Страница 217 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.229. Путешественник идёт из одного города в другой 10 дней, а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Примем весь путь между городами за 1 (единицу).

1. Найдем, какую часть пути проходит первый путешественник за один день. Это его скорость ($v_1$).
Если весь путь он проходит за 10 дней, то его скорость равна: $v_1 = \frac{1}{10}$ пути в день.

2. Аналогично найдем скорость второго путешественника ($v_2$).
Он проходит весь путь за 15 дней, значит его скорость: $v_2 = \frac{1}{15}$ пути в день.

3. Так как путешественники движутся навстречу друг другу, для нахождения времени их встречи нужно использовать скорость сближения, которая равна сумме их скоростей. $v_{сближения} = v_1 + v_2 = \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю (30): $v_{сближения} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ пути в день.

Это означает, что за один день, двигаясь навстречу, путешественники вместе преодолевают $\frac{1}{6}$ всего пути.

4. Чтобы найти время, через которое они встретятся, разделим весь путь (1) на скорость сближения. $t = \frac{1}{v_{сближения}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 1 \cdot 6 = 6$ дней.

Ответ: 6

4.230. a) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а че- рез вторую — за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе этих труб?

б) Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй — за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе?

в) Грузовая машина проезжает расстояние между двумя горо- дами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно вы- ехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

а)

Данный тип задач решается через нахождение производительности (скорости выполнения работы). Примем весь объем бассейна за 1.

1. Найдем производительность первой трубы. Если она наполняет весь бассейн (1) за 20 часов, то ее производительность составляет $1/20$ бассейна в час.

2. Аналогично найдем производительность второй трубы. Она наполняет весь бассейн (1) за 30 часов, значит, ее производительность — $1/30$ бассейна в час.

3. При совместной работе производительности складываются. Найдем общую производительность:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = 1/20 + 1/30$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$1/20 + 1/30 = 3/60 + 2/60 = 5/60 = 1/12$

Таким образом, общая производительность двух труб составляет $1/12$ бассейна в час.

4. Чтобы найти время $t$, за которое будет выполнен весь объем работы (1), нужно разделить объем на общую производительность:

$t = 1 / P_{общ} = 1 / (1/12) = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

б)

Эта задача по своей сути аналогична предыдущей. Примем всю работу по уборке класса за 1.

1. Скорость работы (производительность) первого ученика составляет $1/20$ класса в минуту.

2. Скорость работы второго ученика составляет $1/30$ класса в минуту.

3. При совместной работе их скорости складываются. Найдем общую скорость работы:

$V_{общ} = V_1 + V_2 = 1/20 + 1/30 = 3/60 + 2/60 = 5/60 = 1/12$

Это означает, что вместе они убирают $1/12$ класса за одну минуту.

4. Время $t$, необходимое для уборки всего класса (1), найдем, разделив всю работу на общую скорость:

$t = 1 / V_{общ} = 1 / (1/12) = 12$ минут.

Ответ: 12 минут.

в)

Эта задача также решается аналогично, но в контексте движения. Примем все расстояние между городами за 1.

1. Скорость грузовой машины равна $1/30$ расстояния в час.

2. Скорость легковой машины равна $1/20$ расстояния в час.

3. Поскольку машины движутся навстречу друг другу, их скорости сближения равна сумме их скоростей:

$V_{сближения} = V_{груз} + V_{легк} = 1/30 + 1/20$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$1/30 + 1/20 = 2/60 + 3/60 = 5/60 = 1/12$

Скорость сближения составляет $1/12$ всего расстояния в час.

4. Время до встречи $t$ можно найти, разделив все расстояние (1) на скорость сближения:

$t = 1 / V_{сближения} = 1 / (1/12) = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

4.231. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям — на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит этого корма и уткам, и гусям вместе.

Для решения этой задачи необходимо определить, какую часть корма потребляют утки и гуси за один день, а затем найти их совместную дневную норму потребления.

1. Примем весь запас корма за 1 (единицу).
По условию, уткам этого корма хватило бы на 30 дней. Следовательно, за один день утки съедают $\frac{1}{30}$ часть всего корма.

2. Гусям этого же корма хватило бы на 45 дней. Следовательно, за один день гуси съедают $\frac{1}{45}$ часть всего корма.

3. Чтобы узнать, какую часть корма съедят утки и гуси вместе за один день, нужно сложить их дневные нормы потребления:
$\frac{1}{30} + \frac{1}{45}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 30 и 45 равно 90. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2.
$\frac{1 \cdot 3}{30 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{3}{90} + \frac{2}{90} = \frac{5}{90}$

4. Сократим полученную дробь:
$\frac{5}{90} = \frac{1}{18}$
Это означает, что утки и гуси вместе за один день съедают $\frac{1}{18}$ часть всего корма.

5. Теперь найдем, на сколько дней им хватит всего корма. Для этого нужно весь корм (1) разделить на ту часть, которую они съедают за один день ($\frac{1}{18}$):
$1 : \frac{1}{18} = 1 \cdot \frac{18}{1} = 18$ (дней)

Ответ: этого корма уткам и гусям вместе хватит на 18 дней.

4.232. Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней или одного первого цеха — в течение 15 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы только второго цеха?

Примем весь объем заготовленных материалов за 1.

1. Определим производительность (скорость потребления материалов) первого цеха.

По условию, первый цех расходует все материалы за 15 дней. Следовательно, за один день он расходует $\frac{1}{15}$ часть всех материалов. Обозначим его производительность как $P_1$:

$P_1 = \frac{1}{15}$

2. Определим совместную производительность двух цехов.

Работая вместе, два цеха расходуют все материалы за 10 дней. Значит, их совместная производительность $P_{общ}$ составляет $\frac{1}{10}$ часть всех материалов в день:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{10}$

3. Найдем производительность второго цеха.

Чтобы найти производительность второго цеха ($P_2$), нужно из совместной производительности вычесть производительность первого цеха:

$P_2 = P_{общ} - P_1 = \frac{1}{10} - \frac{1}{15}$

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю, который равен 30:

$P_2 = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30}$

Таким образом, производительность второго цеха составляет $\frac{1}{30}$ часть материалов в день.

4. Рассчитаем, на сколько дней хватит материалов второму цеху.

Чтобы найти время ($t_2$), за которое второй цех израсходует все материалы, нужно весь объем материалов (1) разделить на производительность второго цеха:

$t_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{30}} = 1 \cdot 30 = 30$ (дней)

Ответ: 30 дней.

4.233. Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием производительности труда. Пусть вся работа (вспашка поля) равна 1.

1. Найдем общую производительность.

Два тракториста вместе выполняют работу за 6 часов. Их совместная производительность (часть поля, которую они вспахивают за 1 час) равна:

$P_{общ} = \frac{1}{6}$ поля/час.

2. Найдем производительность первого тракториста.

Первый тракторист может выполнить всю работу один за 10 часов. Его индивидуальная производительность равна:

$P_1 = \frac{1}{10}$ поля/час.

3. Найдем производительность второго тракториста.

Общая производительность равна сумме индивидуальных производительностей ($P_{общ} = P_1 + P_2$). Чтобы найти производительность второго тракториста ($P_2$), вычтем из общей производительности производительность первого:

$P_2 = P_{общ} - P_1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$P_2 = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ поля/час.

4. Найдем время, необходимое второму трактористу.

Зная производительность второго тракториста, можно найти время (t), за которое он один вспашет все поле. Время — это работа, деленная на производительность:

$t = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ часов.

Ответ: второй тракторист может вспахать поле за 15 часов.

4.234. Два печника сложили печь за 16 ч. Известно, что первый из них, работая один, сложил бы печь за 24 ч. За сколько часов второй печник, работая один, сложил бы ту же печь?

Для решения задачи воспользуемся понятием производительности труда, то есть скорости выполнения работы. Всю работу по постройке одной печи примем за 1.

1. Определим совместную производительность двух печников. Так как они вместе выполняют всю работу за 16 часов, их совместная производительность ($P_{общ}$) равна:

$P_{общ} = \frac{1}{16}$ (часть печи в час)

2. Определим производительность первого печника. Он выполняет всю работу один за 24 часа, значит, его производительность ($P_1$) составляет:

$P_1 = \frac{1}{24}$ (часть печи в час)

3. Совместная производительность — это сумма производительностей каждого работника: $P_{общ} = P_1 + P_2$, где $P_2$ — производительность второго печника. Мы можем найти производительность второго печника, вычтя из общей производительности производительность первого:

$P_2 = P_{общ} - P_1 = \frac{1}{16} - \frac{1}{24}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 16 и 24 — это 48.

$P_2 = \frac{3}{48} - \frac{2}{48} = \frac{1}{48}$ (часть печи в час)

4. Теперь, зная производительность второго печника, можно найти время ($t_2$), за которое он один сложит всю печь. Для этого нужно всю работу (1) разделить на его производительность ($P_2$):

$t_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{48}} = 48$ часов.

Ответ: 48 часов.