Страница 226 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.279. a) $8 \frac{3}{4} - 4;$

б) $6 \frac{2}{5} - 3;$

в) $4 \frac{11}{13} - 3;$

г) $9 \frac{3}{7} - \frac{2}{7};$

д) $7 \frac{3}{5} - \frac{3}{5};$

е) $8 \frac{4}{5} - \frac{3}{5}.$

а) Чтобы вычесть целое число из смешанного числа, нужно вычесть целые части, а дробную часть оставить без изменений.

$8\frac{3}{4} - 4 = (8 - 4) + \frac{3}{4} = 4 + \frac{3}{4} = 4\frac{3}{4}$

Ответ: $4\frac{3}{4}$

б) Вычитаем целую часть из целой части смешанного числа. Дробная часть остается прежней.

$6\frac{2}{5} - 3 = (6 - 3) + \frac{2}{5} = 3 + \frac{2}{5} = 3\frac{2}{5}$

Ответ: $3\frac{2}{5}$

в) Аналогично предыдущим примерам, вычитаем целые части.

$4\frac{11}{13} - 3 = (4 - 3) + \frac{11}{13} = 1 + \frac{11}{13} = 1\frac{11}{13}$

Ответ: $1\frac{11}{13}$

г) Чтобы вычесть дробь из смешанного числа, когда знаменатели дробей одинаковы, нужно вычесть дробные части. Целая часть при этом не меняется.

$9\frac{3}{7} - \frac{2}{7} = 9 + (\frac{3}{7} - \frac{2}{7}) = 9 + \frac{3-2}{7} = 9 + \frac{1}{7} = 9\frac{1}{7}$

Ответ: $9\frac{1}{7}$

д) Вычитаем дробные части. Так как они равны, в результате их вычитания получится ноль.

$7\frac{3}{5} - \frac{3}{5} = 7 + (\frac{3}{5} - \frac{3}{5}) = 7 + 0 = 7$

Ответ: $7$

е) Вычитаем дробные части с одинаковыми знаменателями, целая часть остается без изменений.

$8\frac{4}{5} - \frac{3}{5} = 8 + (\frac{4}{5} - \frac{3}{5}) = 8 + \frac{4-3}{5} = 8 + \frac{1}{5} = 8\frac{1}{5}$

Ответ: $8\frac{1}{5}$

4.280. a) $9 \frac{4}{9} - \frac{1}{3}$;$

б) $8 \frac{3}{16} - \frac{1}{8}$;$

в) $10 \frac{5}{8} - \frac{1}{4}$;$

г) $11 \frac{7}{12} - \frac{1}{4}$;$

д) $13 \frac{19}{36} - \frac{1}{9}$;$

е) $7 \frac{41}{48} - \frac{5}{6}$;$

а)

Чтобы вычесть из смешанного числа дробь, нужно привести дробные части к общему знаменателю и выполнить вычитание дробных частей. Целая часть при этом не изменится, так как дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого.

Исходное выражение: $9\frac{4}{9} - \frac{1}{3}$.

Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{4}{9}$ и $\frac{1}{3}$ равен 9.

Приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 9, умножив ее числитель и знаменатель на 3:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9}$

Теперь выполним вычитание:

$9\frac{4}{9} - \frac{1}{3} = 9\frac{4}{9} - \frac{3}{9} = 9 + (\frac{4}{9} - \frac{3}{9}) = 9 + \frac{4-3}{9} = 9 + \frac{1}{9} = 9\frac{1}{9}$

Ответ: $9\frac{1}{9}$

б)

Исходное выражение: $8\frac{3}{16} - \frac{1}{8}$.

Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{3}{16}$ и $\frac{1}{8}$ равен 16.

Приведем дробь $\frac{1}{8}$ к знаменателю 16, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{2}{16}$

Выполним вычитание:

$8\frac{3}{16} - \frac{1}{8} = 8\frac{3}{16} - \frac{2}{16} = 8 + (\frac{3}{16} - \frac{2}{16}) = 8 + \frac{3-2}{16} = 8 + \frac{1}{16} = 8\frac{1}{16}$

Ответ: $8\frac{1}{16}$

в)

Исходное выражение: $10\frac{5}{8} - \frac{1}{4}$.

Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{5}{8}$ и $\frac{1}{4}$ равен 8.

Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 8, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$

Выполним вычитание:

$10\frac{5}{8} - \frac{1}{4} = 10\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = 10 + (\frac{5}{8} - \frac{2}{8}) = 10 + \frac{5-2}{8} = 10 + \frac{3}{8} = 10\frac{3}{8}$

Ответ: $10\frac{3}{8}$

г)

Исходное выражение: $11\frac{7}{12} - \frac{1}{4}$.

Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{7}{12}$ и $\frac{1}{4}$ равен 12.

Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 12, умножив ее числитель и знаменатель на 3:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$

Выполним вычитание:

$11\frac{7}{12} - \frac{1}{4} = 11\frac{7}{12} - \frac{3}{12} = 11 + (\frac{7}{12} - \frac{3}{12}) = 11 + \frac{7-3}{12} = 11 + \frac{4}{12}$

Сократим дробную часть $\frac{4}{12}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$\frac{4}{12} = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$

В результате получаем: $11 + \frac{1}{3} = 11\frac{1}{3}$

Ответ: $11\frac{1}{3}$

д)

Исходное выражение: $13\frac{19}{36} - \frac{1}{9}$.

Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{19}{36}$ и $\frac{1}{9}$ равен 36.

Приведем дробь $\frac{1}{9}$ к знаменателю 36, умножив ее числитель и знаменатель на 4:

$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{4}{36}$

Выполним вычитание:

$13\frac{19}{36} - \frac{1}{9} = 13\frac{19}{36} - \frac{4}{36} = 13 + (\frac{19}{36} - \frac{4}{36}) = 13 + \frac{19-4}{36} = 13 + \frac{15}{36}$

Сократим дробную часть $\frac{15}{36}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$\frac{15}{36} = \frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$

В результате получаем: $13 + \frac{5}{12} = 13\frac{5}{12}$

Ответ: $13\frac{5}{12}$

е)

Исходное выражение: $7\frac{41}{48} - \frac{5}{6}$.

Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{41}{48}$ и $\frac{5}{6}$ равен 48.

Приведем дробь $\frac{5}{6}$ к знаменателю 48, умножив ее числитель и знаменатель на 8:

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \frac{40}{48}$

Выполним вычитание:

$7\frac{41}{48} - \frac{5}{6} = 7\frac{41}{48} - \frac{40}{48} = 7 + (\frac{41}{48} - \frac{40}{48}) = 7 + \frac{41-40}{48} = 7 + \frac{1}{48} = 7\frac{1}{48}$

Ответ: $7\frac{1}{48}$

4.281. а) $5 \frac{8}{15} - 2 \frac{1}{15};$

б) $12 \frac{3}{7} - 7 \frac{3}{7};$

в) $8 \frac{9}{16} - 3 \frac{5}{16};$

г) $4 \frac{17}{19} - 4 \frac{6}{19};$

д) $17 \frac{7}{16} - 3 \frac{3}{16};$

е) $7 \frac{18}{25} - 7 \frac{8}{25}.$

а) Чтобы вычесть смешанные числа с одинаковыми знаменателями, нужно отдельно вычесть их целые части и отдельно их дробные части.

$5\frac{8}{15} - 2\frac{1}{15} = (5-2) + (\frac{8}{15} - \frac{1}{15}) = 3 + \frac{8-1}{15} = 3 + \frac{7}{15} = 3\frac{7}{15}$

Ответ: $3\frac{7}{15}$

б) Вычитаем отдельно целые и дробные части.

$12\frac{3}{7} - 7\frac{3}{7} = (12-7) + (\frac{3}{7} - \frac{3}{7}) = 5 + 0 = 5$

Ответ: $5$

в) Вычитаем отдельно целые и дробные части, а затем сокращаем полученную дробь.

$8\frac{9}{16} - 3\frac{5}{16} = (8-3) + (\frac{9}{16} - \frac{5}{16}) = 5 + \frac{9-5}{16} = 5 + \frac{4}{16} = 5\frac{4}{16}$

Сократим дробную часть: $\frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$.

Результат: $5\frac{1}{4}$.

Ответ: $5\frac{1}{4}$

г) Вычитаем отдельно целые и дробные части.

$4\frac{17}{19} - 4\frac{6}{19} = (4-4) + (\frac{17}{19} - \frac{6}{19}) = 0 + \frac{17-6}{19} = \frac{11}{19}$

Ответ: $\frac{11}{19}$

д) Вычитаем отдельно целые и дробные части, а затем сокращаем полученную дробь.

$17\frac{7}{16} - 3\frac{3}{16} = (17-3) + (\frac{7}{16} - \frac{3}{16}) = 14 + \frac{7-3}{16} = 14 + \frac{4}{16} = 14\frac{4}{16}$

Сократим дробную часть: $\frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$.

Результат: $14\frac{1}{4}$.

Ответ: $14\frac{1}{4}$

е) Вычитаем отдельно целые и дробные части, а затем сокращаем полученную дробь.

$7\frac{18}{25} - 7\frac{8}{25} = (7-7) + (\frac{18}{25} - \frac{8}{25}) = 0 + \frac{18-8}{25} = \frac{10}{25}$

Сократим дробь: $\frac{10}{25} = \frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

4.282. а) $1 \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$;

б) $1 \frac{1}{5} - \frac{2}{5}$;

в) $1 \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$;

г) $1 \frac{1}{6} - \frac{5}{6}$;

д) $1 \frac{1}{9} - \frac{2}{9}$;

е) $1 \frac{1}{8} - \frac{5}{8}$.

а) Чтобы решить пример $1\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$, можно вычесть дробные части, так как они равны: $1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = 1 + 0 = 1$. Другой способ — преобразовать смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$. Затем выполнить вычитание: $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Ответ: $1$

б) Для вычисления разности $1\frac{1}{5} - \frac{2}{5}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$. Теперь вычтем дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{6}{5} - \frac{2}{5} = \frac{6-2}{5} = \frac{4}{5}$. Ответ: $\frac{4}{5}$

в) Чтобы найти значение выражения $1\frac{1}{4} - \frac{3}{4}$, представим смешанное число $1\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$. Выполним вычитание: $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4}$. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Для решения примера $1\frac{1}{6} - \frac{5}{6}$ переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$. Далее вычтем из полученной дроби $\frac{5}{6}$: $\frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6}$. Сократим результат: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$

д) Вычислим разность $1\frac{1}{9} - \frac{2}{9}$. Сначала преобразуем $1\frac{1}{9}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$. Затем выполним вычитание дробей: $\frac{10}{9} - \frac{2}{9} = \frac{10-2}{9} = \frac{8}{9}$. Эта дробь несократимая. Ответ: $\frac{8}{9}$

е) Чтобы решить пример $1\frac{1}{8} - \frac{5}{8}$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$. Теперь найдем разность дробей: $\frac{9}{8} - \frac{5}{8} = \frac{9-5}{8} = \frac{4}{8}$. Сократим полученную дробь на 4: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$

4.283. a) $1\frac{1}{2} - \frac{1}{6}$;

б) $1\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$;

В) $1\frac{1}{5} - \frac{1}{4}$;

Г) $1\frac{1}{6} - \frac{1}{5}$;

Д) $1\frac{1}{9} - \frac{1}{6}$;

е) $1\frac{1}{8} - \frac{5}{6}$.

а) $1\frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

Для вычитания преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь приведем дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{1}{6}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2 и 6 равен 6.

$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{9}{6} - \frac{1}{6} = \frac{9 - 1}{6} = \frac{8}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

б) $1\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 4:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{5}{4} - \frac{2}{4} = \frac{5 - 2}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

в) $1\frac{1}{5} - \frac{1}{4}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 5 и 4. Это 20. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{24}{20}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$

Выполним вычитание:

$\frac{24}{20} - \frac{5}{20} = \frac{24 - 5}{20} = \frac{19}{20}$

Ответ: $\frac{19}{20}$

г) $1\frac{1}{6} - \frac{1}{5}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 5. Это 30. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{35}{30}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$

Выполним вычитание:

$\frac{35}{30} - \frac{6}{30} = \frac{35 - 6}{30} = \frac{29}{30}$

Ответ: $\frac{29}{30}$

д) $1\frac{1}{9} - \frac{1}{6}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 9 и 6. Это 18. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{10}{9} = \frac{10 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{20}{18}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18}$

Выполним вычитание:

$\frac{20}{18} - \frac{3}{18} = \frac{20 - 3}{18} = \frac{17}{18}$

Ответ: $\frac{17}{18}$

е) $1\frac{1}{8} - \frac{5}{6}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 8 и 6. Это 24. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{9}{8} = \frac{9 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{27}{24}$

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$

Выполним вычитание:

$\frac{27}{24} - \frac{20}{24} = \frac{27 - 20}{24} = \frac{7}{24}$

Ответ: $\frac{7}{24}$

4.284. а) $4 \frac{8}{11} - 1 \frac{9}{11};$

б) $13 \frac{3}{7} - 5 \frac{6}{7};$

В) $7 \frac{5}{13} - 2 \frac{8}{13};$

г) $5 \frac{7}{19} - 4 \frac{16}{19};$

д) $9 \frac{5}{16} - 5 \frac{9}{16};$

е) $8 \frac{8}{25} - 7 \frac{18}{25}.$

а) $4 \frac{8}{11} - 1 \frac{9}{11}$
Чтобы вычесть смешанные числа, мы вычитаем целые и дробные части по отдельности. В данном случае дробная часть уменьшаемого ($\frac{8}{11}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{9}{11}$). Поэтому необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого (у числа 4).
Представим 1 как $\frac{11}{11}$ и добавим её к дробной части:
$4 \frac{8}{11} = 3 + 1 + \frac{8}{11} = 3 + \frac{11}{11} + \frac{8}{11} = 3 \frac{19}{11}$.
Теперь выполним вычитание:
$3 \frac{19}{11} - 1 \frac{9}{11} = (3-1) + (\frac{19}{11} - \frac{9}{11}) = 2 + \frac{10}{11} = 2 \frac{10}{11}$.
Ответ: $2 \frac{10}{11}$.

б) $13 \frac{3}{7} - 5 \frac{6}{7}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{6}{7}$), поэтому занимаем единицу у целой части (у числа 13).
$13 \frac{3}{7} = 12 + 1 + \frac{3}{7} = 12 + \frac{7}{7} + \frac{3}{7} = 12 \frac{10}{7}$.
Теперь вычитаем целые и дробные части:
$12 \frac{10}{7} - 5 \frac{6}{7} = (12-5) + (\frac{10}{7} - \frac{6}{7}) = 7 + \frac{4}{7} = 7 \frac{4}{7}$.
Ответ: $7 \frac{4}{7}$.

в) $7 \frac{5}{13} - 2 \frac{8}{13}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{13}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{8}{13}$). Занимаем единицу у целой части (у числа 7).
$7 \frac{5}{13} = 6 + 1 + \frac{5}{13} = 6 + \frac{13}{13} + \frac{5}{13} = 6 \frac{18}{13}$.
Выполняем вычитание:
$6 \frac{18}{13} - 2 \frac{8}{13} = (6-2) + (\frac{18}{13} - \frac{8}{13}) = 4 + \frac{10}{13} = 4 \frac{10}{13}$.
Ответ: $4 \frac{10}{13}$.

г) $5 \frac{7}{19} - 4 \frac{16}{19}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{7}{19}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{16}{19}$). Занимаем единицу у целой части (у числа 5).
$5 \frac{7}{19} = 4 + 1 + \frac{7}{19} = 4 + \frac{19}{19} + \frac{7}{19} = 4 \frac{26}{19}$.
Выполняем вычитание:
$4 \frac{26}{19} - 4 \frac{16}{19} = (4-4) + (\frac{26}{19} - \frac{16}{19}) = 0 + \frac{10}{19} = \frac{10}{19}$.
Ответ: $\frac{10}{19}$.

д) $9 \frac{5}{16} - 5 \frac{9}{16}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{16}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{9}{16}$). Занимаем единицу у целой части (у числа 9).
$9 \frac{5}{16} = 8 + 1 + \frac{5}{16} = 8 + \frac{16}{16} + \frac{5}{16} = 8 \frac{21}{16}$.
Выполняем вычитание:
$8 \frac{21}{16} - 5 \frac{9}{16} = (8-5) + (\frac{21}{16} - \frac{9}{16}) = 3 + \frac{12}{16} = 3 \frac{12}{16}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{12}{16} = \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4}$.
Таким образом, результат равен $3 \frac{3}{4}$.
Ответ: $3 \frac{3}{4}$.

е) $8 \frac{8}{25} - 7 \frac{18}{25}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{8}{25}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{18}{25}$). Занимаем единицу у целой части (у числа 8).
$8 \frac{8}{25} = 7 + 1 + \frac{8}{25} = 7 + \frac{25}{25} + \frac{8}{25} = 7 \frac{33}{25}$.
Выполняем вычитание:
$7 \frac{33}{25} - 7 \frac{18}{25} = (7-7) + (\frac{33}{25} - \frac{18}{25}) = 0 + \frac{15}{25} = \frac{15}{25}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{15}{25} = \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

4.285. а) $4 \frac{5}{16} - 1 \frac{3}{8}$;

б) $8 \frac{6}{25} - 3 \frac{4}{5}$;

в) $12 \frac{2}{15} - 2 \frac{1}{5}$;

г) $18 \frac{14}{45} - 1 \frac{7}{15}$;

д) $27 \frac{2}{39} - 6 \frac{5}{13}$;

е) $23 \frac{9}{34} - 2 \frac{7}{17}$.

а) $4\frac{5}{16} - 1\frac{3}{8}$

Чтобы вычесть смешанные числа, сначала приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 16 и 8 равен 16.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{6}{16}$

Теперь выражение выглядит так:

$4\frac{5}{16} - 1\frac{6}{16}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{16}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{6}{16}$), нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого. Представим 4 как $3 + 1 = 3 + \frac{16}{16}$.

$4\frac{5}{16} = 3 + 1 + \frac{5}{16} = 3 + \frac{16}{16} + \frac{5}{16} = 3\frac{21}{16}$

Теперь выполним вычитание:

$3\frac{21}{16} - 1\frac{6}{16} = (3 - 1) + (\frac{21}{16} - \frac{6}{16}) = 2 + \frac{15}{16} = 2\frac{15}{16}$

Ответ: $2\frac{15}{16}$

б) $8\frac{6}{25} - 3\frac{4}{5}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 25 и 5 равен 25.

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{20}{25}$

Получаем выражение:

$8\frac{6}{25} - 3\frac{20}{25}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{6}{25}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{20}{25}$), поэтому "займем" единицу у целой части.

$8\frac{6}{25} = 7 + 1 + \frac{6}{25} = 7 + \frac{25}{25} + \frac{6}{25} = 7\frac{31}{25}$

Теперь вычитаем:

$7\frac{31}{25} - 3\frac{20}{25} = (7 - 3) + (\frac{31}{25} - \frac{20}{25}) = 4 + \frac{11}{25} = 4\frac{11}{25}$

Ответ: $4\frac{11}{25}$

в) $12\frac{2}{15} - 2\frac{1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 5 равен 15.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$

Получаем выражение:

$12\frac{2}{15} - 2\frac{3}{15}$

Так как $\frac{2}{15} < \frac{3}{15}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого.

$12\frac{2}{15} = 11 + 1 + \frac{2}{15} = 11 + \frac{15}{15} + \frac{2}{15} = 11\frac{17}{15}$

Теперь вычитаем:

$11\frac{17}{15} - 2\frac{3}{15} = (11 - 2) + (\frac{17}{15} - \frac{3}{15}) = 9 + \frac{14}{15} = 9\frac{14}{15}$

Ответ: $9\frac{14}{15}$

г) $18\frac{14}{45} - 1\frac{7}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 45 и 15 равен 45.

$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{21}{45}$

Получаем выражение:

$18\frac{14}{45} - 1\frac{21}{45}$

Так как $\frac{14}{45} < \frac{21}{45}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого.

$18\frac{14}{45} = 17 + 1 + \frac{14}{45} = 17 + \frac{45}{45} + \frac{14}{45} = 17\frac{59}{45}$

Теперь вычитаем:

$17\frac{59}{45} - 1\frac{21}{45} = (17 - 1) + (\frac{59}{45} - \frac{21}{45}) = 16 + \frac{38}{45} = 16\frac{38}{45}$

Ответ: $16\frac{38}{45}$

д) $27\frac{2}{39} - 6\frac{5}{13}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 39 и 13 равен 39.

$\frac{5}{13} = \frac{5 \cdot 3}{13 \cdot 3} = \frac{15}{39}$

Получаем выражение:

$27\frac{2}{39} - 6\frac{15}{39}$

Так как $\frac{2}{39} < \frac{15}{39}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого.

$27\frac{2}{39} = 26 + 1 + \frac{2}{39} = 26 + \frac{39}{39} + \frac{2}{39} = 26\frac{41}{39}$

Теперь вычитаем:

$26\frac{41}{39} - 6\frac{15}{39} = (26 - 6) + (\frac{41}{39} - \frac{15}{39}) = 20 + \frac{26}{39}$

Сократим дробную часть. Числитель и знаменатель делятся на 13:

$\frac{26}{39} = \frac{26 \div 13}{39 \div 13} = \frac{2}{3}$

Итоговый результат: $20\frac{2}{3}$

Ответ: $20\frac{2}{3}$

е) $23\frac{9}{34} - 2\frac{7}{17}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 34 и 17 равен 34.

$\frac{7}{17} = \frac{7 \cdot 2}{17 \cdot 2} = \frac{14}{34}$

Получаем выражение:

$23\frac{9}{34} - 2\frac{14}{34}$

Так как $\frac{9}{34} < \frac{14}{34}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого.

$23\frac{9}{34} = 22 + 1 + \frac{9}{34} = 22 + \frac{34}{34} + \frac{9}{34} = 22\frac{43}{34}$

Теперь вычитаем:

$22\frac{43}{34} - 2\frac{14}{34} = (22 - 2) + (\frac{43}{34} - \frac{14}{34}) = 20 + \frac{29}{34} = 20\frac{29}{34}$

Ответ: $20\frac{29}{34}$

4.286. а) $4 \frac{1}{30} - 3 \frac{1}{20}$;

б) $14 \frac{1}{12} - 1 \frac{1}{18}$;

В) $3 \frac{9}{25} - 1 \frac{7}{10}$;

г) $13 \frac{1}{24} - 1 \frac{11}{18}$;

д) $13 \frac{1}{18} - 10 \frac{1}{12}$;

е) $16 \frac{2}{25} - 12 \frac{2}{15}$.

а) $4 \frac{1}{30} - 3 \frac{1}{20}$
Для вычитания смешанных чисел, сначала вычтем целые части, а затем дробные.
$4 - 3 = 1$
$\frac{1}{30} - \frac{1}{20}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 30 и 20 равно 60.
$\frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{2}{60}$
$\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{3}{60}$
Получаем: $1 + (\frac{2}{60} - \frac{3}{60}) = 1 - \frac{1}{60}$.
Займем единицу, представив ее в виде дроби со знаменателем 60: $1 = \frac{60}{60}$.
$\frac{60}{60} - \frac{1}{60} = \frac{59}{60}$
Ответ: $\frac{59}{60}$

б) $14 \frac{1}{12} - 1 \frac{1}{18}$
Вычтем целые части: $14 - 1 = 13$.
Вычтем дробные части. Наименьший общий знаменатель для 12 и 18 - это 36.
$\frac{1}{12} - \frac{1}{18} = \frac{1 \cdot 3}{36} - \frac{1 \cdot 2}{36} = \frac{3-2}{36} = \frac{1}{36}$
Сложим целую и дробную части: $13 + \frac{1}{36} = 13 \frac{1}{36}$
Ответ: $13 \frac{1}{36}$

в) $3 \frac{9}{25} - 1 \frac{7}{10}$
Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 25 и 10 равно 50.
$3 \frac{9}{25} = 3 \frac{9 \cdot 2}{25 \cdot 2} = 3 \frac{18}{50}$
$1 \frac{7}{10} = 1 \frac{7 \cdot 5}{10 \cdot 5} = 1 \frac{35}{50}$
Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{18}{50}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{35}{50}$), "займем" единицу у целой части уменьшаемого.
$3 \frac{18}{50} = 2 + 1 + \frac{18}{50} = 2 + \frac{50}{50} + \frac{18}{50} = 2 \frac{68}{50}$
Теперь выполним вычитание:
$2 \frac{68}{50} - 1 \frac{35}{50} = (2-1) + (\frac{68}{50} - \frac{35}{50}) = 1 + \frac{33}{50} = 1 \frac{33}{50}$
Ответ: $1 \frac{33}{50}$

г) $13 \frac{1}{24} - 1 \frac{11}{18}$
Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 24 и 18 равно 72.
$13 \frac{1}{24} = 13 \frac{1 \cdot 3}{24 \cdot 3} = 13 \frac{3}{72}$
$1 \frac{11}{18} = 1 \frac{11 \cdot 4}{18 \cdot 4} = 1 \frac{44}{72}$
Так как $\frac{3}{72} < \frac{44}{72}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого.
$13 \frac{3}{72} = 12 + 1 + \frac{3}{72} = 12 + \frac{72}{72} + \frac{3}{72} = 12 \frac{75}{72}$
Теперь выполним вычитание:
$12 \frac{75}{72} - 1 \frac{44}{72} = (12-1) + (\frac{75}{72} - \frac{44}{72}) = 11 + \frac{31}{72} = 11 \frac{31}{72}$
Ответ: $11 \frac{31}{72}$

д) $13 \frac{1}{18} - 10 \frac{1}{12}$
Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 18 и 12 равно 36.
$13 \frac{1}{18} = 13 \frac{1 \cdot 2}{18 \cdot 2} = 13 \frac{2}{36}$
$10 \frac{1}{12} = 10 \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = 10 \frac{3}{36}$
Так как $\frac{2}{36} < \frac{3}{36}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого.
$13 \frac{2}{36} = 12 + 1 + \frac{2}{36} = 12 + \frac{36}{36} + \frac{2}{36} = 12 \frac{38}{36}$
Теперь выполним вычитание:
$12 \frac{38}{36} - 10 \frac{3}{36} = (12-10) + (\frac{38}{36} - \frac{3}{36}) = 2 + \frac{35}{36} = 2 \frac{35}{36}$
Ответ: $2 \frac{35}{36}$

е) $16 \frac{2}{25} - 12 \frac{2}{15}$
Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 25 и 15 равно 75.
$16 \frac{2}{25} = 16 \frac{2 \cdot 3}{25 \cdot 3} = 16 \frac{6}{75}$
$12 \frac{2}{15} = 12 \frac{2 \cdot 5}{15 \cdot 5} = 12 \frac{10}{75}$
Так как $\frac{6}{75} < \frac{10}{75}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого.
$16 \frac{6}{75} = 15 + 1 + \frac{6}{75} = 15 + \frac{75}{75} + \frac{6}{75} = 15 \frac{81}{75}$
Теперь выполним вычитание:
$15 \frac{81}{75} - 12 \frac{10}{75} = (15-12) + (\frac{81}{75} - \frac{10}{75}) = 3 + \frac{71}{75} = 3 \frac{71}{75}$
Ответ: $3 \frac{71}{75}$

4.287. a) $3 \frac{1}{8} - 2 \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

В) $3 \frac{7}{8} - 2 \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

б) $4 \frac{3}{5} - 2 + \frac{1}{10}$

Г) $3 \frac{5}{14} - 1 - \frac{6}{7}$

а) $3\frac{1}{8} - 2\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

Чтобы решить данный пример, сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$3\frac{1}{8} = \frac{3 \times 8 + 1}{8} = \frac{25}{8}$
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
Теперь выражение выглядит так: $\frac{25}{8} - \frac{8}{3} + \frac{1}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 8, 3 и 6 равно 24.
$\frac{25}{8} = \frac{25 \times 3}{8 \times 3} = \frac{75}{24}$
$\frac{8}{3} = \frac{8 \times 8}{3 \times 8} = \frac{64}{24}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 4}{6 \times 4} = \frac{4}{24}$
Выполним вычисления с дробями с одинаковым знаменателем:
$\frac{75}{24} - \frac{64}{24} + \frac{4}{24} = \frac{75 - 64 + 4}{24} = \frac{11 + 4}{24} = \frac{15}{24}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3:
$\frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$

Ответ: $\frac{5}{8}$

б) $4\frac{3}{5} - 2 + \frac{1}{10}$

В данном примере удобно сначала выполнить действия с целыми частями, а затем с дробными.
$4\frac{3}{5} - 2 + \frac{1}{10} = (4 - 2) + (\frac{3}{5} + \frac{1}{10})$
Вычислим целую часть: $4 - 2 = 2$.
Теперь сложим дробные части. Для этого приведем их к общему знаменателю. НОК для 5 и 10 равно 10.
$\frac{3}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = \frac{6+1}{10} = \frac{7}{10}$
Сложим результат вычислений целой и дробной частей:
$2 + \frac{7}{10} = 2\frac{7}{10}$

Ответ: $2\frac{7}{10}$

в) $3\frac{7}{8} - 2\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Сгруппируем отдельно целые и дробные части.
$3\frac{7}{8} - 2\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = (3 - 2) + (\frac{7}{8} - \frac{3}{4} + \frac{1}{2})$
Вычислим разность целых частей: $3 - 2 = 1$.
Теперь выполним действия с дробными частями. Приведем их к общему знаменателю. НОК для 8, 4 и 2 равно 8.
$\frac{7}{8} - \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{7}{8} - \frac{3 \times 2}{4 \times 2} + \frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{7}{8} - \frac{6}{8} + \frac{4}{8}$
Выполним вычисления:
$\frac{7 - 6 + 4}{8} = \frac{1 + 4}{8} = \frac{5}{8}$
Объединим целую и дробную части:
$1 + \frac{5}{8} = 1\frac{5}{8}$

Ответ: $1\frac{5}{8}$

г) $3\frac{5}{14} - 1 - \frac{6}{7}$

Для решения этого примера преобразуем смешанное число в неправильную дробь, а целое число представим в виде дроби.
$3\frac{5}{14} = \frac{3 \times 14 + 5}{14} = \frac{42+5}{14} = \frac{47}{14}$
$1 = \frac{1}{1}$
Получаем выражение: $\frac{47}{14} - \frac{1}{1} - \frac{6}{7}$.
Приведем все дроби к общему знаменателю. НОК для 14, 1 и 7 равно 14.
$\frac{47}{14} - \frac{1 \times 14}{1 \times 14} - \frac{6 \times 2}{7 \times 2} = \frac{47}{14} - \frac{14}{14} - \frac{12}{14}$
Выполним вычитание:
$\frac{47 - 14 - 12}{14} = \frac{33 - 12}{14} = \frac{21}{14}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 21 и 14 равен 7.
$\frac{21 \div 7}{14 \div 7} = \frac{3}{2}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$

4.288. a) $2 \frac{13}{30} - \left(1 \frac{1}{10} + \frac{1}{5}\right)$;

б) $2 \frac{8}{15} - \left(1 \frac{3}{10} + \frac{2}{5}\right)$;

В) $4 \frac{14}{45} - 1 \frac{7}{15} - \frac{3}{5}$;

Г) $4 \frac{11}{30} - 2 \frac{9}{20} - \frac{1}{10}$.

а) $2\frac{13}{30} - (1\frac{1}{10} + \frac{1}{5})$

1. Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 10:

$1\frac{1}{10} + \frac{1}{5} = 1\frac{1}{10} + \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 1\frac{1}{10} + \frac{2}{10} = 1\frac{3}{10}$

2. Теперь выполним вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$2\frac{13}{30} - 1\frac{3}{10} = 2\frac{13}{30} - 1\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = 2\frac{13}{30} - 1\frac{9}{30}$

3. Вычтем целые и дробные части по отдельности:

$(2-1) + (\frac{13}{30} - \frac{9}{30}) = 1 + \frac{4}{30} = 1\frac{4}{30}$

4. Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$1\frac{4}{30} = 1\frac{2}{15}$

Ответ: $1\frac{2}{15}$

б) $2\frac{8}{15} - (1\frac{3}{10} + \frac{2}{5})$

1. Выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для 10 и 5 равен 10.

$1\frac{3}{10} + \frac{2}{5} = 1\frac{3}{10} + \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 1\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = 1\frac{7}{10}$

2. Теперь выполним вычитание. Найдем наименьший общий знаменатель для 15 и 10. НОК(15, 10) = 30.

$2\frac{8}{15} - 1\frac{7}{10} = 2\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} - 1\frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = 2\frac{16}{30} - 1\frac{21}{30}$

3. Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{16}{30}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{21}{30}$), "займем" единицу у целой части уменьшаемого:

$2\frac{16}{30} = 1 + 1 + \frac{16}{30} = 1 + \frac{30}{30} + \frac{16}{30} = 1\frac{46}{30}$

4. Произведем вычитание:

$1\frac{46}{30} - 1\frac{21}{30} = (1 - 1) + (\frac{46}{30} - \frac{21}{30}) = 0 + \frac{25}{30} = \frac{25}{30}$

5. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{25}{30} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

в) $4\frac{14}{45} - 1\frac{7}{15} - \frac{3}{5}$

1. Чтобы выполнить вычитание, приведем все дроби к общему знаменателю. НОК(45, 15, 5) = 45.

$4\frac{14}{45} - 1\frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} - \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = 4\frac{14}{45} - 1\frac{21}{45} - \frac{27}{45}$

2. Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{14}{45} = \frac{4 \cdot 45 + 14}{45} = \frac{194}{45}$

$1\frac{21}{45} = \frac{1 \cdot 45 + 21}{45} = \frac{66}{45}$

3. Выполним вычитание:

$\frac{194}{45} - \frac{66}{45} - \frac{27}{45} = \frac{194 - 66 - 27}{45} = \frac{128 - 27}{45} = \frac{101}{45}$

4. Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{101}{45} = 2\frac{11}{45}$

Ответ: $2\frac{11}{45}$

г) $4\frac{11}{30} - 2\frac{9}{20} - \frac{1}{10}$

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. НОК(30, 20, 10) = 60.

$4\frac{11 \cdot 2}{30 \cdot 2} - 2\frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 6}{10 \cdot 6} = 4\frac{22}{60} - 2\frac{27}{60} - \frac{6}{60}$

2. Для удобства преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{22}{60} = \frac{4 \cdot 60 + 22}{60} = \frac{240 + 22}{60} = \frac{262}{60}$

$2\frac{27}{60} = \frac{2 \cdot 60 + 27}{60} = \frac{120 + 27}{60} = \frac{147}{60}$

3. Выполним вычитание:

$\frac{262}{60} - \frac{147}{60} - \frac{6}{60} = \frac{262 - 147 - 6}{60} = \frac{115 - 6}{60} = \frac{109}{60}$

4. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{109}{60} = 1\frac{49}{60}$

Ответ: $1\frac{49}{60}$