Номер 4.194, страница 207 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.194. Дано выражение $ \frac{15}{17} \cdot \frac{a}{13} - \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{13} $.

а) Каким натуральным числом надо заменить букву a, чтобы можно было устно найти значение этого выражения?

б) Какое натуральное число a можно взять, чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13; дробью со знаменателем 17; натуральным числом; нулём?

Сначала упростим данное выражение. Для этого вынесем общий множитель $ \frac{15}{17} $ за скобки:
$ \frac{15}{17} \cdot \frac{a}{13} - \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{13} = \frac{15}{17} \cdot \left(\frac{a}{13} - \frac{3}{13}\right) = \frac{15}{17} \cdot \frac{a-3}{13} = \frac{15 \cdot (a-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15 \cdot (a-3)}{221} $.

а) Чтобы значение выражения можно было легко найти устно, нужно максимально упростить вычисление. Самый простой случай — когда выражение равно нулю. Это произойдет, если числитель дроби равен нулю.
$ 15 \cdot (a-3) = 0 $
Так как $ 15 \neq 0 $, то должно выполняться равенство:
$ a-3 = 0 $
$ a = 3 $
При $ a=3 $ (это натуральное число), значение выражения равно 0, что очень легко вычисляется устно.
Ответ: $ a=3 $.

б) Используем упрощенное выражение $ \frac{15 \cdot (a-3)}{17 \cdot 13} $ для нахождения подходящих значений $ a $.

Чтобы значение выражения было дробью со знаменателем 13:
Необходимо, чтобы в знаменателе $ 17 \cdot 13 $ сократился множитель 17. Для этого числитель $ 15 \cdot (a-3) $ должен делиться на 17. Так как 15 не делится на 17, то множитель $ (a-3) $ должен быть кратен 17. Возьмем простейший случай, когда $ a-3 = 17 $.
$ a-3 = 17 $
$ a = 17 + 3 = 20 $
Проверим: при $ a=20 $ выражение равно $ \frac{15 \cdot (20-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15 \cdot 17}{17 \cdot 13} = \frac{15}{13} $.
Ответ: например, $ a=20 $.

Чтобы значение выражения было дробью со знаменателем 17:
Необходимо, чтобы в знаменателе $ 17 \cdot 13 $ сократился множитель 13. Для этого числитель $ 15 \cdot (a-3) $ должен делиться на 13. Так как 15 не делится на 13, то множитель $ (a-3) $ должен быть кратен 13. Возьмем простейший случай, когда $ a-3 = 13 $.
$ a-3 = 13 $
$ a = 13 + 3 = 16 $
Проверим: при $ a=16 $ выражение равно $ \frac{15 \cdot (16-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15 \cdot 13}{17 \cdot 13} = \frac{15}{17} $.
Ответ: например, $ a=16 $.

Чтобы значение выражения было натуральным числом:
Необходимо, чтобы знаменатель $ 17 \cdot 13 = 221 $ полностью сократился. Для этого числитель $ 15 \cdot (a-3) $ должен быть кратен 221. Так как 15 и 221 взаимно простые числа, то множитель $ (a-3) $ должен быть кратен 221. Возьмем простейший случай, когда $ a-3 = 221 $.
$ a-3 = 221 $
$ a = 221 + 3 = 224 $
Проверим: при $ a=224 $ выражение равно $ \frac{15 \cdot (224-3)}{221} = \frac{15 \cdot 221}{221} = 15 $. 15 — натуральное число.
Ответ: например, $ a=224 $.

Чтобы значение выражения было нулём:
Необходимо, чтобы числитель выражения был равен нулю.
$ 15 \cdot (a-3) = 0 $
$ a-3=0 $
$ a=3 $
Число 3 является натуральным.
Ответ: $ a=3 $.