Страница 207 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.192. а) $48 \cdot \frac{5}{17} + 48 \cdot \frac{12}{17}$;

б) $55 \cdot \frac{7}{11} - 55 \cdot \frac{6}{11}$;

в) $\frac{11}{13} \cdot \frac{11}{15} + \frac{11}{13} \cdot \frac{2}{15}$;

г) $\frac{12}{19} \cdot \frac{23}{15} - \frac{12}{19} \cdot \frac{4}{15}$;

д) $\frac{22}{21} \cdot \frac{5}{14} + \frac{20}{21} \cdot \frac{5}{14}$;

е) $\frac{47}{11} \cdot \frac{1}{2} - \frac{25}{11} \cdot \frac{1}{2}$.

а) $48 \cdot \frac{5}{17} + 48 \cdot \frac{12}{17}$

Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$. В данном случае общим множителем является число 48. Вынесем его за скобки:

$48 \cdot (\frac{5}{17} + \frac{12}{17})$

Теперь выполним сложение дробей в скобках. Так как у них одинаковый знаменатель, нужно сложить их числители:

$\frac{5}{17} + \frac{12}{17} = \frac{5+12}{17} = \frac{17}{17} = 1$

В результате получаем:

$48 \cdot 1 = 48$

Ответ: 48

б) $55 \cdot \frac{7}{11} - 55 \cdot \frac{6}{11}$

Используем распределительное свойство умножения относительно вычитания $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$. Общий множитель здесь 55. Выносим его за скобки:

$55 \cdot (\frac{7}{11} - \frac{6}{11})$

Выполним вычитание дробей в скобках. Знаменатели одинаковы, поэтому вычитаем числители:

$\frac{7}{11} - \frac{6}{11} = \frac{7-6}{11} = \frac{1}{11}$

Теперь умножим 55 на полученную дробь:

$55 \cdot \frac{1}{11} = \frac{55}{11} = 5$

Ответ: 5

в) $\frac{11}{13} \cdot \frac{11}{15} + \frac{11}{13} \cdot \frac{2}{15}$

Здесь общий множитель — это дробь $\frac{11}{13}$. Вынесем ее за скобки, применяя распределительное свойство:

$\frac{11}{13} \cdot (\frac{11}{15} + \frac{2}{15})$

Сложим дроби в скобках:

$\frac{11}{15} + \frac{2}{15} = \frac{11+2}{15} = \frac{13}{15}$

Теперь перемножим дроби. Сократим 13 в числителе и знаменателе:

$\frac{11}{13} \cdot \frac{13}{15} = \frac{11 \cdot \cancel{13}}{\cancel{13} \cdot 15} = \frac{11}{15}$

Ответ: $\frac{11}{15}$

г) $\frac{12}{19} \cdot \frac{23}{15} - \frac{12}{19} \cdot \frac{4}{15}$

Общий множитель — $\frac{12}{19}$. Вынесем его за скобки:

$\frac{12}{19} \cdot (\frac{23}{15} - \frac{4}{15})$

Выполним вычитание в скобках:

$\frac{23}{15} - \frac{4}{15} = \frac{23-4}{15} = \frac{19}{15}$

Теперь выполним умножение. Сократим 19 в числителе и знаменателе:

$\frac{12}{19} \cdot \frac{19}{15} = \frac{12 \cdot \cancel{19}}{\cancel{19} \cdot 15} = \frac{12}{15}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

д) $\frac{22}{21} \cdot \frac{5}{14} + \frac{20}{21} \cdot \frac{5}{14}$

В этом выражении общий множитель — дробь $\frac{5}{14}$. Вынесем его за скобки:

$(\frac{22}{21} + \frac{20}{21}) \cdot \frac{5}{14}$

Сначала сложим дроби в скобках:

$\frac{22}{21} + \frac{20}{21} = \frac{22+20}{21} = \frac{42}{21} = 2$

Теперь умножим результат на $\frac{5}{14}$:

$2 \cdot \frac{5}{14} = \frac{2 \cdot 5}{14} = \frac{10}{14}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{10 \div 2}{14 \div 2} = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{5}{7}$

е) $\frac{47}{11} \cdot \frac{1}{2} - \frac{25}{11} \cdot \frac{1}{2}$

Общий множитель здесь — $\frac{1}{2}$. Вынесем его за скобки:

$(\frac{47}{11} - \frac{25}{11}) \cdot \frac{1}{2}$

Выполним вычитание дробей в скобках:

$\frac{47}{11} - \frac{25}{11} = \frac{47-25}{11} = \frac{22}{11} = 2$

Теперь умножим результат на $\frac{1}{2}$:

$2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1

4.193. а) $(23 \cdot \frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43} + (20 \cdot \frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43}$;

б) $(47 \cdot \frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27} - (20 \cdot \frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27}$;

в) $(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9})$;

г) $(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}) \cdot (\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}).$

а) Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения. Сначала вынесем за скобки общий множитель $\frac{5}{43}$:
$(23 \cdot \frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43} + (20 \cdot \frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43} = (23 \cdot \frac{11}{25} + 20 \cdot \frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43}$
Теперь в скобках можно вынести общий множитель $\frac{11}{25}$:
$((23 + 20) \cdot \frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43}$
Выполним сложение в скобках:
$(43 \cdot \frac{11}{25}) \cdot \frac{5}{43}$
Раскроем скобки и перемножим дроби, сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{43 \cdot 11 \cdot 5}{25 \cdot 43} = \frac{11 \cdot 5}{25} = \frac{55}{25}$
Сократим дробь на 5 и выделим целую часть:
$\frac{11}{5} = 2\frac{1}{5}$
Ответ: $2\frac{1}{5}$

б) Этот пример решается аналогично предыдущему, с использованием распределительного свойства для вычитания. Вынесем общие множители $\frac{1}{26}$ и $\frac{13}{27}$ за скобки:
$(47 \cdot \frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27} - (20 \cdot \frac{1}{26}) \cdot \frac{13}{27} = (47 - 20) \cdot \frac{1}{26} \cdot \frac{13}{27}$
Выполним вычитание в скобках:
$27 \cdot \frac{1}{26} \cdot \frac{13}{27}$
Запишем всё в виде одной дроби и сократим:
$\frac{27 \cdot 1 \cdot 13}{26 \cdot 27} = \frac{13}{26}$
Сократим полученную дробь на 13:
$\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) В этом выражении все операции — умножение, поэтому мы можем убрать скобки и перемножить все дроби.
$(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}$
Запишем произведение в виде одной дроби:
$\frac{1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8}{2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 9}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8):
$\frac{1 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8)}{(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8) \cdot 9} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

г) Этот пример также представляет собой произведение дробей. Уберем скобки и запишем все множители подряд.
$(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}) \cdot (\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}$
Запишем всё в виде одной дроби для удобства сокращения:
$\frac{2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 9}{3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 10}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9):
$\frac{2 \cdot (3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9)}{(3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9) \cdot 10} = \frac{2}{10}$
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$

4.194. Дано выражение $ \frac{15}{17} \cdot \frac{a}{13} - \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{13} $.

а) Каким натуральным числом надо заменить букву a, чтобы можно было устно найти значение этого выражения?

б) Какое натуральное число a можно взять, чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13; дробью со знаменателем 17; натуральным числом; нулём?

Сначала упростим данное выражение. Для этого вынесем общий множитель $ \frac{15}{17} $ за скобки:
$ \frac{15}{17} \cdot \frac{a}{13} - \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{13} = \frac{15}{17} \cdot \left(\frac{a}{13} - \frac{3}{13}\right) = \frac{15}{17} \cdot \frac{a-3}{13} = \frac{15 \cdot (a-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15 \cdot (a-3)}{221} $.

а) Чтобы значение выражения можно было легко найти устно, нужно максимально упростить вычисление. Самый простой случай — когда выражение равно нулю. Это произойдет, если числитель дроби равен нулю.
$ 15 \cdot (a-3) = 0 $
Так как $ 15 \neq 0 $, то должно выполняться равенство:
$ a-3 = 0 $
$ a = 3 $
При $ a=3 $ (это натуральное число), значение выражения равно 0, что очень легко вычисляется устно.
Ответ: $ a=3 $.

б) Используем упрощенное выражение $ \frac{15 \cdot (a-3)}{17 \cdot 13} $ для нахождения подходящих значений $ a $.

Чтобы значение выражения было дробью со знаменателем 13:
Необходимо, чтобы в знаменателе $ 17 \cdot 13 $ сократился множитель 17. Для этого числитель $ 15 \cdot (a-3) $ должен делиться на 17. Так как 15 не делится на 17, то множитель $ (a-3) $ должен быть кратен 17. Возьмем простейший случай, когда $ a-3 = 17 $.
$ a-3 = 17 $
$ a = 17 + 3 = 20 $
Проверим: при $ a=20 $ выражение равно $ \frac{15 \cdot (20-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15 \cdot 17}{17 \cdot 13} = \frac{15}{13} $.
Ответ: например, $ a=20 $.

Чтобы значение выражения было дробью со знаменателем 17:
Необходимо, чтобы в знаменателе $ 17 \cdot 13 $ сократился множитель 13. Для этого числитель $ 15 \cdot (a-3) $ должен делиться на 13. Так как 15 не делится на 13, то множитель $ (a-3) $ должен быть кратен 13. Возьмем простейший случай, когда $ a-3 = 13 $.
$ a-3 = 13 $
$ a = 13 + 3 = 16 $
Проверим: при $ a=16 $ выражение равно $ \frac{15 \cdot (16-3)}{17 \cdot 13} = \frac{15 \cdot 13}{17 \cdot 13} = \frac{15}{17} $.
Ответ: например, $ a=16 $.

Чтобы значение выражения было натуральным числом:
Необходимо, чтобы знаменатель $ 17 \cdot 13 = 221 $ полностью сократился. Для этого числитель $ 15 \cdot (a-3) $ должен быть кратен 221. Так как 15 и 221 взаимно простые числа, то множитель $ (a-3) $ должен быть кратен 221. Возьмем простейший случай, когда $ a-3 = 221 $.
$ a-3 = 221 $
$ a = 221 + 3 = 224 $
Проверим: при $ a=224 $ выражение равно $ \frac{15 \cdot (224-3)}{221} = \frac{15 \cdot 221}{221} = 15 $. 15 — натуральное число.
Ответ: например, $ a=224 $.

Чтобы значение выражения было нулём:
Необходимо, чтобы числитель выражения был равен нулю.
$ 15 \cdot (a-3) = 0 $
$ a-3=0 $
$ a=3 $
Число 3 является натуральным.
Ответ: $ a=3 $.