{1}{3}$.

л) Для сравнения смешанных чисел $4\frac{2}{5}$ и $3\frac{1}{2}$ сначала сравниваем их целые части. Целая часть первого числа (4) больше целой части второго числа (3).
Ответ: $4\frac{2}{5} > 3\frac{1}{2}$.

м) Для сравнения смешанных чисел $5\frac{2}{3}$ и $3\frac{3}{4}$ сначала сравниваем их целые части. Целая часть первого числа (5) больше целой части второго числа (3).
Ответ: $5\frac{2}{3} > 3\frac{3}{4}$.

4.253. Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби:

а) $1\frac{1}{2}$;

б) $1\frac{1}{3}$;

в) $1\frac{1}{4}$;

г) $1\frac{2}{3}$;

д) $1\frac{3}{4}$;

е) $2\frac{1}{4}$;

ж) $3\frac{1}{5}$;

з) $8\frac{1}{3}$;

и) $2\frac{2}{5}$;

к) $9\frac{5}{7}$;

л) $1\frac{5}{11}$;

м) $1\frac{4}{13}$;

н) $6\frac{1}{12}$;

о) $4\frac{4}{15}$;

п) $12\frac{2}{3}$.

Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной, нужно умножить её целую часть на знаменатель дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части и результат записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения. Общая формула преобразования выглядит так: $A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

а) $1 \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$. Ответ: $\frac{3}{2}$

б) $1 \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$. Ответ: $\frac{4}{3}$

в) $1 \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$. Ответ: $\frac{5}{4}$

г) $1 \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$. Ответ: $\frac{5}{3}$

д) $1 \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$. Ответ: $\frac{7}{4}$

е) $2 \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. Ответ: $\frac{9}{4}$

ж) $3 \frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$. Ответ: $\frac{16}{5}$

з) $8 \frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3}$. Ответ: $\frac{25}{3}$

и) $2 \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$. Ответ: $\frac{12}{5}$

к) $9 \frac{5}{7} = \frac{9 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{68}{7}$. Ответ: $\frac{68}{7}$

л) $1 \frac{5}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 5}{11} = \frac{16}{11}$. Ответ: $\frac{16}{11}$

м) $1 \frac{4}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 4}{13} = \frac{17}{13}$. Ответ: $\frac{17}{13}$

н) $6 \frac{1}{12} = \frac{6 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{73}{12}$. Ответ: $\frac{73}{12}$

о) $4 \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 4}{15} = \frac{64}{15}$. Ответ: $\frac{64}{15}$

п) $12 \frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{38}{3}$. Ответ: $\frac{38}{3}$

4.254. Выделите целую часть дроби:

а) $\frac{9}{5}$;

б) $\frac{14}{3}$;

в) $\frac{15}{4}$;

г) $\frac{29}{7}$;

д) $\frac{39}{9}$;

е) $\frac{49}{11}$;

ж) $\frac{117}{10}$;

з) $\frac{138}{40}$;

и) $\frac{142}{15}$;

к) $\frac{257}{25}$.

а) $ \frac{9}{5} $

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное будет целой частью, остаток — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.
Делим 9 на 5: $ 9 = 1 \cdot 5 + 4 $.
Неполное частное равно 1 (это целая часть), остаток равен 4 (это новый числитель).
Таким образом, $ \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} $.

Ответ: $ 1\frac{4}{5} $

б) $ \frac{14}{3} $

Делим 14 на 3 с остатком: $ 14 = 4 \cdot 3 + 2 $.
Целая часть — 4, остаток — 2.
Таким образом, $ \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $.

Ответ: $ 4\frac{2}{3} $

в) $ \frac{15}{4} $

Делим 15 на 4 с остатком: $ 15 = 3 \cdot 4 + 3 $.
Целая часть — 3, остаток — 3.
Таким образом, $ \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} $.

Ответ: $ 3\frac{3}{4} $

г) $ \frac{29}{7} $

Делим 29 на 7 с остатком: $ 29 = 4 \cdot 7 + 1 $.
Целая часть — 4, остаток — 1.
Таким образом, $ \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} $.

Ответ: $ 4\frac{1}{7} $

д) $ \frac{39}{9} $

Делим 39 на 9 с остатком: $ 39 = 4 \cdot 9 + 3 $.
Целая часть — 4, остаток — 3. Получаем смешанное число $ 4\frac{3}{9} $.
Дробную часть $ \frac{3}{9} $ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3: $ \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3} $.
Таким образом, $ \frac{39}{9} = 4\frac{1}{3} $.

Ответ: $ 4\frac{1}{3} $

е) $ \frac{49}{11} $

Делим 49 на 11 с остатком: $ 49 = 4 \cdot 11 + 5 $.
Целая часть — 4, остаток — 5.
Таким образом, $ \frac{49}{11} = 4\frac{5}{11} $.

Ответ: $ 4\frac{5}{11} $

ж) $ \frac{117}{10} $

Делим 117 на 10 с остатком: $ 117 = 11 \cdot 10 + 7 $.
Целая часть — 11, остаток — 7.
Таким образом, $ \frac{117}{10} = 11\frac{7}{10} $.

Ответ: $ 11\frac{7}{10} $

з) $ \frac{138}{40} $

Делим 138 на 40 с остатком: $ 138 = 3 \cdot 40 + 18 $.
Целая часть — 3, остаток — 18. Получаем смешанное число $ 3\frac{18}{40} $.
Дробную часть $ \frac{18}{40} $ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2: $ \frac{18 \div 2}{40 \div 2} = \frac{9}{20} $.
Таким образом, $ \frac{138}{40} = 3\frac{9}{20} $.

Ответ: $ 3\frac{9}{20} $

и) $ \frac{142}{15} $

Делим 142 на 15 с остатком: $ 142 = 9 \cdot 15 + 7 $.
Целая часть — 9, остаток — 7.
Таким образом, $ \frac{142}{15} = 9\frac{7}{15} $.

Ответ: $ 9\frac{7}{15} $

к) $ \frac{257}{25} $

Делим 257 на 25 с остатком: $ 257 = 10 \cdot 25 + 7 $.
Целая часть — 10, остаток — 7.
Таким образом, $ \frac{257}{25} = 10\frac{7}{25} $.

Ответ: $ 10\frac{7}{25} $