Страница 206 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.188. Запишите равенство, выражающее:

а) переместительный закон умножения;

$a \cdot b = b \cdot a$

б) сочетательный закон умножения;

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

в) распределительный закон.

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

а) переместительный закон умножения

Переместительный (или коммутативный) закон умножения гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Для любых чисел a и b это свойство выражается следующим равенством:

$a \cdot b = b \cdot a$

Например, $3 \cdot 5 = 15$ и $5 \cdot 3 = 15$.

Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$

б) сочетательный закон умножения

Сочетательный (или ассоциативный) закон умножения гласит, что при умножении трех и более чисел их можно группировать в любом порядке. Результат от этого не изменится. Для любых чисел a, b и c это свойство выражается равенством:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Например, $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$ и $2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 = 24$.

Ответ: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

в) распределительный закон

Распределительный (или дистрибутивный) закон умножения связывает операции умножения и сложения (или вычитания). Он гласит, что для умножения числа на сумму (или разность) можно умножить это число на каждое слагаемое (или на уменьшаемое и вычитаемое) и затем сложить (или вычесть) полученные произведения. Для любых чисел a, b и c это свойство выражается равенством:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Этот закон также верен и для вычитания:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Например, $5 \cdot (3 + 2) = 5 \cdot 5 = 25$ и $5 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 15 + 10 = 25$.

Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

4.189. Сформулируйте:

а) переместительный закон умножения;

б) сочетательный закон умножения;

в) распределительный закон.

а) переместительный закон умножения

Переместительный (или коммутативный) закон умножения гласит, что от перестановки мест множителей их произведение не меняется. Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство: $a \cdot b = b \cdot a$.
Ответ: От перемены мест множителей произведение не меняется. $a \cdot b = b \cdot a$.

б) сочетательный закон умножения

Сочетательный (или ассоциативный) закон умножения гласит, что при умножении трех или более чисел результат не зависит от порядка выполнения действий. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно сначала первое число умножить на произведение второго и третьего. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Ответ: Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

в) распределительный закон

Распределительный (или дистрибутивный) закон связывает операции умножения со сложением и вычитанием.
Относительно сложения: чтобы умножить сумму чисел на какое-либо число, можно умножить на это число каждое слагаемое в отдельности и затем сложить полученные произведения. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Относительно вычитания: чтобы умножить разность чисел на какое-либо число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое в отдельности, а затем из первого произведения вычесть второе. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.
Ответ: Чтобы умножить сумму (разность) на число, можно умножить на это число каждое слагаемое (уменьшаемое и вычитаемое) и полученные результаты сложить (вычесть). В общем виде: $(a \pm b) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c$.

4.190. Верно ли равенство? Ответ обоснуйте.

а) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$;

б) $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}$;

В) $\frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{3}{4} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$;

Г) $\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 8$.

а) $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} $

Данное равенство верно. Оно является иллюстрацией переместительного (коммутативного) свойства умножения, которое гласит, что от перестановки множителей произведение не меняется. Чтобы убедиться в этом, вычислим значения левой и правой частей равенства.

Левая часть: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $.

Правая часть: $ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} $.

Поскольку $ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} $, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

б) $ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} $

Данное равенство верно. Как и в предыдущем примере, здесь применяется переместительное (коммутативное) свойство умножения. Множители в правой части записаны в другом порядке, но их состав тот же, что и в левой части. Проверим это вычислением.

Левая часть: $ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{4 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{6}{84} $. Сократив дробь на 6, получаем $ \frac{1}{14} $.

Правая часть: $ \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 2}{7 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{6}{84} $. Сократив дробь на 6, получаем $ \frac{1}{14} $.

Поскольку $ \frac{1}{14} = \frac{1}{14} $, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

в) $ \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{4}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} $

Данное равенство верно. Это пример распределительного (дистрибутивного) свойства умножения относительно сложения, которое формулируется как $ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $. Проверим равенство, вычислив обе его части.

Вычислим левую часть:

1. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 20: $ \frac{1}{5} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{20} + \frac{3 \cdot 5}{20} = \frac{4 + 15}{20} = \frac{19}{20} $.

2. Теперь умножим: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{19}{20} = \frac{2 \cdot 19}{3 \cdot 20} = \frac{1 \cdot 19}{3 \cdot 10} = \frac{19}{30} $.

Вычислим правую часть:

1. Вычислим первое произведение: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15} $.

2. Вычислим второе произведение: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $.

3. Сложим полученные результаты, приведя их к общему знаменателю 30: $ \frac{2}{15} + \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{30} + \frac{1 \cdot 15}{30} = \frac{4 + 15}{30} = \frac{19}{30} $.

Поскольку $ \frac{19}{30} = \frac{19}{30} $, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

г) $ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 8 $

Данное равенство верно. Это также пример распределительного (дистрибутивного) свойства умножения относительно сложения: $ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $. Проверим равенство вычислением.

Вычислим левую часть:

1. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 4: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.

2. Теперь умножим: $ \frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{3 \cdot 8}{4} = \frac{24}{4} = 6 $.

Вычислим правую часть:

1. Вычислим первое произведение: $ \frac{1}{2} \cdot 8 = \frac{8}{2} = 4 $.

2. Вычислим второе произведение: $ \frac{1}{4} \cdot 8 = \frac{8}{4} = 2 $.

3. Сложим полученные результаты: $ 4 + 2 = 6 $.

Поскольку $ 6 = 6 $, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

Вычислите, используя законы умножения (4.191–4.193):

4.191. a) $(54 \cdot \frac{13}{14}) \cdot \frac{7}{13}$;

б) $(46 \cdot \frac{2}{15}) \cdot \frac{15}{23}$;

в) $(\frac{12}{13} \cdot \frac{14}{17}) \cdot (\frac{17}{14} \cdot \frac{13}{24})$;

г) $(\frac{5}{16} \cdot \frac{13}{18}) \cdot (\frac{18}{26} \cdot \frac{16}{25})$;

д) $\frac{21}{22} \cdot (\frac{22}{23} \cdot \frac{24}{25}) \cdot \frac{23}{24}$;

е) $\frac{32}{33} \cdot \frac{52}{53} \cdot (\frac{53}{52} \cdot \frac{33}{34})$.

а) $(54 \cdot \frac{13}{14}) \cdot \frac{7}{13}$

Воспользуемся сочетательным законом умножения $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ и сгруппируем дроби, чтобы упростить вычисление:

$(54 \cdot \frac{13}{14}) \cdot \frac{7}{13} = 54 \cdot (\frac{13}{14} \cdot \frac{7}{13})$

Теперь вычислим произведение дробей в скобках. Сократим общие множители (13 в числителе и знаменателе, а также 7 и 14):

$\frac{13}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{\cancel{13} \cdot \cancel{7}^1}{\cancel{14}^2 \cdot \cancel{13}} = \frac{1}{2}$

Подставим полученное значение обратно в выражение и найдем окончательный результат:

$54 \cdot \frac{1}{2} = \frac{54}{2} = 27$

Ответ: 27

б) $(46 \cdot \frac{2}{15}) \cdot \frac{15}{23}$

Применим сочетательный закон умножения, чтобы сгруппировать дроби:

$(46 \cdot \frac{2}{15}) \cdot \frac{15}{23} = 46 \cdot (\frac{2}{15} \cdot \frac{15}{23})$

Вычислим произведение дробей в скобках, сократив общий множитель 15:

$\frac{2}{15} \cdot \frac{15}{23} = \frac{2 \cdot \cancel{15}}{\cancel{15} \cdot 23} = \frac{2}{23}$

Теперь умножим 46 на полученную дробь. Заметим, что $46 = 2 \cdot 23$, и сократим дробь:

$46 \cdot \frac{2}{23} = \frac{46 \cdot 2}{23} = \frac{\cancel{46}^2 \cdot 2}{\cancel{23}^1} = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: 4

в) $(\frac{12}{13} \cdot \frac{14}{17}) \cdot (\frac{17}{14} \cdot \frac{13}{24})$

Используя сочетательный и переместительный законы умножения, мы можем перегруппировать множители для удобства вычислений. Раскроем скобки и сгруппируем дроби так, чтобы было легко сокращать:

$\frac{12}{13} \cdot \frac{14}{17} \cdot \frac{17}{14} \cdot \frac{13}{24} = (\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{24}) \cdot (\frac{14}{17} \cdot \frac{17}{14})$

Вычислим произведение в первой паре скобок, сокращая 13 и 12/24:

$\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{24} = \frac{\cancel{12}^1 \cdot \cancel{13}}{\cancel{13} \cdot \cancel{24}^2} = \frac{1}{2}$

Вычислим произведение во второй паре скобок. Это произведение взаимно обратных чисел, которое равно 1:

$\frac{14}{17} \cdot \frac{17}{14} = 1$

Перемножим полученные результаты:

$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $(\frac{5}{16} \cdot \frac{13}{18}) \cdot (\frac{18}{26} \cdot \frac{16}{25})$

Раскроем скобки и перегруппируем множители, используя законы умножения, чтобы объединить дроби с общими множителями в числителе и знаменателе:

$\frac{5}{16} \cdot \frac{13}{18} \cdot \frac{18}{26} \cdot \frac{16}{25} = (\frac{5}{16} \cdot \frac{16}{25}) \cdot (\frac{13}{18} \cdot \frac{18}{26})$

Вычислим произведение в первой группе:

$\frac{5}{16} \cdot \frac{16}{25} = \frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{16}}{\cancel{16} \cdot \cancel{25}^5} = \frac{1}{5}$

Вычислим произведение во второй группе:

$\frac{13}{18} \cdot \frac{18}{26} = \frac{\cancel{13}^1 \cdot \cancel{18}}{\cancel{18} \cdot \cancel{26}^2} = \frac{1}{2}$

Теперь умножим результаты:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

д) $\frac{21}{22} \cdot (\frac{22}{23} \cdot \frac{24}{25}) \cdot \frac{23}{24}$

Поскольку все операции — умножение, мы можем убрать скобки и перемножить все дроби. Запишем все множители в одну дробь, чтобы выполнить сокращение:

$\frac{21}{22} \cdot \frac{22}{23} \cdot \frac{24}{25} \cdot \frac{23}{24} = \frac{21 \cdot 22 \cdot 24 \cdot 23}{22 \cdot 23 \cdot 25 \cdot 24}$

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (22, 23 и 24):

$\frac{21 \cdot \cancel{22} \cdot \cancel{24} \cdot \cancel{23}}{\cancel{22} \cdot \cancel{23} \cdot 25 \cdot \cancel{24}} = \frac{21}{25}$

Ответ: $\frac{21}{25}$

е) $\frac{32}{33} \cdot \frac{52}{53} \cdot (\frac{53}{52} \cdot \frac{33}{34})$

Воспользуемся законами умножения, чтобы перегруппировать множители. Раскроем скобки и сгруппируем взаимно обратные дроби и дроби с общими множителями:

$\frac{32}{33} \cdot \frac{52}{53} \cdot \frac{53}{52} \cdot \frac{33}{34} = (\frac{32}{33} \cdot \frac{33}{34}) \cdot (\frac{52}{53} \cdot \frac{53}{52})$

Вычислим произведение второй группы, которое является произведением взаимно обратных чисел:

$\frac{52}{53} \cdot \frac{53}{52} = 1$

Теперь вычислим произведение первой группы:

$\frac{32}{33} \cdot \frac{33}{34} = \frac{32 \cdot \cancel{33}}{\cancel{33} \cdot 34} = \frac{32}{34}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{32}{34} = \frac{32 \div 2}{34 \div 2} = \frac{16}{17}$

Результат всего выражения равен $\frac{16}{17} \cdot 1 = \frac{16}{17}$.

Ответ: $\frac{16}{17}$