Номер 4.198, страница 210 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.198. Вычислите частное и проверьте ответ умножением:

а) $\frac{1}{2} : \frac{1}{3};$

б) $\frac{1}{2} : \frac{1}{4};$

в) $\frac{1}{8} : \frac{1}{4};$

г) $\frac{1}{4} : \frac{4}{5};$

д) $\frac{8}{9} : \frac{4}{21};$

е) $\frac{16}{25} : \frac{24}{35};$

ж) $\frac{52}{81} : \frac{26}{27};$

з) $\frac{100}{123} : \frac{75}{82}.$

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю).

$ \frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{1} = \frac{1 \times 3}{2 \times 1} = \frac{3}{2} $.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $.

Проверка умножением: частное умножаем на делитель и должны получить делимое.

$ \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{2 \times 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.

Проверка верна.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

б)

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{1 \times 4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2 $.

Проверка умножением:

$ 2 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{2 \times 1}{1 \times 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Проверка верна.

Ответ: $2$.

в)

Выполним деление:

$ \frac{1}{8} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \times \frac{4}{1} = \frac{1 \times 4}{8 \times 1} = \frac{4}{8} $.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2} $.

Проверка умножением:

$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1 \times 1}{2 \times 4} = \frac{1}{8} $.

Проверка верна.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г)

Выполним деление:

$ \frac{1}{4} \div \frac{4}{5} = \frac{1}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 4} = \frac{5}{16} $.

Проверка умножением:

$ \frac{5}{16} \times \frac{4}{5} = \frac{5 \times 4}{16 \times 5} = \frac{\cancel{5} \times 4}{16 \times \cancel{5}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $.

Проверка верна.

Ответ: $\frac{5}{16}$.

д)

Выполним деление, предварительно сократив множители:

$ \frac{8}{9} \div \frac{4}{21} = \frac{8}{9} \times \frac{21}{4} = \frac{8 \times 21}{9 \times 4} = \frac{(2 \times \cancel{4}) \times (7 \times \cancel{3})}{(3 \times \cancel{3}) \times \cancel{4}} = \frac{2 \times 7}{3} = \frac{14}{3} $.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $.

Проверка умножением:

$ \frac{14}{3} \times \frac{4}{21} = \frac{14 \times 4}{3 \times 21} = \frac{(2 \times \cancel{7}) \times 4}{3 \times (3 \times \cancel{7})} = \frac{2 \times 4}{3 \times 3} = \frac{8}{9} $.

Проверка верна.

Ответ: $4\frac{2}{3}$.

е)

Выполним деление с сокращением:

$ \frac{16}{25} \div \frac{24}{35} = \frac{16}{25} \times \frac{35}{24} = \frac{16 \times 35}{25 \times 24} = \frac{(2 \times \cancel{8}) \times (7 \times \cancel{5})}{(\cancel{5} \times 5) \times (3 \times \cancel{8})} = \frac{2 \times 7}{5 \times 3} = \frac{14}{15} $.

Проверка умножением:

$ \frac{14}{15} \times \frac{24}{35} = \frac{14 \times 24}{15 \times 35} = \frac{(2 \times \cancel{7}) \times (\cancel{3} \times 8)}{(\cancel{3} \times 5) \times (5 \times \cancel{7})} = \frac{2 \times 8}{5 \times 5} = \frac{16}{25} $.

Проверка верна.

Ответ: $\frac{14}{15}$.

ж)

Выполним деление с сокращением:

$ \frac{52}{81} \div \frac{26}{27} = \frac{52}{81} \times \frac{27}{26} = \frac{52 \times 27}{81 \times 26} = \frac{(2 \times \cancel{26}) \times \cancel{27}}{(3 \times \cancel{27}) \times \cancel{26}} = \frac{2}{3} $.

Проверка умножением:

$ \frac{2}{3} \times \frac{26}{27} = \frac{2 \times 26}{3 \times 27} = \frac{52}{81} $.

Проверка верна.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

з)

Выполним деление с сокращением. Для этого разложим числа на удобные множители:

$ \frac{100}{123} \div \frac{75}{82} = \frac{100}{123} \times \frac{82}{75} = \frac{100 \times 82}{123 \times 75} $.

Сократим 100 и 75 на 25. Сократим 123 и 82 на их общий делитель 41 ($123 = 3 \times 41$, $82 = 2 \times 41$).

$ \frac{(4 \times \cancel{25}) \times (2 \times \cancel{41})}{(3 \times \cancel{41}) \times (3 \times \cancel{25})} = \frac{4 \times 2}{3 \times 3} = \frac{8}{9} $.

Проверка умножением:

$ \frac{8}{9} \times \frac{75}{82} = \frac{8 \times 75}{9 \times 82} = \frac{(4 \times \cancel{2}) \times (\cancel{3} \times 25)}{(\cancel{3} \times 3) \times (\cancel{2} \times 41)} = \frac{4 \times 25}{3 \times 41} = \frac{100}{123} $.

Проверка верна.

Ответ: $\frac{8}{9}$.