Страница 210 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.197. Найдите частное и проверьте ответ умножением:

а) $80 : 2;$

б) $100 : 25;$

в) $1000 : 8;$

г) $121 : 11;$

д) $625 : 25.$

а)

1. Находим частное от деления 80 на 2:

$80 : 2 = 40$

2. Проверяем ответ умножением. Для этого умножаем полученное частное (40) на делитель (2):

$40 \times 2 = 80$

Результат умножения (80) совпадает с делимым (80), следовательно, деление выполнено верно.

Ответ: 40.

б)

1. Находим частное от деления 100 на 25:

$100 : 25 = 4$

2. Проверяем ответ умножением. Умножаем частное (4) на делитель (25):

$4 \times 25 = 100$

Результат умножения (100) совпадает с делимым (100), значит, решение правильное.

Ответ: 4.

в)

1. Находим частное от деления 1000 на 8:

$1000 : 8 = 125$

2. Выполняем проверку умножением. Умножаем полученное частное (125) на делитель (8):

$125 \times 8 = 1000$

Результат умножения (1000) совпадает с делимым (1000), следовательно, деление выполнено верно.

Ответ: 125.

г)

1. Находим частное от деления 121 на 11:

$121 : 11 = 11$

2. Проверяем результат умножением. Умножаем частное (11) на делитель (11):

$11 \times 11 = 121$

Результат умножения (121) совпадает с делимым (121), значит, решение правильное.

Ответ: 11.

д)

1. Находим частное от деления 625 на 25:

$625 : 25 = 25$

2. Выполняем проверку умножением. Умножаем полученное частное (25) на делитель (25):

$25 \times 25 = 625$

Результат умножения (625) совпадает с делимым (625), следовательно, деление выполнено верно.

Ответ: 25.

4.198. Вычислите частное и проверьте ответ умножением:

а) $\frac{1}{2} : \frac{1}{3};$

б) $\frac{1}{2} : \frac{1}{4};$

в) $\frac{1}{8} : \frac{1}{4};$

г) $\frac{1}{4} : \frac{4}{5};$

д) $\frac{8}{9} : \frac{4}{21};$

е) $\frac{16}{25} : \frac{24}{35};$

ж) $\frac{52}{81} : \frac{26}{27};$

з) $\frac{100}{123} : \frac{75}{82}.$

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю).

$ \frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{1} = \frac{1 \times 3}{2 \times 1} = \frac{3}{2} $.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $.

Проверка умножением: частное умножаем на делитель и должны получить делимое.

$ \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{2 \times 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.

Проверка верна.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

б)

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{1 \times 4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2 $.

Проверка умножением:

$ 2 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{2 \times 1}{1 \times 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Проверка верна.

Ответ: $2$.

в)

Выполним деление:

$ \frac{1}{8} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \times \frac{4}{1} = \frac{1 \times 4}{8 \times 1} = \frac{4}{8} $.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2} $.

Проверка умножением:

$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1 \times 1}{2 \times 4} = \frac{1}{8} $.

Проверка верна.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г)

Выполним деление:

$ \frac{1}{4} \div \frac{4}{5} = \frac{1}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 4} = \frac{5}{16} $.

Проверка умножением:

$ \frac{5}{16} \times \frac{4}{5} = \frac{5 \times 4}{16 \times 5} = \frac{\cancel{5} \times 4}{16 \times \cancel{5}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $.

Проверка верна.

Ответ: $\frac{5}{16}$.

д)

Выполним деление, предварительно сократив множители:

$ \frac{8}{9} \div \frac{4}{21} = \frac{8}{9} \times \frac{21}{4} = \frac{8 \times 21}{9 \times 4} = \frac{(2 \times \cancel{4}) \times (7 \times \cancel{3})}{(3 \times \cancel{3}) \times \cancel{4}} = \frac{2 \times 7}{3} = \frac{14}{3} $.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $.

Проверка умножением:

$ \frac{14}{3} \times \frac{4}{21} = \frac{14 \times 4}{3 \times 21} = \frac{(2 \times \cancel{7}) \times 4}{3 \times (3 \times \cancel{7})} = \frac{2 \times 4}{3 \times 3} = \frac{8}{9} $.

Проверка верна.

Ответ: $4\frac{2}{3}$.

е)

Выполним деление с сокращением:

$ \frac{16}{25} \div \frac{24}{35} = \frac{16}{25} \times \frac{35}{24} = \frac{16 \times 35}{25 \times 24} = \frac{(2 \times \cancel{8}) \times (7 \times \cancel{5})}{(\cancel{5} \times 5) \times (3 \times \cancel{8})} = \frac{2 \times 7}{5 \times 3} = \frac{14}{15} $.

Проверка умножением:

$ \frac{14}{15} \times \frac{24}{35} = \frac{14 \times 24}{15 \times 35} = \frac{(2 \times \cancel{7}) \times (\cancel{3} \times 8)}{(\cancel{3} \times 5) \times (5 \times \cancel{7})} = \frac{2 \times 8}{5 \times 5} = \frac{16}{25} $.

Проверка верна.

Ответ: $\frac{14}{15}$.

ж)

Выполним деление с сокращением:

$ \frac{52}{81} \div \frac{26}{27} = \frac{52}{81} \times \frac{27}{26} = \frac{52 \times 27}{81 \times 26} = \frac{(2 \times \cancel{26}) \times \cancel{27}}{(3 \times \cancel{27}) \times \cancel{26}} = \frac{2}{3} $.

Проверка умножением:

$ \frac{2}{3} \times \frac{26}{27} = \frac{2 \times 26}{3 \times 27} = \frac{52}{81} $.

Проверка верна.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

з)

Выполним деление с сокращением. Для этого разложим числа на удобные множители:

$ \frac{100}{123} \div \frac{75}{82} = \frac{100}{123} \times \frac{82}{75} = \frac{100 \times 82}{123 \times 75} $.

Сократим 100 и 75 на 25. Сократим 123 и 82 на их общий делитель 41 ($123 = 3 \times 41$, $82 = 2 \times 41$).

$ \frac{(4 \times \cancel{25}) \times (2 \times \cancel{41})}{(3 \times \cancel{41}) \times (3 \times \cancel{25})} = \frac{4 \times 2}{3 \times 3} = \frac{8}{9} $.

Проверка умножением:

$ \frac{8}{9} \times \frac{75}{82} = \frac{8 \times 75}{9 \times 82} = \frac{(4 \times \cancel{2}) \times (\cancel{3} \times 25)}{(\cancel{3} \times 3) \times (\cancel{2} \times 41)} = \frac{4 \times 25}{3 \times 41} = \frac{100}{123} $.

Проверка верна.

Ответ: $\frac{8}{9}$.

4.199. Назовите делимое и делитель, дробь, обратную делителю, и замените деление умножением на дробь, обратную делителю. Вычислите полученное произведение.

а) $\frac{1}{6} : \frac{1}{2}$;

б) $\frac{1}{3} : \frac{1}{6}$;

в) $\frac{3}{7} : \frac{6}{7}$;

г) $\frac{8}{9} : \frac{4}{3}$;

д) $\frac{15}{16} : \frac{10}{24}$;

е) $\frac{15}{17} : \frac{25}{34}$;

ж) $\frac{32}{75} : \frac{48}{25}$;

з) $\frac{38}{75} : \frac{19}{100}$;

и) $\frac{1}{2} : 2$;

к) $\frac{2}{5} : 3$;

л) $3 : \frac{1}{2}$;

м) $8 : \frac{4}{5}$.

а) В выражении $ \frac{1}{6} : \frac{1}{2} $ делимое — $ \frac{1}{6} $, делитель — $ \frac{1}{2} $. Дробь, обратная делителю: $ \frac{2}{1} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

б) В выражении $ \frac{1}{3} : \frac{1}{6} $ делимое — $ \frac{1}{3} $, делитель — $ \frac{1}{6} $. Дробь, обратная делителю: $ \frac{6}{1} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{1} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 1} = \frac{6}{3} = 2 $.
Ответ: $ 2 $.

в) В выражении $ \frac{3}{7} : \frac{6}{7} $ делимое — $ \frac{3}{7} $, делитель — $ \frac{6}{7} $. Дробь, обратная делителю: $ \frac{7}{6} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{\cancel{3} \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 2 \cdot \cancel{3}} = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

г) В выражении $ \frac{8}{9} : \frac{4}{3} $ делимое — $ \frac{8}{9} $, делитель — $ \frac{4}{3} $. Дробь, обратная делителю: $ \frac{3}{4} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot \cancel{4}}{3 \cdot \cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $.

д) В выражении $ \frac{15}{16} : \frac{10}{24} $ делимое — $ \frac{15}{16} $, делитель — $ \frac{10}{24} $. Дробь, обратная делителю: $ \frac{24}{10} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{15}{16} \cdot \frac{24}{10} = \frac{(3 \cdot \cancel{5}) \cdot (3 \cdot \cancel{8})}{(2 \cdot \cancel{8}) \cdot (2 \cdot \cancel{5})} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{9}{4} $.
Ответ: $ \frac{9}{4} $ (или $ 2\frac{1}{4} $).

е) В выражении $ \frac{15}{17} : \frac{25}{34} $ делимое — $ \frac{15}{17} $, делитель — $ \frac{25}{34} $. Дробь, обратная делителю: $ \frac{34}{25} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{15}{17} \cdot \frac{34}{25} = \frac{(3 \cdot \cancel{5}) \cdot (2 \cdot \cancel{17})}{\cancel{17} \cdot (5 \cdot \cancel{5})} = \frac{3 \cdot 2}{5} = \frac{6}{5} $.
Ответ: $ \frac{6}{5} $ (или $ 1\frac{1}{5} $).

ж) В выражении $ \frac{32}{75} : \frac{48}{25} $ делимое — $ \frac{32}{75} $, делитель — $ \frac{48}{25} $. Дробь, обратная делителю: $ \frac{25}{48} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{32}{75} \cdot \frac{25}{48} = \frac{(2 \cdot \cancel{16}) \cdot \cancel{25}}{(3 \cdot \cancel{25}) \cdot (3 \cdot \cancel{16})} = \frac{2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9} $.
Ответ: $ \frac{2}{9} $.

з) В выражении $ \frac{38}{75} : \frac{19}{100} $ делимое — $ \frac{38}{75} $, делитель — $ \frac{19}{100} $. Дробь, обратная делителю: $ \frac{100}{19} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{38}{75} \cdot \frac{100}{19} = \frac{(2 \cdot \cancel{19}) \cdot (4 \cdot \cancel{25})}{(3 \cdot \cancel{25}) \cdot \cancel{19}} = \frac{2 \cdot 4}{3} = \frac{8}{3} $.
Ответ: $ \frac{8}{3} $ (или $ 2\frac{2}{3} $).

и) В выражении $ \frac{1}{2} : 2 $ делимое — $ \frac{1}{2} $, делитель — $ 2 $ (или $ \frac{2}{1} $). Дробь, обратная делителю: $ \frac{1}{2} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

к) В выражении $ \frac{2}{5} : 3 $ делимое — $ \frac{2}{5} $, делитель — $ 3 $ (или $ \frac{3}{1} $). Дробь, обратная делителю: $ \frac{1}{3} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{2}{15} $.
Ответ: $ \frac{2}{15} $.

л) В выражении $ 3 : \frac{1}{2} $ делимое — $ 3 $ (или $ \frac{3}{1} $), делитель — $ \frac{1}{2} $. Дробь, обратная делителю: $ \frac{2}{1} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1} = 6 $.
Ответ: $ 6 $.

м) В выражении $ 8 : \frac{4}{5} $ делимое — $ 8 $ (или $ \frac{8}{1} $), делитель — $ \frac{4}{5} $. Дробь, обратная делителю: $ \frac{5}{4} $. Заменяем деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычисляем полученное произведение: $ \frac{8}{1} \cdot \frac{5}{4} = \frac{\cancel{4} \cdot 2 \cdot 5}{\cancel{4}} = 10 $.
Ответ: $ 10 $.

4.200. Найдите число x, для которого равенство верно:

а) $x \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{15};$

б) $x : \frac{2}{7} = \frac{7}{12};$

в) $\frac{2}{3} \cdot x = \frac{4}{7};$

г) $\frac{7}{9} : x = \frac{7}{18};$

д) $x : \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$

е) $\frac{12}{25} : x = \frac{3}{5}.$

а) В уравнении $x \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{15}$ $x$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение ($\frac{4}{15}$) разделить на известный множитель ($\frac{3}{5}$):
$x = \frac{4}{15} : \frac{3}{5}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$x = \frac{4}{15} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 3}$
Сокращаем 5 и 15 (оба делятся на 5):
$x = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$
Ответ: $x = \frac{4}{9}$

б) В уравнении $x : \frac{2}{7} = \frac{7}{12}$ $x$ является неизвестным делимым. Чтобы его найти, нужно частное ($\frac{7}{12}$) умножить на делитель ($\frac{2}{7}$):
$x = \frac{7}{12} \cdot \frac{2}{7} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 7}$
Сокращаем 7 в числителе и знаменателе, а также 2 и 12 (оба делятся на 2):
$x = \frac{1 \cdot 1}{6 \cdot 1} = \frac{1}{6}$
Ответ: $x = \frac{1}{6}$

в) В уравнении $\frac{2}{3} \cdot x = \frac{4}{7}$ $x$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение ($\frac{4}{7}$) разделить на известный множитель ($\frac{2}{3}$):
$x = \frac{4}{7} : \frac{2}{3} = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 2}$
Сокращаем 4 и 2 (оба делятся на 2):
$x = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \frac{6}{7}$
Ответ: $x = \frac{6}{7}$

г) В уравнении $\frac{7}{9} : x = \frac{7}{18}$ $x$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое ($\frac{7}{9}$) разделить на частное ($\frac{7}{18}$):
$x = \frac{7}{9} : \frac{7}{18} = \frac{7}{9} \cdot \frac{18}{7} = \frac{7 \cdot 18}{9 \cdot 7}$
Сокращаем 7 в числителе и знаменателе, а также 18 и 9 (18 делится на 9):
$x = \frac{18}{9} = 2$
Ответ: $x = 2$

д) В уравнении $x : \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ $x$ является неизвестным делимым. Чтобы его найти, нужно частное ($\frac{1}{2}$) умножить на делитель ($\frac{1}{2}$):
$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $x = \frac{1}{4}$

е) В уравнении $\frac{12}{25} : x = \frac{3}{5}$ $x$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое ($\frac{12}{25}$) разделить на частное ($\frac{3}{5}$):
$x = \frac{12}{25} : \frac{3}{5} = \frac{12}{25} \cdot \frac{5}{3} = \frac{12 \cdot 5}{25 \cdot 3}$
Сокращаем 12 и 3 (оба делятся на 3), а также 5 и 25 (оба делятся на 5):
$x = \frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5}$
Ответ: $x = \frac{4}{5}$

4.201. а) Отрезок длиной 1 м разделили на несколько равных частей длиной $ \frac{1}{10} $ м. Сколько таких частей получилось?

б) 1 кг кофе рассыпали в пакеты по $ \frac{1}{4} $ кг. Сколько таких пакетов получилось?

в) 1 кг чая рассыпали в пакеты по $ \frac{1}{5} $ кг. Сколько таких пакетов получилось?

г) За 1 ч выполняют $ \frac{1}{3} $ некоторой работы. За сколько часов выполнят всю работу?

д) Два путника одновременно вышли навстречу друг другу из двух сёл. За 1 ч они проходят $ \frac{1}{4} $ расстояния между сёлами. Через сколько часов путники встретятся?

а) Чтобы узнать, сколько частей получилось, необходимо общую длину отрезка разделить на длину одной части. Общая длина составляет 1 м, а длина каждой части — $ \frac{1}{10} $ м.

Выполним деление:

$ 1 \div \frac{1}{10} = 1 \times \frac{10}{1} = 10 $ (частей)

Ответ: 10 частей.

б) Чтобы найти количество пакетов, нужно общий вес кофе разделить на вес кофе в одном пакете. Общий вес — 1 кг, а вес одного пакета — $ \frac{1}{4} $ кг.

Выполним деление:

$ 1 \div \frac{1}{4} = 1 \times \frac{4}{1} = 4 $ (пакета)

Ответ: 4 пакета.

в) Чтобы найти количество пакетов, нужно общий вес чая разделить на вес чая в одном пакете. Общий вес — 1 кг, а вес одного пакета — $ \frac{1}{5} $ кг.

Выполним деление:

$ 1 \div \frac{1}{5} = 1 \times \frac{5}{1} = 5 $ (пакетов)

Ответ: 5 пакетов.

г) Всю работу принимаем за 1 (одну целую). Если за 1 час выполняется $ \frac{1}{3} $ всей работы, то для нахождения времени выполнения всей работы нужно 1 разделить на часть работы, выполняемую за час.

Выполним деление:

$ 1 \div \frac{1}{3} = 1 \times \frac{3}{1} = 3 $ (часа)

Ответ: 3 часа.

д) Всё расстояние между сёлами принимаем за 1 (одну целую). За 1 час путники вместе проходят $ \frac{1}{4} $ этого расстояния. Это их скорость сближения. Чтобы найти время, через которое они встретятся, нужно всё расстояние разделить на скорость сближения.

Выполним деление:

$ 1 \div \frac{1}{4} = 1 \times \frac{4}{1} = 4 $ (часа)

Ответ: 4 часа.

4.202. а) Верёвку, длина которой 20 м, разрезали на 3 равные части. Какова длина каждой части?

б) Рыболовную леску, длина которой 11 м, разрезали на 4 равные части. Какова длина каждой части?

а) Для того чтобы найти длину каждой из трёх равных частей, необходимо общую длину верёвки разделить на количество частей.

Дано:
Общая длина верёвки = 20 м
Количество частей = 3

Решение:
Длина одной части = $20 \div 3 = \frac{20}{3}$ м.
Чтобы представить ответ в более понятном виде, выделим целую часть из неправильной дроби:
$\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ м.
Таким образом, длина каждой части верёвки составляет 6 целых и 2/3 метра.
Ответ: $6\frac{2}{3}$ м.

б) Аналогично, чтобы найти длину каждой из четырёх равных частей лески, необходимо её общую длину разделить на количество частей.

Дано:
Общая длина лески = 11 м
Количество частей = 4

Решение:
Длина одной части = $11 \div 4 = \frac{11}{4}$ м.
Выделим целую часть из дроби:
$\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$ м.
Этот результат также можно представить в виде десятичной дроби:
$2\frac{3}{4} = 2,75$ м.
Следовательно, длина каждой части лески равна 2 и 3/4 метра, или 2,75 метра.
Ответ: $2\frac{3}{4}$ м (или 2,75 м).