Страница 220 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.241. а) Как записать неправильную дробь в виде смешанной дроби?

б) Как записать смешанную дробь в виде неправильной дроби?

в) Как сравнивают смешанные дроби?

а) Как записать неправильную дробь в виде смешанной дроби?

Чтобы преобразовать неправильную дробь (у которой числитель больше или равен знаменателю) в смешанную дробь (состоящую из целой и дробной части), необходимо выполнить следующие действия:

1. Разделить числитель на знаменатель с остатком.
2. Полученное неполное частное записать как целую часть смешанной дроби.
3. Остаток от деления записать как числитель дробной части.
4. Знаменатель оставить без изменений.

Общая формула: если $a \div b = q$ (остаток $r$), то $\frac{a}{b} = q\frac{r}{b}$.

Пример: Преобразуем неправильную дробь $\frac{17}{5}$ в смешанную.

1. Делим 17 на 5: $17 \div 5 = 3$ (остаток 2).

2. Неполное частное равно 3 – это целая часть.

3. Остаток равен 2 – это числитель дробной части.

4. Знаменатель остается 5.

Таким образом, $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$.

Ответ: Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанной, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное будет целой частью, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

б) Как записать смешанную дробь в виде неправильной дроби?

Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, нужно:

1. Умножить целую часть на знаменатель дробной части.
2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.
3. Результат записать в числитель новой, неправильной дроби.
4. Знаменатель оставить без изменений.

Общая формула: $q\frac{r}{b} = \frac{q \times b + r}{b}$.

Пример: Преобразуем смешанную дробь $6\frac{3}{4}$ в неправильную.

1. Умножаем целую часть (6) на знаменатель (4): $6 \times 4 = 24$.

2. Прибавляем числитель (3) к результату: $24 + 3 = 27$.

3. 27 – это новый числитель.

4. Знаменатель остается 4.

Таким образом, $6\frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.

Ответ: Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной, нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель дробной части, а результат записать в числитель, оставив знаменатель прежним.

в) Как сравнивают смешанные дроби?

При сравнении смешанных дробей используется следующий алгоритм:

1. Сравнить целые части. Та дробь больше, у которой целая часть больше. Если целые части разные, то дробные части можно не сравнивать.

Пример 1: Сравним $8\frac{1}{3}$ и $5\frac{2}{3}$.
Поскольку целая часть первой дроби (8) больше целой части второй дроби (5), то $8\frac{1}{3} > 5\frac{2}{3}$.

2. Сравнить дробные части. Если целые части смешанных дробей равны, то большей будет та дробь, у которой дробная часть больше.

Пример 2: Сравним $4\frac{5}{6}$ и $4\frac{7}{9}$.
Целые части равны (4). Сравним дробные части: $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{9}$.
Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 9 – это 18.
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18}$
Сравниваем полученные дроби: так как $15 > 14$, то $\frac{15}{18} > \frac{14}{18}$, а значит $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$.
Следовательно, $4\frac{5}{6} > 4\frac{7}{9}$.

Существует также альтернативный способ: можно преобразовать обе смешанные дроби в неправильные (как в пункте б) и затем сравнить их, предварительно приведя к общему знаменателю.

Ответ: Сначала сравнивают целые части смешанных дробей: больше та дробь, у которой целая часть больше. Если целые части равны, сравнивают дробные части: больше та дробь, у которой дробная часть больше.

4.242. Запишите дробь в виде целого числа:

а) $\frac{12}{4} = 12 : 4 = 3;$

б) $\frac{32}{4};$

в) $\frac{56}{7};$

г) $\frac{48}{6};$

д) $\frac{72}{6}.$

б) Чтобы записать дробь в виде целого числа, нужно ее числитель разделить на знаменатель. В данном случае делим 32 на 4.
$\frac{32}{4} = 32 : 4 = 8$.
Ответ: 8

в) Чтобы записать дробь в виде целого числа, нужно ее числитель разделить на знаменатель. В данном случае делим 56 на 7.
$\frac{56}{7} = 56 : 7 = 8$.
Ответ: 8

г) Чтобы записать дробь в виде целого числа, нужно ее числитель разделить на знаменатель. В данном случае делим 48 на 6.
$\frac{48}{6} = 48 : 6 = 8$.
Ответ: 8

д) Чтобы записать дробь в виде целого числа, нужно ее числитель разделить на знаменатель. В данном случае делим 72 на 6.
$\frac{72}{6} = 72 : 6 = 12$.
Ответ: 12

4.243. Является ли данная дробь целым числом:

а) $ \frac{3}{2} $;

б) $ \frac{5}{2} $;

в) $ \frac{4}{3} $;

г) $ \frac{20}{5} $?

Чтобы определить, является ли дробь целым числом, необходимо проверить, делится ли числитель на знаменатель нацело (без остатка).

а) Для дроби $\frac{3}{2}$ разделим числитель 3 на знаменатель 2:

$3 \div 2 = 1.5$

Результат не является целым числом, следовательно, дробь $\frac{3}{2}$ не является целым числом. Ответ: нет.

б) Для дроби $\frac{5}{2}$ разделим числитель 5 на знаменатель 2:

$5 \div 2 = 2.5$

Так как результат не является целым числом, дробь $\frac{5}{2}$ не является целым числом. Ответ: нет.

в) Для дроби $\frac{4}{3}$ разделим числитель 4 на знаменатель 3:

$4 \div 3 = 1$ (остаток 1), или $1.333...$

Поскольку деление не выполняется нацело, дробь $\frac{4}{3}$ не является целым числом. Ответ: нет.

г) Для дроби $\frac{20}{5}$ разделим числитель 20 на знаменатель 5:

$20 \div 5 = 4$

Результатом является целое число 4. Следовательно, дробь $\frac{20}{5}$ является целым числом. Ответ: да.

4.244 Найдите целое число, равное дроби:

а) $ \frac{12}{3} $;

б) $ \frac{40}{20} $;

в) $ \frac{100}{25} $;

г) $ \frac{75}{3} $;

д) $ \frac{1000}{8} $.

а) Чтобы найти целое число, равное дроби $\frac{12}{3}$, необходимо разделить числитель 12 на знаменатель 3.

$\frac{12}{3} = 12 \div 3 = 4$

Ответ: 4

б) Чтобы найти целое число, равное дроби $\frac{40}{20}$, необходимо разделить числитель 40 на знаменатель 20.

$\frac{40}{20} = 40 \div 20 = 2$

Ответ: 2

в) Чтобы найти целое число, равное дроби $\frac{100}{25}$, необходимо разделить числитель 100 на знаменатель 25.

$\frac{100}{25} = 100 \div 25 = 4$

Ответ: 4

г) Чтобы найти целое число, равное дроби $\frac{75}{3}$, необходимо разделить числитель 75 на знаменатель 3.

$\frac{75}{3} = 75 \div 3 = 25$

Ответ: 25

д) Чтобы найти целое число, равное дроби $\frac{1000}{8}$, необходимо разделить числитель 1000 на знаменатель 8.

$\frac{1000}{8} = 1000 \div 8 = 125$

Ответ: 125

4.245. Определите числитель дроби в равенстве:

а) $2 = \frac{}{2};$

б) $2 = \frac{}{3};$

в) $2 = \frac{}{4};$

г) $2 = \frac{}{1}.$

Чтобы определить числитель дроби в каждом равенстве, нужно целое число (в данном случае 2) умножить на знаменатель дроби. Обозначим искомый числитель переменной $x$.

а)

Дано равенство: $2 = \frac{x}{2}$.
Чтобы найти числитель $x$, нужно умножить частное (2) на делитель (2):
$x = 2 \cdot 2$
$x = 4$
Проверка: $\frac{4}{2} = 2$. Равенство верно.

Ответ: 4.

б)

Дано равенство: $2 = \frac{x}{3}$.
Чтобы найти числитель $x$, умножим 2 на 3:
$x = 2 \cdot 3$
$x = 6$
Проверка: $\frac{6}{3} = 2$. Равенство верно.

Ответ: 6.

в)

Дано равенство: $2 = \frac{x}{4}$.
Чтобы найти числитель $x$, умножим 2 на 4:
$x = 2 \cdot 4$
$x = 8$
Проверка: $\frac{8}{4} = 2$. Равенство верно.

Ответ: 8.

г)

Дано равенство: $2 = \frac{x}{1}$.
Чтобы найти числитель $x$, умножим 2 на 1:
$x = 2 \cdot 1$
$x = 2$
Проверка: $\frac{2}{1} = 2$. Равенство верно.

Ответ: 2.

4.246 Запишите числа 3, 5, 7 в виде дроби со знаменателем:

а) 3;

б) 5;

в) 7.

Чтобы представить любое целое число в виде дроби с заданным знаменателем, нужно это число умножить на заданный знаменатель, а результат записать в числитель. Исходный заданный знаменатель остается без изменений. Общая формула: $n = \frac{n \cdot d}{d}$, где $n$ – целое число, а $d$ – заданный знаменатель.

а)

Представим числа 3, 5 и 7 в виде дроби со знаменателем 3.

Для числа 3: $3 = \frac{3 \cdot 3}{3} = \frac{9}{3}$

Для числа 5: $5 = \frac{5 \cdot 3}{3} = \frac{15}{3}$

Для числа 7: $7 = \frac{7 \cdot 3}{3} = \frac{21}{3}$

Ответ: $3 = \frac{9}{3}$; $5 = \frac{15}{3}$; $7 = \frac{21}{3}$.

б)

Представим числа 3, 5 и 7 в виде дроби со знаменателем 5.

Для числа 3: $3 = \frac{3 \cdot 5}{5} = \frac{15}{5}$

Для числа 5: $5 = \frac{5 \cdot 5}{5} = \frac{25}{5}$

Для числа 7: $7 = \frac{7 \cdot 5}{5} = \frac{35}{5}$

Ответ: $3 = \frac{15}{5}$; $5 = \frac{25}{5}$; $7 = \frac{35}{5}$.

в)

Представим числа 3, 5 и 7 в виде дроби со знаменателем 7.

Для числа 3: $3 = \frac{3 \cdot 7}{7} = \frac{21}{7}$

Для числа 5: $5 = \frac{5 \cdot 7}{7} = \frac{35}{7}$

Для числа 7: $7 = \frac{7 \cdot 7}{7} = \frac{49}{7}$

Ответ: $3 = \frac{21}{7}$; $5 = \frac{35}{7}$; $7 = \frac{49}{7}$.

4.247. Запишите сумму в виде смешанной дроби:

а) $5 + \frac{1}{2}$;

б) $13 + \frac{1}{7}$;

в) $2 + \frac{5}{7}$;

г) $17 + \frac{15}{17}$.

Смешанная дробь (или смешанное число) — это запись числа в виде суммы его целой части и правильной дробной части. Чтобы записать сумму целого числа и правильной дроби (дробь, у которой числитель меньше знаменателя) в виде смешанной дроби, нужно просто убрать знак сложения.

а) В сумме $5 + \frac{1}{2}$ число 5 является целой частью, а $\frac{1}{2}$ — правильной дробной частью.
$5 + \frac{1}{2} = 5\frac{1}{2}$
Ответ: $5\frac{1}{2}$

б) В сумме $13 + \frac{1}{7}$ число 13 является целой частью, а $\frac{1}{7}$ — правильной дробной частью.
$13 + \frac{1}{7} = 13\frac{1}{7}$
Ответ: $13\frac{1}{7}$

в) В сумме $2 + \frac{5}{7}$ число 2 является целой частью, а $\frac{5}{7}$ — правильной дробной частью.
$2 + \frac{5}{7} = 2\frac{5}{7}$
Ответ: $2\frac{5}{7}$

г) В сумме $17 + \frac{15}{17}$ число 17 является целой частью, а $\frac{15}{17}$ — правильной дробной частью.
$17 + \frac{15}{17} = 17\frac{15}{17}$
Ответ: $17\frac{15}{17}$

4.248 Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби:

а) $5 \frac{1}{8}$;

б) $7 \frac{5}{18}$;

в) $12 \frac{13}{75}$;

г) $8 \frac{11}{39}$.

а) Смешанная дробь по определению является суммой ее целой части (натурального числа) и дробной части (правильной дроби). Для дроби $5\frac{1}{8}$ целая часть — это натуральное число 5, а дробная часть — правильная дробь $\frac{1}{8}$. Следовательно, мы можем записать эту дробь в виде суммы: $5\frac{1}{8} = 5 + \frac{1}{8}$.
Ответ: $5 + \frac{1}{8}$

б) В смешанной дроби $7\frac{5}{18}$ целой частью является натуральное число 7, а дробной частью — правильная дробь $\frac{5}{18}$. Представим эту дробь в виде суммы ее частей: $7\frac{5}{18} = 7 + \frac{5}{18}$.
Ответ: $7 + \frac{5}{18}$

в) Для смешанной дроби $12\frac{13}{75}$ целая часть равна 12, а дробная часть — $\frac{13}{75}$. Запишем ее в виде суммы натурального числа и правильной дроби: $12\frac{13}{75} = 12 + \frac{13}{75}$.
Ответ: $12 + \frac{13}{75}$

г) В смешанной дроби $8\frac{11}{39}$ целая часть — это 8, а дробная часть — $\frac{11}{39}$. Сумма целой и дробной частей будет выглядеть так: $8\frac{11}{39} = 8 + \frac{11}{39}$.
Ответ: $8 + \frac{11}{39}$

4.249. Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби:

а) $\frac{3}{2}$;

б) $\frac{4}{3}$;

в) $\frac{5}{4}$;

г) $\frac{9}{2}$;

д) $\frac{28}{3}$;

е) $\frac{19}{6}$;

ж) $\frac{17}{5}$;

з) $\frac{38}{13}$;

и) $\frac{42}{15}$;

к) $\frac{57}{8}$.

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Полученное неполное частное будет целой частью смешанной дроби, остаток от деления — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

а) $ \frac{3}{2} $

Делим 3 на 2: $ 3 \div 2 = 1 $ (остаток $ 1 $).

Таким образом, целая часть равна 1, числитель дробной части — 1, а знаменатель — 2.

$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $

Ответ: $ 1\frac{1}{2} $

б) $ \frac{4}{3} $

Делим 4 на 3: $ 4 \div 3 = 1 $ (остаток $ 1 $).

Целая часть равна 1, числитель дробной части — 1, знаменатель — 3.

$ \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $

Ответ: $ 1\frac{1}{3} $

в) $ \frac{5}{4} $

Делим 5 на 4: $ 5 \div 4 = 1 $ (остаток $ 1 $).

Целая часть равна 1, числитель дробной части — 1, знаменатель — 4.

$ \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} $

Ответ: $ 1\frac{1}{4} $

г) $ \frac{9}{2} $

Делим 9 на 2: $ 9 \div 2 = 4 $ (остаток $ 1 $).

Целая часть равна 4, числитель дробной части — 1, знаменатель — 2.

$ \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} $

Ответ: $ 4\frac{1}{2} $

д) $ \frac{28}{3} $

Делим 28 на 3: $ 28 \div 3 = 9 $ (остаток $ 1 $).

Целая часть равна 9, числитель дробной части — 1, знаменатель — 3.

$ \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} $

Ответ: $ 9\frac{1}{3} $

е) $ \frac{19}{6} $

Делим 19 на 6: $ 19 \div 6 = 3 $ (остаток $ 1 $).

Целая часть равна 3, числитель дробной части — 1, знаменатель — 6.

$ \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} $

Ответ: $ 3\frac{1}{6} $

ж) $ \frac{17}{5} $

Делим 17 на 5: $ 17 \div 5 = 3 $ (остаток $ 2 $).

Целая часть равна 3, числитель дробной части — 2, знаменатель — 5.

$ \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} $

Ответ: $ 3\frac{2}{5} $

з) $ \frac{38}{13} $

Делим 38 на 13: $ 38 \div 13 = 2 $ (остаток $ 12 $).

Целая часть равна 2, числитель дробной части — 12, знаменатель — 13.

$ \frac{38}{13} = 2\frac{12}{13} $

Ответ: $ 2\frac{12}{13} $

и) $ \frac{42}{15} $

Делим 42 на 15: $ 42 \div 15 = 2 $ (остаток $ 12 $).

Получаем смешанную дробь $ 2\frac{12}{15} $. Дробную часть можно сократить на 3.

$ \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5} $

Итоговый результат: $ 2\frac{4}{5} $

Ответ: $ 2\frac{4}{5} $

к) $ \frac{57}{8} $

Делим 57 на 8: $ 57 \div 8 = 7 $ (остаток $ 1 $).

Целая часть равна 7, числитель дробной части — 1, знаменатель — 8.

$ \frac{57}{8} = 7\frac{1}{8} $

Ответ: $ 7\frac{1}{8} $

4.250. Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби:

а) $\frac{5}{2}$;

б) $\frac{7}{3}$;

в) $\frac{11}{4}$;

г) $\frac{6}{5}$;

д) $\frac{5}{3}$;

е) $\frac{7}{4}$;

ж) $\frac{9}{5}$;

з) $\frac{7}{5}$;

и) $\frac{72}{10}$;

к) $\frac{38}{7}$;

л) $\frac{25}{6}$;

м) $\frac{54}{13}$;

н) $\frac{26}{9}$;

о) $\frac{49}{8}$;

п) $\frac{90}{11}$.

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное, полученное в результате деления, становится целой частью смешанного числа. Остаток от деления становится числителем дробной части, а знаменатель остается прежним.

а) $\frac{5}{2}$
Делим числитель 5 на знаменатель 2: $5 \div 2 = 2$ (остаток 1).
Целая часть равна 2, числитель дробной части — 1, знаменатель — 2.
Результат: $2\frac{1}{2}$.
Ответ: $2\frac{1}{2}$

б) $\frac{7}{3}$
Делим 7 на 3: $7 \div 3 = 2$ (остаток 1).
Результат: $2\frac{1}{3}$.
Ответ: $2\frac{1}{3}$

в) $\frac{11}{4}$
Делим 11 на 4: $11 \div 4 = 2$ (остаток 3).
Результат: $2\frac{3}{4}$.
Ответ: $2\frac{3}{4}$

г) $\frac{6}{5}$
Делим 6 на 5: $6 \div 5 = 1$ (остаток 1).
Результат: $1\frac{1}{5}$.
Ответ: $1\frac{1}{5}$

д) $\frac{5}{3}$
Делим 5 на 3: $5 \div 3 = 1$ (остаток 2).
Результат: $1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1\frac{2}{3}$

е) $\frac{7}{4}$
Делим 7 на 4: $7 \div 4 = 1$ (остаток 3).
Результат: $1\frac{3}{4}$.
Ответ: $1\frac{3}{4}$

ж) $\frac{9}{5}$
Делим 9 на 5: $9 \div 5 = 1$ (остаток 4).
Результат: $1\frac{4}{5}$.
Ответ: $1\frac{4}{5}$

з) $\frac{7}{5}$
Делим 7 на 5: $7 \div 5 = 1$ (остаток 2).
Результат: $1\frac{2}{5}$.
Ответ: $1\frac{2}{5}$

и) $\frac{72}{10}$
Делим 72 на 10: $72 \div 10 = 7$ (остаток 2).
Получаем дробь $7\frac{2}{10}$. Дробную часть можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Результат: $7\frac{1}{5}$.
Ответ: $7\frac{1}{5}$

к) $\frac{38}{7}$
Делим 38 на 7: $38 \div 7 = 5$ (остаток 3).
Результат: $5\frac{3}{7}$.
Ответ: $5\frac{3}{7}$

л) $\frac{25}{6}$
Делим 25 на 6: $25 \div 6 = 4$ (остаток 1).
Результат: $4\frac{1}{6}$.
Ответ: $4\frac{1}{6}$

м) $\frac{54}{13}$
Делим 54 на 13: $54 \div 13 = 4$ (остаток 2).
Результат: $4\frac{2}{13}$.
Ответ: $4\frac{2}{13}$

н) $\frac{26}{9}$
Делим 26 на 9: $26 \div 9 = 2$ (остаток 8).
Результат: $2\frac{8}{9}$.
Ответ: $2\frac{8}{9}$

о) $\frac{49}{8}$
Делим 49 на 8: $49 \div 8 = 6$ (остаток 1).
Результат: $6\frac{1}{8}$.
Ответ: $6\frac{1}{8}$

п) $\frac{90}{11}$
Делим 90 на 11: $90 \div 11 = 8$ (остаток 2).
Результат: $8\frac{2}{11}$.
Ответ: $8\frac{2}{11}$