Страница 230 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (4.300–4.302):

4.300. a) $4\frac{1}{12} \cdot 8\frac{6}{7} \cdot 6$;

б) $6\frac{1}{4} \cdot 1\frac{2}{5} \cdot 8$;

в) $5\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{14}{19}$;

г) $3\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} : \frac{9}{16}$;

д) $5\frac{5}{7} \cdot \frac{5}{12} \cdot 5\frac{1}{4} \cdot \frac{6}{7} : 1\frac{1}{2}$;

е) $\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{4} : 7\frac{1}{2}$;

ж) $\frac{3}{7} : 1\frac{1}{7} : 1\frac{7}{8} : \frac{11}{25} : 1\frac{1}{22} : 3\frac{2}{11}$;

з) $\frac{15}{16} : 1\frac{1}{48} : 2\frac{1}{7} : 2\frac{2}{49} : \frac{24}{125}$.

а) Для вычисления выражения $4\frac{1}{12} \cdot 8\frac{6}{7} \cdot 6$ сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а затем выполним умножение, сокращая дроби по возможности.

$4\frac{1}{12} = \frac{4 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{49}{12}$

$8\frac{6}{7} = \frac{8 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{62}{7}$

$\frac{49}{12} \cdot \frac{62}{7} \cdot 6 = \frac{49 \cdot 62 \cdot 6}{12 \cdot 7} = \frac{(7 \cdot \cancel{7}) \cdot 62 \cdot \cancel{6}}{(\cancel{6} \cdot 2) \cdot \cancel{7}} = \frac{7 \cdot 62}{2} = 7 \cdot 31 = 217$.

Ответ: $217$.

б) Для вычисления выражения $6\frac{1}{4} \cdot 1\frac{2}{5} \cdot 8$ преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним умножение.

$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$

$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$

$\frac{25}{4} \cdot \frac{7}{5} \cdot 8 = \frac{25 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 5} = \frac{(\cancel{5} \cdot 5) \cdot 7 \cdot (\cancel{4} \cdot 2)}{\cancel{4} \cdot \cancel{5}} = 5 \cdot 7 \cdot 2 = 70$.

Ответ: $70$.

в) Вычислим $5\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{14}{19}$.

$5\frac{3}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{38}{7}$

$\frac{38}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{14}{19} = \frac{38 \cdot 5 \cdot 14}{7 \cdot 9 \cdot 19} = \frac{(2 \cdot \cancel{19}) \cdot 5 \cdot (\cancel{7} \cdot 2)}{\cancel{7} \cdot 9 \cdot \cancel{19}} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 2}{9} = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}$.

Ответ: $2\frac{2}{9}$.

г) Вычислим $3\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} : \frac{9}{16}$. Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь.

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$

$\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2} : \frac{9}{16} = \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{27 \cdot 1 \cdot 16}{8 \cdot 2 \cdot 9} = \frac{(3 \cdot \cancel{9}) \cdot (\cancel{8} \cdot \cancel{2})}{\cancel{8} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{9}} = 3$.

Ответ: $3$.

д) Вычислим $5\frac{5}{7} \cdot \frac{5}{12} \cdot 5\frac{1}{4} \cdot \frac{6}{7} : 1\frac{1}{2}$.

Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби и заменим деление умножением:

$5\frac{5}{7} = \frac{40}{7}$; $5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$; $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

$\frac{40}{7} \cdot \frac{5}{12} \cdot \frac{21}{4} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{40 \cdot 5 \cdot 21 \cdot 6 \cdot 2}{7 \cdot 12 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{(10 \cdot \cancel{4}) \cdot 5 \cdot (\cancel{3} \cdot \cancel{7}) \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{2}}{\cancel{7} \cdot (\cancel{6} \cdot \cancel{2}) \cdot \cancel{4} \cdot 7 \cdot \cancel{3}} = \frac{10 \cdot 5}{7} = \frac{50}{7} = 7\frac{1}{7}$.

Ответ: $7\frac{1}{7}$.

е) Вычислим $\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{4} : 7\frac{1}{2}$.

В этом выражении есть умножение на $7\frac{1}{2}$ и деление на $7\frac{1}{2}$. Так как это взаимно обратные операции, они сокращаются. Выражение упрощается до:

$\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 2\frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 9}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{135}{64} = 2\frac{7}{64}$.

Ответ: $2\frac{7}{64}$.

ж) Вычислим $\frac{3}{7} : 1\frac{1}{7} : 1\frac{7}{8} : \frac{11}{25} : 1\frac{1}{22} : 3\frac{2}{11}$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и заменим все деления умножением на обратные дроби:

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{25}{11} \cdot \frac{22}{23} \cdot \frac{11}{35} = \frac{3 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{8} \cdot 25 \cdot 22 \cdot \cancel{11}}{\cancel{7} \cdot \cancel{8} \cdot 15 \cdot \cancel{11} \cdot 23 \cdot 35} = \frac{3 \cdot 25 \cdot 22}{15 \cdot 23 \cdot 35} = \frac{\cancel{3} \cdot (\cancel{5} \cdot 5) \cdot 22}{(\cancel{3} \cdot \cancel{5}) \cdot 23 \cdot (5 \cdot 7)} = \frac{22}{23 \cdot 7} = \frac{22}{161}$.

Ответ: $\frac{22}{161}$.

з) Вычислим $\frac{15}{16} : 1\frac{1}{48} : 2\frac{1}{7} : 2\frac{2}{49} : \frac{24}{125}$.

Преобразуем смешанные числа и заменим деления умножением на обратные дроби:

$\frac{15}{16} \cdot \frac{48}{49} \cdot \frac{7}{15} \cdot \frac{49}{100} \cdot \frac{125}{24} = \frac{\cancel{15} \cdot 48 \cdot 7 \cdot \cancel{49} \cdot 125}{16 \cdot \cancel{49} \cdot \cancel{15} \cdot 100 \cdot 24} = \frac{48 \cdot 7 \cdot 125}{16 \cdot 100 \cdot 24} = \frac{(\cancel{16} \cdot 3) \cdot 7 \cdot (5 \cdot \cancel{25})}{\cancel{16} \cdot (4 \cdot \cancel{25}) \cdot (\cancel{3} \cdot 8)} = \frac{7 \cdot 5}{4 \cdot 8} = \frac{35}{32} = 1\frac{3}{32}$.

Ответ: $1\frac{3}{32}$.

4.301. a) $(\frac{2}{15} + 1\frac{7}{12}) \cdot \frac{30}{103} - 2 : 2\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{32} + 2\frac{1}{3};$

б) $(7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} - 12\frac{1}{4} : \frac{7}{9}) : 6 + 3\frac{1}{8} + 5\frac{2}{7};$

в) $5\frac{1}{3} : 6\frac{2}{5} + (12 : 3\frac{3}{5} - \frac{2}{3}) \cdot \frac{2}{3} + 7\frac{2}{5};$

г) $21\frac{2}{59} - \frac{2}{5} \cdot (3\frac{15}{28} : \frac{9}{28} - 1 : 1\frac{10}{49}) : 2.$

а) $(\frac{2}{15} + 1\frac{7}{12}) \cdot \frac{30}{103} - 2 : 2\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{32} + 2\frac{1}{3}$

Решим по действиям:

1. Сначала выполним действие в скобках. Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15 и 12 равен 60.
$ \frac{2}{15} + 1\frac{7}{12} = \frac{2}{15} + \frac{19}{12} = \frac{2 \cdot 4}{60} + \frac{19 \cdot 5}{60} = \frac{8}{60} + \frac{95}{60} = \frac{103}{60} $

2. Теперь выполним умножение результата первого действия на дробь.
$ \frac{103}{60} \cdot \frac{30}{103} = \frac{103 \cdot 30}{60 \cdot 103} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} $

3. Выполним деление и умножение в средней части выражения. Деление и умножение имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их слева направо. Сначала деление.
$ 2 : 2\frac{1}{4} = 2 : \frac{9}{4} = 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{9} $

4. Теперь умножение.
$ \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{32} = \frac{8 \cdot 9}{9 \cdot 32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} $

5. Соберем все части выражения вместе и выполним оставшиеся действия: вычитание и сложение.
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 2\frac{1}{3} $

6. Выполним вычитание.
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $

7. Выполним сложение.
$ \frac{1}{4} + 2\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{7}{3} = \frac{1 \cdot 3}{12} + \frac{7 \cdot 4}{12} = \frac{3 + 28}{12} = \frac{31}{12} = 2\frac{7}{12} $

Ответ: $2\frac{7}{12}$

б) $(7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} - 12\frac{1}{4} : \frac{7}{9}) : 6 + 3\frac{1}{8} + 5\frac{2}{7}$

Решим по действиям:

1. Выполним умножение в скобках. Представим смешанные числа в виде неправильных дробей.
$ 7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} = \frac{15}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{15 \cdot 8}{2 \cdot 3} = 5 \cdot 4 = 20 $

2. Выполним деление в скобках.
$ 12\frac{1}{4} : \frac{7}{9} = \frac{49}{4} : \frac{7}{9} = \frac{49}{4} \cdot \frac{9}{7} = \frac{49 \cdot 9}{4 \cdot 7} = \frac{7 \cdot 9}{4} = \frac{63}{4} $

3. Выполним вычитание в скобках.
$ 20 - \frac{63}{4} = \frac{80}{4} - \frac{63}{4} = \frac{17}{4} $

4. Результат из скобок разделим на 6.
$ \frac{17}{4} : 6 = \frac{17}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{17}{24} $

5. Теперь выполним сложение.
$ \frac{17}{24} + 3\frac{1}{8} + 5\frac{2}{7} $

6. Сначала сложим первые два слагаемых. Общий знаменатель для 24 и 8 равен 24.
$ \frac{17}{24} + 3\frac{1}{8} = \frac{17}{24} + \frac{25}{8} = \frac{17}{24} + \frac{25 \cdot 3}{24} = \frac{17 + 75}{24} = \frac{92}{24} = \frac{23}{6} $

7. Теперь прибавим третье слагаемое. Общий знаменатель для 6 и 7 равен 42.
$ \frac{23}{6} + 5\frac{2}{7} = \frac{23}{6} + \frac{37}{7} = \frac{23 \cdot 7}{42} + \frac{37 \cdot 6}{42} = \frac{161 + 222}{42} = \frac{383}{42} = 9\frac{5}{42} $

Ответ: $9\frac{5}{42}$

в) $5\frac{1}{3} : 6\frac{2}{5} + (12:3\frac{3}{5} - \frac{2}{3}) \cdot \frac{2}{3} + 7\frac{2}{5}$

Решим по действиям:

1. Выполним первое деление.
$ 5\frac{1}{3} : 6\frac{2}{5} = \frac{16}{3} : \frac{32}{5} = \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{32} = \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 32} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} $

2. Выполним деление в скобках.
$ 12 : 3\frac{3}{5} = 12 : \frac{18}{5} = 12 \cdot \frac{5}{18} = \frac{12 \cdot 5}{18} = \frac{2 \cdot 5}{3} = \frac{10}{3} $

3. Выполним вычитание в скобках.
$ \frac{10}{3} - \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $

4. Результат из скобок умножим на $\frac{2}{3}$.
$ \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{9} $

5. Соберем все части и выполним сложение.
$ \frac{5}{6} + \frac{16}{9} + 7\frac{2}{5} $

6. Сначала сложим первые две дроби. Общий знаменатель 18.
$ \frac{5}{6} + \frac{16}{9} = \frac{5 \cdot 3}{18} + \frac{16 \cdot 2}{18} = \frac{15 + 32}{18} = \frac{47}{18} $

7. Прибавим оставшееся слагаемое. Общий знаменатель 90.
$ \frac{47}{18} + 7\frac{2}{5} = \frac{47}{18} + \frac{37}{5} = \frac{47 \cdot 5}{90} + \frac{37 \cdot 18}{90} = \frac{235 + 666}{90} = \frac{901}{90} = 10\frac{1}{90} $

Ответ: $10\frac{1}{90}$

г) $21\frac{2}{59} - \frac{2}{5} \cdot (3\frac{15}{28} : \frac{9}{28} - 1 : 1\frac{10}{49}) : 2$

Решим по действиям:

1. Выполним первое деление в скобках.
$ 3\frac{15}{28} : \frac{9}{28} = \frac{3 \cdot 28 + 15}{28} : \frac{9}{28} = \frac{99}{28} : \frac{9}{28} = \frac{99}{28} \cdot \frac{28}{9} = 11 $

2. Выполним второе деление в скобках.
$ 1 : 1\frac{10}{49} = 1 : \frac{49+10}{49} = 1 : \frac{59}{49} = 1 \cdot \frac{49}{59} = \frac{49}{59} $

3. Выполним вычитание в скобках.
$ 11 - \frac{49}{59} = \frac{11 \cdot 59}{59} - \frac{49}{59} = \frac{649 - 49}{59} = \frac{600}{59} $

4. Результат из скобок умножим на $\frac{2}{5}$.
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{600}{59} = \frac{2 \cdot 600}{5 \cdot 59} = \frac{2 \cdot 120}{59} = \frac{240}{59} $

5. Полученный результат разделим на 2.
$ \frac{240}{59} : 2 = \frac{240}{59} \cdot \frac{1}{2} = \frac{120}{59} $

6. Выполним последнее действие - вычитание.
$ 21\frac{2}{59} - \frac{120}{59} = \frac{21 \cdot 59 + 2}{59} - \frac{120}{59} = \frac{1239 + 2}{59} - \frac{120}{59} = \frac{1241}{59} - \frac{120}{59} = \frac{1121}{59} $

7. Преобразуем неправильную дробь в целое число.
$ \frac{1121}{59} = 19 $

Ответ: 19

4.302. a) $\frac{20:2\frac{2}{15} + 25\frac{5}{7}:1\frac{1}{35}}{21\frac{7}{9}:4\frac{2}{3}-1};$

б) $\frac{6\frac{3}{4}:9+24:\frac{6}{7}-\frac{1}{9}:\frac{4}{21}}{53\frac{2}{3}-22\frac{14}{15}:2\frac{2}{3}};$

в) $\frac{20\frac{3}{10} - \left(2\frac{1}{10} \cdot 4 + \frac{19}{20} \cdot 10\right)}{1:5};$

г) $\frac{4\frac{2}{5}-2\frac{3}{4}+7\frac{7}{15}-8\frac{7}{60}}{7\frac{1}{4}-5\frac{3}{4}};$

д) $\frac{\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\right):\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{30}\right)}{\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right):\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)};$

е) $\frac{5\frac{1}{5}:\frac{39}{40}}{2\frac{4}{5}:\frac{7}{10}\cdot \frac{3}{4}} + \frac{\left(2-1\frac{3}{20}\right)\cdot 48}{\frac{1}{4}\cdot 20+1:10}.$

а)

Решим задачу по действиям. Сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя, и в конце разделим результат числителя на результат знаменателя.

1. Вычислим числитель: $20:2\frac{2}{15} + 25\frac{5}{7}:1\frac{1}{35}$

$20:2\frac{2}{15} = 20:\frac{32}{15} = 20 \cdot \frac{15}{32} = \frac{20 \cdot 15}{32} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 15}{8 \cdot 4} = \frac{75}{8}$

$25\frac{5}{7}:1\frac{1}{35} = \frac{180}{7}:\frac{36}{35} = \frac{180}{7} \cdot \frac{35}{36} = \frac{180 \cdot 35}{7 \cdot 36} = 5 \cdot 5 = 25$

$\frac{75}{8} + 25 = \frac{75}{8} + \frac{200}{8} = \frac{275}{8}$

2. Вычислим знаменатель: $21\frac{7}{9}:4\frac{2}{3} - 1$

$21\frac{7}{9}:4\frac{2}{3} = \frac{196}{9}:\frac{14}{3} = \frac{196}{9} \cdot \frac{3}{14} = \frac{14 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{14}{3}$

$\frac{14}{3} - 1 = \frac{14}{3} - \frac{3}{3} = \frac{11}{3}$

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{275}{8} : \frac{11}{3} = \frac{275}{8} \cdot \frac{3}{11} = \frac{25 \cdot 3}{8} = \frac{75}{8} = 9\frac{3}{8}$

Ответ: $9\frac{3}{8}$

б)

1. Вычислим числитель: $6\frac{3}{4}:9 + 24:\frac{6}{7} - 1\frac{1}{9}:\frac{4}{21}$

$6\frac{3}{4}:9 = \frac{27}{4} : 9 = \frac{27}{4 \cdot 9} = \frac{3}{4}$

$24:\frac{6}{7} = 24 \cdot \frac{7}{6} = 4 \cdot 7 = 28$

$1\frac{1}{9}:\frac{4}{21} = \frac{10}{9}:\frac{4}{21} = \frac{10}{9} \cdot \frac{21}{4} = \frac{5 \cdot 7}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6}$

$\frac{3}{4} + 28 - \frac{35}{6} = \frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{28 \cdot 12}{12} - \frac{35 \cdot 2}{12} = \frac{9 + 336 - 70}{12} = \frac{275}{12}$

2. Вычислим знаменатель: $53\frac{2}{3} - 22\frac{14}{15}:2\frac{2}{3}$

$22\frac{14}{15}:2\frac{2}{3} = \frac{344}{15}:\frac{8}{3} = \frac{344}{15} \cdot \frac{3}{8} = \frac{43 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{43}{5}$

$53\frac{2}{3} - \frac{43}{5} = \frac{161}{3} - \frac{43}{5} = \frac{161 \cdot 5 - 43 \cdot 3}{15} = \frac{805 - 129}{15} = \frac{676}{15}$

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{275}{12} : \frac{676}{15} = \frac{275}{12} \cdot \frac{15}{676} = \frac{275 \cdot (3 \cdot 5)}{(4 \cdot 3) \cdot 676} = \frac{275 \cdot 5}{4 \cdot 676} = \frac{1375}{2704}$

Ответ: $\frac{1375}{2704}$

в)

1. Вычислим числитель: $20\frac{3}{10} - (2\frac{1}{10} \cdot 4 + \frac{19}{20} \cdot 10)$

Сначала выполним действия в скобках:

$2\frac{1}{10} \cdot 4 = \frac{21}{10} \cdot 4 = \frac{84}{10} = \frac{42}{5}$

$\frac{19}{20} \cdot 10 = \frac{19}{2}$

$\frac{42}{5} + \frac{19}{2} = \frac{84}{10} + \frac{95}{10} = \frac{179}{10}$

Теперь выполним вычитание:

$20\frac{3}{10} - \frac{179}{10} = \frac{203}{10} - \frac{179}{10} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$

2. Вычислим знаменатель: $1:5 = \frac{1}{5}$

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{12}{5} : \frac{1}{5} = \frac{12}{5} \cdot 5 = 12$

Ответ: $12$

г)

1. Вычислим числитель: $4\frac{2}{5} - 2\frac{3}{4} + 7\frac{7}{15} - 8\frac{7}{60}$

Сгруппируем целые и дробные части:

$(4-2+7-8) + (\frac{2}{5} - \frac{3}{4} + \frac{7}{15} - \frac{7}{60})$

Вычислим сумму целых частей: $4-2+7-8 = 1$

Вычислим сумму дробных частей, приведя их к общему знаменателю 60:

$\frac{2 \cdot 12}{60} - \frac{3 \cdot 15}{60} + \frac{7 \cdot 4}{60} - \frac{7}{60} = \frac{24 - 45 + 28 - 7}{60} = \frac{0}{60} = 0$

Следовательно, числитель равен $1+0=1$.

2. Вычислим знаменатель: $7\frac{1}{4} - 5\frac{3}{4}$

$7\frac{1}{4} - 5\frac{3}{4} = \frac{29}{4} - \frac{23}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

3. Разделим числитель на знаменатель:

$1 : \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

д)

1. Вычислим числитель: $(\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}):(\frac{1}{6}+\frac{1}{30})$

$\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15} = \frac{5}{30}+\frac{3}{30}+\frac{2}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{6}+\frac{1}{30} = \frac{5}{30}+\frac{1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{3} : \frac{1}{5} = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}$

2. Вычислим знаменатель: $(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}):(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})$

$\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5} = \frac{10}{60}+\frac{15}{60}-\frac{12}{60} = \frac{13}{60}$

$\frac{1}{4}-\frac{1}{6} = \frac{3}{12}-\frac{2}{12} = \frac{1}{12}$

$\frac{13}{60} : \frac{1}{12} = \frac{13}{60} \cdot 12 = \frac{13}{5}$

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{5}{3} : \frac{13}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{13} = \frac{25}{39}$

Ответ: $\frac{25}{39}$

е)

Решим задачу по частям, вычислив сначала первое слагаемое (первую дробь), затем второе слагаемое (вторую дробь) и после этого сложим их.

1. Вычислим первое слагаемое: $\frac{5\frac{1}{5}:\frac{39}{40}}{2\frac{4}{5}:\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{4}}$

Числитель: $5\frac{1}{5}:\frac{39}{40} = \frac{26}{5} : \frac{39}{40} = \frac{26}{5} \cdot \frac{40}{39} = \frac{2 \cdot 13}{5} \cdot \frac{5 \cdot 8}{3 \cdot 13} = \frac{2 \cdot 8}{3} = \frac{16}{3}$

Знаменатель: $2\frac{4}{5}:\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{4} = \frac{14}{5} \cdot \frac{10}{7} \cdot \frac{3}{4} = (\frac{14 \cdot 10}{5 \cdot 7}) \cdot \frac{3}{4} = (2 \cdot 2) \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$

Значение первой дроби: $\frac{16/3}{3} = \frac{16}{9}$

2. Вычислим второе слагаемое: $\frac{(2 - 1\frac{3}{20})\cdot 48}{\frac{1}{4}\cdot 20 + 1:10}$

Числитель: $(2 - 1\frac{3}{20})\cdot 48 = (\frac{40}{20} - \frac{23}{20}) \cdot 48 = \frac{17}{20} \cdot 48 = \frac{17 \cdot 12}{5} = \frac{204}{5}$

Знаменатель: $\frac{1}{4}\cdot 20 + 1:10 = 5 + \frac{1}{10} = 5\frac{1}{10} = \frac{51}{10}$

Значение второй дроби: $\frac{204/5}{51/10} = \frac{204}{5} : \frac{51}{10} = \frac{204}{5} \cdot \frac{10}{51} = 4 \cdot 2 = 8$

3. Сложим результаты:

$\frac{16}{9} + 8 = \frac{16}{9} + \frac{72}{9} = \frac{88}{9} = 9\frac{7}{9}$

Ответ: $9\frac{7}{9}$

4.303. (Китай, II в.). Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Однажды дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Для решения этой задачи примем все расстояние между южным и северным морями за 1 (одну) условную единицу.

1. Определим скорость дикой утки. Она пролетает все расстояние за 7 дней, следовательно, ее скорость ($v_{у}$) составляет $\frac{1}{7}$ всего расстояния в день.

2. Определим скорость дикого гуся. Он пролетает все расстояние за 9 дней, следовательно, его скорость ($v_{г}$) составляет $\frac{1}{9}$ всего расстояния в день.

3. Так как утка и гусь летят навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения ($v_{сбл}$), сложив скорости утки и гуся:
$v_{сбл} = v_{у} + v_{г} = \frac{1}{7} + \frac{1}{9}$

4. Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю (63):
$\frac{1}{7} + \frac{1}{9} = \frac{9}{63} + \frac{7}{63} = \frac{16}{63}$
Таким образом, за один день утка и гусь вместе пролетают $\frac{16}{63}$ всего расстояния.

5. Теперь, чтобы найти время ($t$), через которое они встретятся, нужно все расстояние (1) разделить на их скорость сближения:
$t = \frac{1}{v_{сбл}} = \frac{1}{\frac{16}{63}} = \frac{63}{16}$ дня.

6. Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число, чтобы ответ был более наглядным:
$\frac{63}{16} = 3 \frac{15}{16}$ дня.

Ответ: утка и гусь встретятся через $3 \frac{15}{16}$ дня.

4.304. Первый землекоп копал канаву столько времени, сколько второму землекопу требуется, чтобы выкопать эту канаву. Потом второй землекоп копал канаву столько времени, сколько первому требуется, чтобы выкопать $\frac{2}{9}$ этой канавы. В результате канаву выкопали за 8 ч. За сколько часов они выкопали бы эту канаву при совместной работе?

Пусть $v_1$ — производительность первого землекопа, а $v_2$ — производительность второго землекопа. Пусть $t_1$ и $t_2$ — время, за которое первый и второй землекопы соответственно могут выкопать всю канаву в одиночку. Тогда $v_1 = \frac{1}{t_1}$, а $v_2 = \frac{1}{t_2}$. Весь объём работы примем за 1.

По условию задачи, первый землекоп работал время, равное $t_2$. Объём работы, выполненный им, составляет:

$A_1 = v_1 \cdot t_2 = \frac{1}{t_1} \cdot t_2 = \frac{t_2}{t_1}$

Затем второй землекоп работал время, необходимое первому, чтобы выкопать $\frac{2}{9}$ канавы. Это время равно $\frac{2}{9}t_1$. Объём работы, выполненный вторым землекопом, составляет:

$A_2 = v_2 \cdot \left(\frac{2}{9}t_1\right) = \frac{1}{t_2} \cdot \frac{2}{9}t_1 = \frac{2t_1}{9t_2}$

В результате была выкопана вся канава, то есть $A_1 + A_2 = 1$. Общее время работы составило 8 часов.

Составим систему уравнений:

1) $\frac{t_2}{t_1} + \frac{2t_1}{9t_2} = 1$

2) $t_2 + \frac{2}{9}t_1 = 8$

Решим первое уравнение. Сделаем замену $x = \frac{t_2}{t_1}$. Уравнение примет вид:

$x + \frac{2}{9x} = 1$

Умножим обе части на $9x$ (поскольку время не может быть нулевым, $x \neq 0$):

$9x^2 + 2 = 9x$

$9x^2 - 9x + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$.

$x_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $\frac{t_2}{t_1} = \frac{1}{3}$, то есть $t_1 = 3t_2$.

Подставим это соотношение во второе уравнение системы:

$t_2 + \frac{2}{9}(3t_2) = 8$

$t_2 + \frac{2}{3}t_2 = 8$

$\frac{5}{3}t_2 = 8 \implies t_2 = \frac{24}{5} = 4,8$ часа.

Тогда $t_1 = 3 \cdot 4,8 = 14,4$ часа.

Случай 2: $\frac{t_2}{t_1} = \frac{2}{3}$, то есть $t_2 = \frac{2}{3}t_1$.

Подставим это соотношение во второе уравнение системы:

$\frac{2}{3}t_1 + \frac{2}{9}t_1 = 8$

$\frac{6t_1 + 2t_1}{9} = 8$

$\frac{8}{9}t_1 = 8 \implies t_1 = 9$ часов.

Тогда $t_2 = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ часов.

Теперь необходимо найти, за сколько часов они выкопали бы канаву при совместной работе. Время совместной работы $T_{совм}$ вычисляется по формуле:

$T_{совм} = \frac{1}{v_1 + v_2} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

Проверим для первого случая ($t_1 = 14,4$, $t_2 = 4,8$):

$T_{совм} = \frac{14,4 \cdot 4,8}{14,4 + 4,8} = \frac{69,12}{19,2} = 3,6$ часа.

Проверим для второго случая ($t_1 = 9$, $t_2 = 6$):

$T_{совм} = \frac{9 \cdot 6}{9 + 6} = \frac{54}{15} = \frac{18}{5} = 3,6$ часа.

Оба случая дают одинаковый результат. 3,6 часа можно представить как 3 часа и $0,6 \cdot 60 = 36$ минут.

Ответ: 3,6 часа (или 3 часа 36 минут).