Страница 202 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.159. Назовите дробь, обратную дроби $\frac{3}{7}$.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти дробь, обратную данной, нужно поменять местами её числитель и знаменатель.

Дана дробь $ \frac{3}{7} $.

Её числитель — это 3, а знаменатель — 7.

Чтобы получить обратную дробь, мы должны сделать знаменатель (7) новым числителем, а числитель (3) — новым знаменателем. В результате мы получим дробь $ \frac{7}{3} $.

Выполним проверку, умножив исходную дробь на полученную:

$ \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{21}{21} = 1 $

Поскольку произведение равно 1, дроби являются взаимно обратными.

Ответ: $ \frac{7}{3} $

4.160 Какие дроби называют взаимно обратными? Приведите пример.

Какие дроби называют взаимно обратными?

Взаимно обратными называют два числа, произведение которых равно 1.

Чтобы найти дробь, обратную дроби $\frac{a}{b}$, где $a \neq 0$ и $b \neq 0$, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель. Получится дробь $\frac{b}{a}$.

Проверим их произведение:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$

Таким образом, дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ являются взаимно обратными.

Ответ: Дроби, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Приведите пример.

Возьмем дробь $\frac{2}{5}$.

Дробь, обратная ей, будет $\frac{5}{2}$, так как мы поменяли местами числитель и знаменатель.

Проверим, что их произведение равно 1:

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 2} = \frac{10}{10} = 1$

Произведение равно 1, следовательно, дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{2}$ — взаимно обратные.

Другой пример: целое число 7 и дробь $\frac{1}{7}$. Число 7 можно представить как дробь $\frac{7}{1}$. Обратной для нее будет дробь $\frac{1}{7}$. Их произведение: $7 \cdot \frac{1}{7} = \frac{7}{1} \cdot \frac{1}{7} = 1$.

Ответ: Примером взаимно обратных дробей являются $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{2}$.

4.161. Чему равно произведение взаимно обратных чисел?

Взаимно обратными числами называются два числа, произведение которых равно 1. Это и есть ответ на вопрос, заложенный в самом определении.

Рассмотрим общее правило. Если у нас есть число $a$ (где $a \neq 0$), то обратным ему будет число $\frac{1}{a}$.

Найдем их произведение:
$a \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{1} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a \cdot 1}{1 \cdot a} = \frac{a}{a} = 1$

Это правило работает для любых чисел, кроме нуля (на ноль делить нельзя, поэтому у него нет обратного числа).

Примеры:

• Число 5 и обратное ему число $\frac{1}{5}$.
  $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$
• Дробь $\frac{2}{7}$ и обратная ей дробь $\frac{7}{2}$.
  $\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{14}{14} = 1$
• Десятичная дробь 0,25 и обратное ей число 4.
  $0,25 = \frac{1}{4}$, поэтому $0,25 \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$

Таким образом, произведение любых двух взаимно обратных чисел всегда равно единице.

Ответ: 1.

4.162. Вычислите произведение:

а) $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9}$;

б) $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{11}$;

в) $\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{5}$;

г) $\frac{5}{8} \cdot \frac{9}{7}$.

а) Чтобы найти произведение двух дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Числитель итоговой дроби будет произведением числителей исходных дробей, а знаменатель — произведением их знаменателей.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 9} = \frac{10}{27}$

Полученная дробь $\frac{10}{27}$ является несократимой, так как числитель 10 и знаменатель 27 не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{10}{27}$

б) Умножим числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{11} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 11} = \frac{6}{55}$

Дробь $\frac{6}{55}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{6}{55}$

в) Вычислим произведение дробей, перемножая числители и знаменатели.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{5} = \frac{7 \cdot 9}{8 \cdot 5} = \frac{63}{40}$

Результатом является неправильная дробь, так как ее числитель больше знаменателя. Эту дробь можно представить в виде смешанного числа: $63 \div 40 = 1$ с остатком $23$, то есть $1\frac{23}{40}$.

Ответ: $\frac{63}{40}$

г) Найдем произведение, умножив числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

$\frac{5}{8} \cdot \frac{9}{7} = \frac{5 \cdot 9}{8 \cdot 7} = \frac{45}{56}$

Проверим возможность сокращения дроби. Разложим на простые множители: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$; $56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$. Общих множителей нет, следовательно, дробь $\frac{45}{56}$ несократимая.

Ответ: $\frac{45}{56}$

4.163. Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу:

а) $\frac{6}{8} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{3}{4}$;

б) $\frac{15}{24}$;

в) $\frac{12}{8}$;

г) $\frac{25}{30}$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{15}{24}$, представим ее числитель и знаменатель в виде произведения натуральных чисел, выделив общий множитель. Общим множителем для чисел 15 и 24 является 3.
Запишем числитель в виде произведения: $15 = 5 \cdot 3$.
Запишем знаменатель в виде произведения: $24 = 8 \cdot 3$.
Теперь подставим эти произведения в исходную дробь и сократим ее на общий множитель 3:
$\frac{15}{24} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{5}{8}$.

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{12}{8}$, представим ее числитель и знаменатель в виде произведения натуральных чисел с общим множителем. Наибольший общий делитель для 12 и 8 — это 4.
Представим числитель как произведение: $12 = 3 \cdot 4$.
Представим знаменатель как произведение: $8 = 2 \cdot 4$.
Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем и сократим ее на общий множитель 4:
$\frac{12}{8} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{25}{30}$, представим ее числитель и знаменатель в виде произведения натуральных чисел, найдя их общий множитель. Наибольший общий делитель для 25 и 30 — это 5.
Представим числитель как произведение: $25 = 5 \cdot 5$.
Представим знаменатель как произведение: $30 = 6 \cdot 5$.
Подставим полученные произведения в дробь и сократим ее на общий множитель 5:
$\frac{25}{30} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

4.164. Сократите дробь:

а) $\frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 15}$;

б) $\frac{6 \cdot 15}{30 \cdot 18}$;

в) $\frac{8 \cdot 9}{27 \cdot 6}$;

г) $\frac{35 \cdot 42}{30 \cdot 49}$;

д) $\frac{18 \cdot 45}{40 \cdot 27}$;

е) $\frac{63 \cdot 56}{49 \cdot 45}$;

ж) $\frac{12 \cdot 15 \cdot 26}{13 \cdot 120}$;

з) $\frac{48 \cdot 5 \cdot 12}{30 \cdot 16 \cdot 8}$.

Для сокращения дроби необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и разделить их на эти множители.

а)

В дроби $\frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 15}$ можно сократить множители 8 (в числителе) и 4 (в знаменателе) на их общий делитель 4.

$8 \div 4 = 2$

$4 \div 4 = 1$

После сокращения получаем:

$\frac{7 \cdot 2}{1 \cdot 15} = \frac{14}{15}$

Ответ: $\frac{14}{15}$.

б)

В дроби $\frac{6 \cdot 15}{30 \cdot 18}$ можно выполнить сокращение в несколько шагов.

1. Сократим 6 и 18 на 6: $6 \div 6 = 1$, $18 \div 6 = 3$.

2. Сократим 15 и 30 на 15: $15 \div 15 = 1$, $30 \div 15 = 2$.

Запишем результат:

$\frac{(6:6) \cdot (15:15)}{(30:15) \cdot (18:6)} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

в)

В дроби $\frac{8 \cdot 9}{27 \cdot 6}$ выполним сокращение.

1. Сократим 9 и 27 на 9: $9 \div 9 = 1$, $27 \div 9 = 3$.

2. Сократим 8 и 6 на 2: $8 \div 2 = 4$, $6 \div 2 = 3$.

Получаем:

$\frac{(8:2) \cdot (9:9)}{(27:9) \cdot (6:2)} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$.

г)

В дроби $\frac{35 \cdot 42}{30 \cdot 49}$ выполним сокращение.

1. Сократим 35 и 30 на 5: $35 \div 5 = 7$, $30 \div 5 = 6$.

2. Сократим 42 и 49 на 7: $42 \div 7 = 6$, $49 \div 7 = 7$.

Получаем: $\frac{7 \cdot 6}{6 \cdot 7}$.

Теперь можно сократить 7 и 7, а также 6 и 6. В итоге получаем 1.

$\frac{\sout{7} \cdot \sout{6}}{\sout{6} \cdot \sout{7}} = 1$

Ответ: $1$.

д)

В дроби $\frac{18 \cdot 45}{40 \cdot 27}$ выполним сокращение.

1. Сократим 18 и 27 на 9: $18 \div 9 = 2$, $27 \div 9 = 3$.

2. Сократим 45 и 40 на 5: $45 \div 5 = 9$, $40 \div 5 = 8$.

Получаем: $\frac{2 \cdot 9}{8 \cdot 3}$.

Теперь можно сократить 2 и 8 на 2, а также 9 и 3 на 3:

$\frac{(2:2) \cdot (9:3)}{(8:2) \cdot (3:3)} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

е)

В дроби $\frac{63 \cdot 56}{49 \cdot 45}$ выполним сокращение.

1. Сократим 63 и 45 на 9: $63 \div 9 = 7$, $45 \div 9 = 5$.

2. Сократим 56 и 49 на 7: $56 \div 7 = 8$, $49 \div 7 = 7$.

Получаем: $\frac{7 \cdot 8}{7 \cdot 5}$.

Сократим 7 в числителе и знаменателе:

$\frac{8}{5}$

Ответ: $\frac{8}{5}$.

ж)

В дроби $\frac{12 \cdot 15 \cdot 26}{13 \cdot 120}$ выполним сокращение.

1. Сократим 12 и 120 на 12: $12 \div 12 = 1$, $120 \div 12 = 10$.

2. Сократим 26 и 13 на 13: $26 \div 13 = 2$, $13 \div 13 = 1$.

Получаем: $\frac{1 \cdot 15 \cdot 2}{1 \cdot 10} = \frac{30}{10}$.

Сократим 30 на 10:

$\frac{30}{10} = 3$

Ответ: $3$.

з)

В дроби $\frac{48 \cdot 5 \cdot 12}{30 \cdot 16 \cdot 8}$ выполним сокращение.

1. Сократим 48 и 16 на 16: $48 \div 16 = 3$, $16 \div 16 = 1$.

2. Сократим 12 и 8 на 4: $12 \div 4 = 3$, $8 \div 4 = 2$.

Получаем: $\frac{3 \cdot 5 \cdot 3}{30 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{45}{60}$.

Теперь сократим дробь $\frac{45}{60}$ на их наибольший общий делитель 15.

$45 \div 15 = 3$

$60 \div 15 = 4$

Получаем: $\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

Вычислите произведение (4.165–4.172):

4.165. а) $\frac{5}{12} \cdot \frac{7}{8};$

б) $\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9};$

в) $\frac{12}{13} \cdot \frac{2}{3};$

г) $\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{16};$

д) $\frac{14}{25} \cdot \frac{10}{49};$

е) $\frac{13}{10} \cdot \frac{100}{39};$

ж) $\frac{15}{14} \cdot \frac{7}{12};$

з) $\frac{45}{34} \cdot \frac{17}{15}.$

а) Для вычисления произведения $\frac{5}{12} \cdot \frac{7}{8}$ перемножим числители и знаменатели дробей: $\frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 8} = \frac{35}{96}$. У числителя 35 и знаменателя 96 нет общих делителей, кроме 1, поэтому дробь несократима.
Ответ: $\frac{35}{96}$

б) Чтобы вычислить произведение $\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9}$, запишем его под общей чертой: $\frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 9}$. Прежде чем перемножать, выполним сокращение. Числитель 6 и знаменатель 9 имеют общий делитель 3. Сократив на 3, получим: $\frac{2 \cdot 8}{7 \cdot 3}$. Теперь выполним умножение: $\frac{16}{21}$.
Ответ: $\frac{16}{21}$

в) Вычислим произведение $\frac{12}{13} \cdot \frac{2}{3}$. Запишем под общей чертой: $\frac{12 \cdot 2}{13 \cdot 3}$. Сократим числитель 12 и знаменатель 3 на их общий делитель 3: $\frac{4 \cdot 2}{13 \cdot 1}$. В результате умножения получаем $\frac{8}{13}$.
Ответ: $\frac{8}{13}$

г) Для вычисления произведения $\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{16}$ запишем дроби под общей чертой: $\frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 16}$. Выполним сокращение "крест-накрест". Сократим 4 и 16 на их общий делитель 4. Сократим 27 и 9 на их общий делитель 9. Получим: $\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4}$. Результат умножения равен $\frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

д) Вычислим произведение $\frac{14}{25} \cdot \frac{10}{49}$. Запишем под общей чертой: $\frac{14 \cdot 10}{25 \cdot 49}$. Сократим 14 и 49 на их общий делитель 7. Сократим 10 и 25 на их общий делитель 5. Получим выражение: $\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 7}$. Перемножив числа, получим результат $\frac{4}{35}$.
Ответ: $\frac{4}{35}$

е) Чтобы вычислить произведение $\frac{13}{10} \cdot \frac{100}{39}$, запишем его под общей чертой: $\frac{13 \cdot 100}{10 \cdot 39}$. Сократим 13 и 39 на их общий делитель 13. Сократим 100 и 10 на их общий делитель 10. В результате получим: $\frac{1 \cdot 10}{1 \cdot 3}$. Ответ равен $\frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$

ж) Вычислим произведение $\frac{15}{14} \cdot \frac{7}{12}$. Запишем под общей чертой: $\frac{15 \cdot 7}{14 \cdot 12}$. Сократим 15 и 12 на их общий делитель 3. Сократим 7 и 14 на их общий делитель 7. Получим: $\frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 4}$. Результат умножения равен $\frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{5}{8}$

з) Для вычисления произведения $\frac{45}{34} \cdot \frac{17}{15}$ запишем дроби под общей чертой: $\frac{45 \cdot 17}{34 \cdot 15}$. Сократим 45 и 15 на их общий делитель 15. Сократим 17 и 34 на их общий делитель 17. Получим выражение: $\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}$. Результат умножения равен $\frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

4.166. а) $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}$;

б) $\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{35} \cdot \frac{10}{9}$;

В) $\frac{13}{12} \cdot \frac{24}{65} \cdot \frac{15}{32}$;

Г) $\frac{5}{16} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{4}{3}$;

Д) $\frac{42}{56} \cdot \frac{16}{5} \cdot \frac{15}{36}$;

е) $\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10}$.

а) $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Для умножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели. Запишем все множители в одну дробь:

$\frac{1 \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 5 \cdot 6}$

Теперь сократим дробь, находя общие множители в числителе и знаменателе. Сократим 5 в числителе и 5 в знаменателе:

$\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 6}$

Сократим 4 в числителе и 2 в знаменателе на 2:

$\frac{1 \cdot 2}{6}$

Далее сократим 2 в числителе и 6 в знаменателе на 2:

$\frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) $\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{35} \cdot \frac{10}{9}$

Запишем произведение в виде одной дроби:

$\frac{7 \cdot 4 \cdot 10}{8 \cdot 35 \cdot 9}$

Сократим общие множители. Сократим 7 и 35 на 7 (поскольку $35 = 5 \cdot 7$):

$\frac{1 \cdot 4 \cdot 10}{8 \cdot 5 \cdot 9}$

Сократим 4 и 8 на 4 (поскольку $8 = 2 \cdot 4$):

$\frac{1 \cdot 1 \cdot 10}{2 \cdot 5 \cdot 9}$

В числителе осталось 10, а в знаменателе есть произведение $2 \cdot 5 = 10$. Сократим их:

$\frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

в) $\frac{13}{12} \cdot \frac{24}{65} \cdot \frac{15}{32}$

Запишем произведение в виде одной дроби:

$\frac{13 \cdot 24 \cdot 15}{12 \cdot 65 \cdot 32}$

Сократим 24 и 12 на 12:

$\frac{13 \cdot 2 \cdot 15}{1 \cdot 65 \cdot 32}$

Сократим 13 и 65 на 13 (поскольку $65 = 5 \cdot 13$):

$\frac{1 \cdot 2 \cdot 15}{1 \cdot 5 \cdot 32}$

Сократим 15 и 5 на 5:

$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 1 \cdot 32} = \frac{6}{32}$

Сократим полученную дробь $\frac{6}{32}$ на 2:

$\frac{3}{16}$

Ответ: $\frac{3}{16}$

г) $\frac{5}{16} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{4}{3}$

Запишем произведение в виде одной дроби:

$\frac{5 \cdot 8 \cdot 4}{16 \cdot 15 \cdot 3}$

Сократим 5 и 15 на 5 (поскольку $15 = 3 \cdot 5$):

$\frac{1 \cdot 8 \cdot 4}{16 \cdot 3 \cdot 3}$

Сократим 8 и 16 на 8 (поскольку $16 = 2 \cdot 8$):

$\frac{1 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 3}$

Сократим 4 и 2 на 2:

$\frac{1 \cdot 1 \cdot 2}{1 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$

д) $\frac{42}{56} \cdot \frac{16}{5} \cdot \frac{15}{36}$

Запишем произведение в виде одной дроби:

$\frac{42 \cdot 16 \cdot 15}{56 \cdot 5 \cdot 36}$

Сократим 42 и 56 на их наибольший общий делитель 14 ($42 = 3 \cdot 14$, $56 = 4 \cdot 14$):

$\frac{3 \cdot 16 \cdot 15}{4 \cdot 5 \cdot 36}$

Сократим 16 и 4 на 4:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 15}{1 \cdot 5 \cdot 36}$

Сократим 15 и 5 на 5:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 3}{1 \cdot 1 \cdot 36}$

Перемножим числа в числителе: $3 \cdot 4 \cdot 3 = 36$.

$\frac{36}{36} = 1$

Ответ: $1$

е) $\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10}$

Запишем произведение в виде одной дроби:

$\frac{5 \cdot 8 \cdot 9}{8 \cdot 9 \cdot 10}$

Сократим одинаковые множители. Сначала 8 в числителе и знаменателе:

$\frac{5 \cdot 9}{9 \cdot 10}$

Теперь сократим 9 в числителе и знаменателе:

$\frac{5}{10}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

4.167. а) $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}; $

б) $ \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6}; $

в) $ \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11}; $

г) $ \frac{13}{15} \cdot \frac{15}{17}; $

д) $ \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{42}; $

е) $ \frac{13}{15} \cdot \frac{45}{26}; $

ж) $ \frac{15}{28} \cdot \frac{7}{30}; $

з) $ \frac{35}{51} \cdot \frac{17}{15}. $

а) Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить их числители и знаменатели. Результат записывается в виде дроби, где в числителе — произведение числителей, а в знаменателе — произведение знаменателей. Перед вычислением произведения удобно сократить общие множители в числителе и знаменателе.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Сокращаем общий множитель 2:

$\frac{1 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Запишем произведение дробей под общей чертой и сократим общие множители.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6} = \frac{6 \cdot 5}{7 \cdot 6}$

Сокращаем общий множитель 6:

$\frac{\cancel{6} \cdot 5}{7 \cdot \cancel{6}} = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{5}{7}$

в) Запишем произведение дробей под общей чертой и сократим общие множители.

$\frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11} = \frac{9 \cdot 10}{10 \cdot 11}$

Сокращаем общий множитель 10:

$\frac{9 \cdot \cancel{10}}{\cancel{10} \cdot 11} = \frac{9}{11}$

Ответ: $\frac{9}{11}$

г) Запишем произведение дробей под общей чертой и сократим общие множители.

$\frac{13}{15} \cdot \frac{15}{17} = \frac{13 \cdot 15}{15 \cdot 17}$

Сокращаем общий множитель 15:

$\frac{13 \cdot \cancel{15}}{\cancel{15} \cdot 17} = \frac{13}{17}$

Ответ: $\frac{13}{17}$

д) Запишем произведение дробей под общей чертой. Для удобства сокращения разложим числа в числителе и знаменателе на множители.

$\frac{14}{15} \cdot \frac{5}{42} = \frac{14 \cdot 5}{15 \cdot 42}$

Разложим $15$ как $3 \cdot 5$ и $42$ как $3 \cdot 14$.

$\frac{14 \cdot 5}{(3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 14)} = \frac{\cancel{14} \cdot \cancel{5}}{3 \cdot \cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{14}} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

е) Запишем произведение дробей под общей чертой. Для удобства сокращения разложим числа в числителе и знаменателе на множители.

$\frac{13}{15} \cdot \frac{45}{26} = \frac{13 \cdot 45}{15 \cdot 26}$

Разложим $45$ как $3 \cdot 15$ и $26$ как $2 \cdot 13$.

$\frac{13 \cdot (3 \cdot 15)}{15 \cdot (2 \cdot 13)} = \frac{\cancel{13} \cdot 3 \cdot \cancel{15}}{\cancel{15} \cdot 2 \cdot \cancel{13}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

ж) Запишем произведение дробей под общей чертой. Для удобства сокращения разложим числа в числителе и знаменателе на множители.

$\frac{15}{28} \cdot \frac{7}{30} = \frac{15 \cdot 7}{28 \cdot 30}$

Разложим $28$ как $4 \cdot 7$ и $30$ как $2 \cdot 15$.

$\frac{15 \cdot 7}{(4 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 15)} = \frac{\cancel{15} \cdot \cancel{7}}{4 \cdot \cancel{7} \cdot 2 \cdot \cancel{15}} = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

з) Запишем произведение дробей под общей чертой. Для удобства сокращения разложим числа в числителе и знаменателе на множители.

$\frac{35}{51} \cdot \frac{17}{15} = \frac{35 \cdot 17}{51 \cdot 15}$

Разложим $35$ как $7 \cdot 5$, $51$ как $3 \cdot 17$ и $15$ как $3 \cdot 5$.

$\frac{(7 \cdot 5) \cdot 17}{(3 \cdot 17) \cdot (3 \cdot 5)} = \frac{7 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{17}}{3 \cdot \cancel{17} \cdot 3 \cdot \cancel{5}} = \frac{7}{3 \cdot 3} = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

4.168 а) $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$;

б) $\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{13} \cdot \frac{13}{18}$;

В) $\frac{4}{11} \cdot \frac{22}{39} \cdot \frac{13}{16}$;

г) $\frac{42}{39} \cdot \frac{1}{42} \cdot \frac{39}{60}$;

д) $\frac{101}{102} \cdot \frac{102}{103} \cdot \frac{103}{104}$;

е) $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{13} \cdot \frac{13}{18}$.

а) Чтобы перемножить дроби, нужно произведение числителей записать в числитель, а произведение знаменателей — в знаменатель. Для упрощения вычислений conviene сократить общие множители до умножения.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 4}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (2 и 3):

$\frac{1 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Запишем произведение в виде одной дроби и сократим общие множители.

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{13} \cdot \frac{13}{18} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 13}{7 \cdot 13 \cdot 18}$

Сокращаем 7 и 13 в числителе и знаменателе:

$\frac{5 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{13}}{\cancel{7} \cdot \cancel{13} \cdot 18} = \frac{5}{18}$

Ответ: $\frac{5}{18}$

в) Запишем произведение в виде одной дроби. Затем выполним сокращение, находя общие делители у чисел в числителе и знаменателе.

$\frac{4}{11} \cdot \frac{22}{39} \cdot \frac{13}{16} = \frac{4 \cdot 22 \cdot 13}{11 \cdot 39 \cdot 16}$

Сократим: 4 и 16 на 4 (в числителе останется 1, в знаменателе 4); 22 и 11 на 11 (в числителе 2, в знаменателе 1); 13 и 39 на 13 (в числителе 1, в знаменателе 3).

$\frac{\cancel{4}^1 \cdot \cancel{22}^2 \cdot \cancel{13}^1}{\cancel{11}^1 \cdot \cancel{39}^3 \cdot \cancel{16}^4} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{2}{12}$

Полученную дробь $\frac{2}{12}$ также сокращаем на 2:

$\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

г) Запишем произведение в виде одной дроби и сократим одинаковые множители.

$\frac{42}{39} \cdot \frac{1}{42} \cdot \frac{39}{60} = \frac{42 \cdot 1 \cdot 39}{39 \cdot 42 \cdot 60}$

Сокращаем 42 и 39 в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{42} \cdot 1 \cdot \cancel{39}}{\cancel{39} \cdot \cancel{42} \cdot 60} = \frac{1}{60}$

Ответ: $\frac{1}{60}$

д) Запишем произведение в виде одной дроби и выполним сокращение.

$\frac{101}{102} \cdot \frac{102}{103} \cdot \frac{103}{104} = \frac{101 \cdot 102 \cdot 103}{102 \cdot 103 \cdot 104}$

Сокращаем 102 и 103 в числителе и знаменателе:

$\frac{101 \cdot \cancel{102} \cdot \cancel{103}}{\cancel{102} \cdot \cancel{103} \cdot 104} = \frac{101}{104}$

Ответ: $\frac{101}{104}$

е) Запишем произведение в виде одной дроби и сократим общие множители.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{13} \cdot \frac{13}{18} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 13}{8 \cdot 13 \cdot 18}$

Сокращаем 8 и 13 в числителе и знаменателе:

$\frac{3 \cdot \cancel{8} \cdot \cancel{13}}{\cancel{8} \cdot \cancel{13} \cdot 18} = \frac{3}{18}$

Полученную дробь $\frac{3}{18}$ можно сократить на 3:

$\frac{3}{18} = \frac{3}{3 \cdot 6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

4.169. а) $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6}$;

б) $\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}$;

в) $\frac{9}{10} \cdot \frac{40}{27}$;

г) $\frac{17}{23} \cdot \frac{46}{51}$.

а) Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.
$ \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 6} $
Прежде чем перемножать, выполним сокращение. Сократим число 5 в числителе и знаменателе. Также сократим 3 (в числителе) и 6 (в знаменателе) на их общий делитель 3.
$ \frac{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{6}_2} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Применим то же правило умножения дробей. В данном случае мы умножаем взаимно обратные дроби, произведение которых всегда равно 1.
$ \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 6} $
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: 6 с 6, и 7 с 7.
$ \frac{\cancel{6}^1 \cdot \cancel{7}^1}{\cancel{7}_1 \cdot \cancel{6}_1} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1 $
Ответ: $ 1 $

в) Выполним умножение, предварительно сократив множители в числителе и знаменателе.
$ \frac{9}{10} \cdot \frac{40}{27} = \frac{9 \cdot 40}{10 \cdot 27} $
Сократим 9 и 27 на их общий делитель 9. Сократим 40 и 10 на их общий делитель 10.
$ \frac{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{40}^4}{\cancel{10}_1 \cdot \cancel{27}_3} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3} $
Ответ: $ \frac{4}{3} $

г) Умножим дроби, предварительно выполнив сокращение.
$ \frac{17}{23} \cdot \frac{46}{51} = \frac{17 \cdot 46}{23 \cdot 51} $
Сократим 17 и 51 на 17 (так как $51 = 3 \cdot 17$). Сократим 46 и 23 на 23 (так как $46 = 2 \cdot 23$).
$ \frac{\cancel{17}^1 \cdot \cancel{46}^2}{\cancel{23}_1 \cdot \cancel{51}_3} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $