Страница 224 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.268. a) $3\frac{3}{4} + \frac{1}{5}$;

б) $7\frac{9}{20} + \frac{7}{30}$;

в) $4\frac{13}{25} + \frac{2}{15}$;

г) $6\frac{1}{12} + \frac{1}{18}$;

д) $5\frac{3}{10} + \frac{11}{15}$;

е) $9\frac{5}{24} + \frac{35}{36}$.

а) $3 \frac{3}{4} + \frac{1}{5}$

Чтобы сложить смешанное число и дробь, нужно сложить их дробные части, оставив целую часть без изменений. Если в результате сложения дробных частей получится неправильная дробь, нужно выделить из нее целую часть и прибавить к исходной целой части.

Сначала приведем дробные части $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{5}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 - это их произведение, так как они взаимно простые числа: $4 \times 5 = 20$.

Найдем дополнительные множители и умножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 4}{5 \times 4} = \frac{4}{20}$

Теперь сложим дробные части:

$\frac{15}{20} + \frac{4}{20} = \frac{15+4}{20} = \frac{19}{20}$

Прибавим полученную дробь к целой части:

$3 + \frac{19}{20} = 3 \frac{19}{20}$

Ответ: $3 \frac{19}{20}$.

б) $7 \frac{9}{20} + \frac{7}{30}$

Сложим дробные части $\frac{9}{20}$ и $\frac{7}{30}$. Найдем наименьший общий знаменатель (НОК) для 20 и 30. НОК(20, 30) = 60.

Приведем дроби к знаменателю 60:

$\frac{9}{20} = \frac{9 \times 3}{20 \times 3} = \frac{27}{60}$

$\frac{7}{30} = \frac{7 \times 2}{30 \times 2} = \frac{14}{60}$

Сложим дроби:

$\frac{27}{60} + \frac{14}{60} = \frac{27+14}{60} = \frac{41}{60}$

Теперь прибавим результат к целой части:

$7 + \frac{41}{60} = 7 \frac{41}{60}$

Ответ: $7 \frac{41}{60}$.

в) $4 \frac{13}{25} + \frac{2}{15}$

Сложим дробные части $\frac{13}{25}$ и $\frac{2}{15}$. Найдем НОК для 25 и 15. НОК(25, 15) = 75.

Приведем дроби к знаменателю 75:

$\frac{13}{25} = \frac{13 \times 3}{25 \times 3} = \frac{39}{75}$

$\frac{2}{15} = \frac{2 \times 5}{15 \times 5} = \frac{10}{75}$

Сложим дроби:

$\frac{39}{75} + \frac{10}{75} = \frac{39+10}{75} = \frac{49}{75}$

Прибавим результат к целой части:

$4 + \frac{49}{75} = 4 \frac{49}{75}$

Ответ: $4 \frac{49}{75}$.

г) $6 \frac{1}{12} + \frac{1}{18}$

Сложим дробные части $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{18}$. Найдем НОК для 12 и 18. НОК(12, 18) = 36.

Приведем дроби к знаменателю 36:

$\frac{1}{12} = \frac{1 \times 3}{12 \times 3} = \frac{3}{36}$

$\frac{1}{18} = \frac{1 \times 2}{18 \times 2} = \frac{2}{36}$

Сложим дроби:

$\frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{3+2}{36} = \frac{5}{36}$

Прибавим результат к целой части:

$6 + \frac{5}{36} = 6 \frac{5}{36}$

Ответ: $6 \frac{5}{36}$.

д) $5 \frac{3}{10} + \frac{11}{15}$

Сложим дробные части $\frac{3}{10}$ и $\frac{11}{15}$. Найдем НОК для 10 и 15. НОК(10, 15) = 30.

Приведем дроби к знаменателю 30:

$\frac{3}{10} = \frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{9}{30}$

$\frac{11}{15} = \frac{11 \times 2}{15 \times 2} = \frac{22}{30}$

Сложим дроби:

$\frac{9}{30} + \frac{22}{30} = \frac{9+22}{30} = \frac{31}{30}$

Получилась неправильная дробь. Выделим из нее целую часть:

$\frac{31}{30} = 1 \frac{1}{30}$

Теперь сложим целые части:

$5 + 1 \frac{1}{30} = (5+1) + \frac{1}{30} = 6 \frac{1}{30}$

Ответ: $6 \frac{1}{30}$.

е) $9 \frac{5}{24} + \frac{35}{36}$

Сложим дробные части $\frac{5}{24}$ и $\frac{35}{36}$. Найдем НОК для 24 и 36. НОК(24, 36) = 72.

Приведем дроби к знаменателю 72:

$\frac{5}{24} = \frac{5 \times 3}{24 \times 3} = \frac{15}{72}$

$\frac{35}{36} = \frac{35 \times 2}{36 \times 2} = \frac{70}{72}$

Сложим дроби:

$\frac{15}{72} + \frac{70}{72} = \frac{15+70}{72} = \frac{85}{72}$

Получилась неправильная дробь. Выделим из нее целую часть:

$\frac{85}{72} = 1 \frac{13}{72}$

Теперь сложим целые части:

$9 + 1 \frac{13}{72} = (9+1) + \frac{13}{72} = 10 \frac{13}{72}$

Ответ: $10 \frac{13}{72}$.

4.269. a) $9 \frac{1}{2} + 3 \frac{1}{8};$

б) $6 \frac{9}{16} + 2 \frac{1}{4};$

В) $2 \frac{7}{18} + 5 \frac{1}{9};$

г) $10 \frac{1}{20} + 6 \frac{3}{5};$

д) $1 \frac{5}{14} + 2 \frac{2}{7};$

е) $7 \frac{1}{6} + 2 \frac{11}{42}.$

а) $9\frac{1}{2} + 3\frac{1}{8}$. Для сложения смешанных чисел сложим отдельно их целые и дробные части. Складываем целые части: $9 + 3 = 12$. Затем складываем дробные части: $\frac{1}{2} + \frac{1}{8}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен $8$. Дополнительный множитель для первой дроби $8 \div 2 = 4$. Получаем: $\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+1}{8} = \frac{5}{8}$. Теперь объединяем целую и дробную части: $12 + \frac{5}{8} = 12\frac{5}{8}$.
Ответ: $12\frac{5}{8}$

б) $6\frac{9}{16} + 2\frac{1}{4}$. Складываем целые части: $6 + 2 = 8$. Складываем дробные части, приведя их к общему знаменателю $16$: $\frac{9}{16} + \frac{1}{4} = \frac{9}{16} + \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{9}{16} + \frac{4}{16} = \frac{9+4}{16} = \frac{13}{16}$. Объединяем результаты: $8 + \frac{13}{16} = 8\frac{13}{16}$.
Ответ: $8\frac{13}{16}$

в) $2\frac{7}{18} + 5\frac{1}{9}$. Складываем целые части: $2 + 5 = 7$. Складываем дробные части, приведя их к общему знаменателю $18$: $\frac{7}{18} + \frac{1}{9} = \frac{7}{18} + \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{7}{18} + \frac{2}{18} = \frac{7+2}{18} = \frac{9}{18}$. Сокращаем полученную дробь: $\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$. Объединяем результаты: $7 + \frac{1}{2} = 7\frac{1}{2}$.
Ответ: $7\frac{1}{2}$

г) $10\frac{1}{20} + 6\frac{3}{5}$. Складываем целые части: $10 + 6 = 16$. Складываем дробные части, приведя их к общему знаменателю $20$: $\frac{1}{20} + \frac{3}{5} = \frac{1}{20} + \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{1}{20} + \frac{12}{20} = \frac{1+12}{20} = \frac{13}{20}$. Объединяем результаты: $16 + \frac{13}{20} = 16\frac{13}{20}$.
Ответ: $16\frac{13}{20}$

д) $1\frac{5}{14} + 2\frac{2}{7}$. Складываем целые части: $1 + 2 = 3$. Складываем дробные части, приведя их к общему знаменателю $14$: $\frac{5}{14} + \frac{2}{7} = \frac{5}{14} + \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{5}{14} + \frac{4}{14} = \frac{5+4}{14} = \frac{9}{14}$. Объединяем результаты: $3 + \frac{9}{14} = 3\frac{9}{14}$.
Ответ: $3\frac{9}{14}$

е) $7\frac{1}{6} + 2\frac{11}{42}$. Складываем целые части: $7 + 2 = 9$. Складываем дробные части, приведя их к общему знаменателю $42$: $\frac{1}{6} + \frac{11}{42} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} + \frac{11}{42} = \frac{7}{42} + \frac{11}{42} = \frac{7+11}{42} = \frac{18}{42}$. Сокращаем полученную дробь на $6$: $\frac{18 \div 6}{42 \div 6} = \frac{3}{7}$. Объединяем результаты: $9 + \frac{3}{7} = 9\frac{3}{7}$.
Ответ: $9\frac{3}{7}$

4.270. а) $9 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{4}$;

б) $13 \frac{1}{5} + 4 \frac{2}{7}$;

в) $2 \frac{3}{10} + 6 \frac{1}{9}$;

г) $4 \frac{2}{3} + 7 \frac{4}{5}$;

д) $7 \frac{3}{20} + 8 \frac{4}{5}$;

е) $2 \frac{7}{48} + 11 \frac{77}{96}$.

а) Чтобы сложить смешанные числа $9\frac{2}{3}$ и $1\frac{1}{4}$, сначала сложим их целые части, а затем дробные.
Сложение целых частей: $9 + 1 = 10$.
Сложение дробных частей: $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 – это 12.
Дополнительный множитель для первой дроби: $12 \div 3 = 4$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $12 \div 4 = 3$.
$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12}$.
Теперь сложим результат сложения целых частей и результат сложения дробных частей: $10 + \frac{11}{12} = 10\frac{11}{12}$.
Ответ: $10\frac{11}{12}$

б) Сложим смешанные числа $13\frac{1}{5}$ и $4\frac{2}{7}$.
Складываем целые части: $13 + 4 = 17$.
Складываем дробные части: $\frac{1}{5} + \frac{2}{7}$.
Наименьший общий знаменатель для 5 и 7 – это 35.
$\frac{1}{5} + \frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{7}{35} + \frac{10}{35} = \frac{7+10}{35} = \frac{17}{35}$.
Объединяем целую и дробную части: $17 + \frac{17}{35} = 17\frac{17}{35}$.
Ответ: $17\frac{17}{35}$

В) Сложим смешанные числа $2\frac{3}{10}$ и $6\frac{1}{9}$.
Складываем целые части: $2 + 6 = 8$.
Складываем дробные части: $\frac{3}{10} + \frac{1}{9}$.
Наименьший общий знаменатель для 10 и 9 – это 90.
$\frac{3}{10} + \frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9}{10 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{27}{90} + \frac{10}{90} = \frac{27+10}{90} = \frac{37}{90}$.
Объединяем целую и дробную части: $8 + \frac{37}{90} = 8\frac{37}{90}$.
Ответ: $8\frac{37}{90}$

г) Сложим смешанные числа $4\frac{2}{3}$ и $7\frac{4}{5}$.
Складываем целые части: $4 + 7 = 11$.
Складываем дробные части: $\frac{2}{3} + \frac{4}{5}$.
Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 – это 15.
$\frac{2}{3} + \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} + \frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15}$.
Полученная дробь $\frac{22}{15}$ – неправильная. Выделим из нее целую часть: $\frac{22}{15} = 1\frac{7}{15}$.
Добавим эту целую часть к сумме целых частей: $11 + 1\frac{7}{15} = 12\frac{7}{15}$.
Ответ: $12\frac{7}{15}$

д) Сложим смешанные числа $7\frac{3}{20}$ и $8\frac{4}{5}$.
Складываем целые части: $7 + 8 = 15$.
Складываем дробные части: $\frac{3}{20} + \frac{4}{5}$.
Наименьший общий знаменатель для 20 и 5 – это 20.
$\frac{3}{20} + \frac{4}{5} = \frac{3}{20} + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{3}{20} + \frac{16}{20} = \frac{3+16}{20} = \frac{19}{20}$.
Объединяем целую и дробную части: $15 + \frac{19}{20} = 15\frac{19}{20}$.
Ответ: $15\frac{19}{20}$

е) Сложим смешанные числа $2\frac{7}{48}$ и $11\frac{77}{96}$.
Складываем целые части: $2 + 11 = 13$.
Складываем дробные части: $\frac{7}{48} + \frac{77}{96}$.
Наименьший общий знаменатель для 48 и 96 – это 96, так как $96 = 48 \cdot 2$.
$\frac{7}{48} + \frac{77}{96} = \frac{7 \cdot 2}{48 \cdot 2} + \frac{77}{96} = \frac{14}{96} + \frac{77}{96} = \frac{14+77}{96} = \frac{91}{96}$.
Объединяем целую и дробную части: $13 + \frac{91}{96} = 13\frac{91}{96}$.
Ответ: $13\frac{91}{96}$

4.271. На отрезке AB отметили точку C так, что $CB = \frac{1}{4}$ м, а AC на $1\frac{1}{5}$ м больше CB. Найдите длину отрезка AB.

Решение

По условию задачи, точка C лежит на отрезке AB. Это означает, что длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей, AC и CB.

Формула для нахождения длины отрезка AB: $AB = AC + CB$.

Известно, что длина отрезка CB равна $\frac{1}{4}$ м.

$CB = \frac{1}{4}$ м.

Также известно, что длина отрезка AC на $1\frac{1}{5}$ м больше длины отрезка CB. Найдем длину отрезка AC:

$AC = CB + 1\frac{1}{5} = \frac{1}{4} + 1\frac{1}{5}$ м.

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.

Теперь сложим дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{6}{5}$. Общий знаменатель для чисел 4 и 5 равен 20.

$AC = \frac{1}{4} + \frac{6}{5} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} + \frac{24}{20} = \frac{5+24}{20} = \frac{29}{20}$ м.

Теперь, зная длины отрезков AC и CB, мы можем найти длину всего отрезка AB:

$AB = AC + CB = \frac{29}{20} + \frac{1}{4}$ м.

Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 20:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$.

$AB = \frac{29}{20} + \frac{5}{20} = \frac{29+5}{20} = \frac{34}{20}$ м.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{34}{20} = \frac{17}{10}$ м.

Выделим целую часть, чтобы представить ответ в виде смешанного числа:

$\frac{17}{10} = 1\frac{7}{10}$ м.

Ответ: $1\frac{7}{10}$ м.

4.272. На отрезке $AB$ отметили точку $C$ так, что $CB = 7 \frac{3}{10} \text{ м}$ и $CB$ на $2 \frac{1}{4} \text{ м}$ меньше $AC$. Найдите длину отрезка $AB$.

По условию задачи, на отрезке AB отмечена точка C. Длина отрезка CB известна и составляет $CB = 7 \frac{3}{10}$ м. Также сказано, что отрезок CB на $2 \frac{1}{4}$ м меньше отрезка AC. Это означает, что отрезок AC длиннее отрезка CB на $2 \frac{1}{4}$ м.

1. Найдем длину отрезка AC.

Для того чтобы найти длину отрезка AC, нужно к длине отрезка CB прибавить разницу в длине между ними:

$AC = CB + 2 \frac{1}{4} = 7 \frac{3}{10} + 2 \frac{1}{4}$

Чтобы сложить эти смешанные числа, приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 4 — это 20.

$\frac{3}{10} = \frac{3 \times 2}{10 \times 2} = \frac{6}{20}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20}$

Теперь выполним сложение:

$AC = 7 \frac{6}{20} + 2 \frac{5}{20} = (7+2) + (\frac{6}{20} + \frac{5}{20}) = 9 + \frac{11}{20} = 9 \frac{11}{20}$ м.

2. Найдем длину отрезка AB.

Так как точка C лежит на отрезке AB, то длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей AC и CB.

$AB = AC + CB$

Подставим найденные и известные значения:

$AB = 9 \frac{11}{20} + 7 \frac{3}{10}$

Снова приведем дробь к общему знаменателю 20:

$7 \frac{3}{10} = 7 \frac{6}{20}$

Теперь сложим длины отрезков AC и CB:

$AB = 9 \frac{11}{20} + 7 \frac{6}{20} = (9+7) + (\frac{11}{20} + \frac{6}{20}) = 16 + \frac{17}{20} = 16 \frac{17}{20}$ м.

Ответ: $16 \frac{17}{20}$ м.

4.273. Даны три числа. Первое $4\frac{1}{5}$, второе на 5 больше, чем первое, а третье на $3\frac{1}{5}$ больше второго. Какова сумма трёх чисел?

Для решения этой задачи нужно последовательно найти второе и третье числа, а затем сложить все три числа.

1. Нахождение второго числа

По условию, первое число равно $4\frac{1}{5}$, а второе число на 5 больше первого. Чтобы найти второе число, прибавим 5 к первому числу:

$4\frac{1}{5} + 5 = (4+5) + \frac{1}{5} = 9\frac{1}{5}$

Таким образом, второе число равно $9\frac{1}{5}$.

2. Нахождение третьего числа

Третье число на $3\frac{1}{5}$ больше второго. Мы уже знаем, что второе число — это $9\frac{1}{5}$. Чтобы найти третье число, прибавим к нему $3\frac{1}{5}$:

$9\frac{1}{5} + 3\frac{1}{5} = (9+3) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) = 12 + \frac{2}{5} = 12\frac{2}{5}$

Таким образом, третье число равно $12\frac{2}{5}$.

3. Нахождение суммы трёх чисел

Теперь, когда известны все три числа, найдем их сумму:

• Первое число: $4\frac{1}{5}$
• Второе число: $9\frac{1}{5}$
• Третье число: $12\frac{2}{5}$

Сумма = $4\frac{1}{5} + 9\frac{1}{5} + 12\frac{2}{5}$

Сложим отдельно целые части и отдельно дробные:

Сумма целых частей: $4 + 9 + 12 = 25$

Сумма дробных частей: $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1+1+2}{5} = \frac{4}{5}$

Объединяем целую и дробную части:

$25 + \frac{4}{5} = 25\frac{4}{5}$

Ответ: $25\frac{4}{5}$.