Номер 4.191, страница 206 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите, используя законы умножения (4.191–4.193):

4.191. a) $(54 \cdot \frac{13}{14}) \cdot \frac{7}{13}$;

б) $(46 \cdot \frac{2}{15}) \cdot \frac{15}{23}$;

в) $(\frac{12}{13} \cdot \frac{14}{17}) \cdot (\frac{17}{14} \cdot \frac{13}{24})$;

г) $(\frac{5}{16} \cdot \frac{13}{18}) \cdot (\frac{18}{26} \cdot \frac{16}{25})$;

д) $\frac{21}{22} \cdot (\frac{22}{23} \cdot \frac{24}{25}) \cdot \frac{23}{24}$;

е) $\frac{32}{33} \cdot \frac{52}{53} \cdot (\frac{53}{52} \cdot \frac{33}{34})$.

а) $(54 \cdot \frac{13}{14}) \cdot \frac{7}{13}$

Воспользуемся сочетательным законом умножения $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ и сгруппируем дроби, чтобы упростить вычисление:

$(54 \cdot \frac{13}{14}) \cdot \frac{7}{13} = 54 \cdot (\frac{13}{14} \cdot \frac{7}{13})$

Теперь вычислим произведение дробей в скобках. Сократим общие множители (13 в числителе и знаменателе, а также 7 и 14):

$\frac{13}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{\cancel{13} \cdot \cancel{7}^1}{\cancel{14}^2 \cdot \cancel{13}} = \frac{1}{2}$

Подставим полученное значение обратно в выражение и найдем окончательный результат:

$54 \cdot \frac{1}{2} = \frac{54}{2} = 27$

Ответ: 27

б) $(46 \cdot \frac{2}{15}) \cdot \frac{15}{23}$

Применим сочетательный закон умножения, чтобы сгруппировать дроби:

$(46 \cdot \frac{2}{15}) \cdot \frac{15}{23} = 46 \cdot (\frac{2}{15} \cdot \frac{15}{23})$

Вычислим произведение дробей в скобках, сократив общий множитель 15:

$\frac{2}{15} \cdot \frac{15}{23} = \frac{2 \cdot \cancel{15}}{\cancel{15} \cdot 23} = \frac{2}{23}$

Теперь умножим 46 на полученную дробь. Заметим, что $46 = 2 \cdot 23$, и сократим дробь:

$46 \cdot \frac{2}{23} = \frac{46 \cdot 2}{23} = \frac{\cancel{46}^2 \cdot 2}{\cancel{23}^1} = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: 4

в) $(\frac{12}{13} \cdot \frac{14}{17}) \cdot (\frac{17}{14} \cdot \frac{13}{24})$

Используя сочетательный и переместительный законы умножения, мы можем перегруппировать множители для удобства вычислений. Раскроем скобки и сгруппируем дроби так, чтобы было легко сокращать:

$\frac{12}{13} \cdot \frac{14}{17} \cdot \frac{17}{14} \cdot \frac{13}{24} = (\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{24}) \cdot (\frac{14}{17} \cdot \frac{17}{14})$

Вычислим произведение в первой паре скобок, сокращая 13 и 12/24:

$\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{24} = \frac{\cancel{12}^1 \cdot \cancel{13}}{\cancel{13} \cdot \cancel{24}^2} = \frac{1}{2}$

Вычислим произведение во второй паре скобок. Это произведение взаимно обратных чисел, которое равно 1:

$\frac{14}{17} \cdot \frac{17}{14} = 1$

Перемножим полученные результаты:

$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $(\frac{5}{16} \cdot \frac{13}{18}) \cdot (\frac{18}{26} \cdot \frac{16}{25})$

Раскроем скобки и перегруппируем множители, используя законы умножения, чтобы объединить дроби с общими множителями в числителе и знаменателе:

$\frac{5}{16} \cdot \frac{13}{18} \cdot \frac{18}{26} \cdot \frac{16}{25} = (\frac{5}{16} \cdot \frac{16}{25}) \cdot (\frac{13}{18} \cdot \frac{18}{26})$

Вычислим произведение в первой группе:

$\frac{5}{16} \cdot \frac{16}{25} = \frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{16}}{\cancel{16} \cdot \cancel{25}^5} = \frac{1}{5}$

Вычислим произведение во второй группе:

$\frac{13}{18} \cdot \frac{18}{26} = \frac{\cancel{13}^1 \cdot \cancel{18}}{\cancel{18} \cdot \cancel{26}^2} = \frac{1}{2}$

Теперь умножим результаты:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

д) $\frac{21}{22} \cdot (\frac{22}{23} \cdot \frac{24}{25}) \cdot \frac{23}{24}$

Поскольку все операции — умножение, мы можем убрать скобки и перемножить все дроби. Запишем все множители в одну дробь, чтобы выполнить сокращение:

$\frac{21}{22} \cdot \frac{22}{23} \cdot \frac{24}{25} \cdot \frac{23}{24} = \frac{21 \cdot 22 \cdot 24 \cdot 23}{22 \cdot 23 \cdot 25 \cdot 24}$

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (22, 23 и 24):

$\frac{21 \cdot \cancel{22} \cdot \cancel{24} \cdot \cancel{23}}{\cancel{22} \cdot \cancel{23} \cdot 25 \cdot \cancel{24}} = \frac{21}{25}$

Ответ: $\frac{21}{25}$

е) $\frac{32}{33} \cdot \frac{52}{53} \cdot (\frac{53}{52} \cdot \frac{33}{34})$

Воспользуемся законами умножения, чтобы перегруппировать множители. Раскроем скобки и сгруппируем взаимно обратные дроби и дроби с общими множителями:

$\frac{32}{33} \cdot \frac{52}{53} \cdot \frac{53}{52} \cdot \frac{33}{34} = (\frac{32}{33} \cdot \frac{33}{34}) \cdot (\frac{52}{53} \cdot \frac{53}{52})$

Вычислим произведение второй группы, которое является произведением взаимно обратных чисел:

$\frac{52}{53} \cdot \frac{53}{52} = 1$

Теперь вычислим произведение первой группы:

$\frac{32}{33} \cdot \frac{33}{34} = \frac{32 \cdot \cancel{33}}{\cancel{33} \cdot 34} = \frac{32}{34}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{32}{34} = \frac{32 \div 2}{34 \div 2} = \frac{16}{17}$

Результат всего выражения равен $\frac{16}{17} \cdot 1 = \frac{16}{17}$.

Ответ: $\frac{16}{17}$