Страница 195 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.130. Запишите сочетательный закон сложения для чисел:

а) $ (\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) + \frac{4}{7} = \frac{1}{7} + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7}) $

б) $ (\frac{a}{5} + \frac{b}{5}) + \frac{c}{5} = \frac{a}{5} + (\frac{b}{5} + \frac{c}{5}) $

в) $ (\frac{m}{p} + \frac{n}{p}) + \frac{k}{p} = \frac{m}{p} + (\frac{n}{p} + \frac{k}{p}) $

Сочетательный (или ассоциативный) закон сложения утверждает, что результат сложения трех и более слагаемых не зависит от порядка, в котором выполняются операции. Для любых трех чисел $x, y, z$ этот закон можно записать в виде формулы:

$(x + y) + z = x + (y + z)$

Применим этот закон к данным в задаче числам.

а) Для чисел $\frac{1}{7}$, $\frac{2}{7}$ и $\frac{4}{7}$ сочетательный закон сложения записывается следующим образом:

$(\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) + \frac{4}{7} = \frac{1}{7} + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7})$

Чтобы убедиться в верности равенства, можно вычислить обе его части:
Левая часть: $(\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) + \frac{4}{7} = \frac{1+2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{3+4}{7} = \frac{7}{7} = 1$.
Правая часть: $\frac{1}{7} + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7}) = \frac{1}{7} + \frac{2+4}{7} = \frac{1}{7} + \frac{6}{7} = \frac{1+6}{7} = \frac{7}{7} = 1$.
Так как $1 = 1$, равенство верно.

Ответ: $(\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) + \frac{4}{7} = \frac{1}{7} + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7})$

б) Для чисел $\frac{a}{5}$, $\frac{b}{5}$ и $\frac{c}{5}$ сочетательный закон сложения записывается следующим образом:

$(\frac{a}{5} + \frac{b}{5}) + \frac{c}{5} = \frac{a}{5} + (\frac{b}{5} + \frac{c}{5})$

Это равенство можно доказать, используя свойство сложения дробей с одинаковым знаменателем и сочетательный закон сложения для числителей $a, b, c$:
Левая часть: $(\frac{a}{5} + \frac{b}{5}) + \frac{c}{5} = \frac{a+b}{5} + \frac{c}{5} = \frac{(a+b)+c}{5}$.
Правая часть: $\frac{a}{5} + (\frac{b}{5} + \frac{c}{5}) = \frac{a}{5} + \frac{b+c}{5} = \frac{a+(b+c)}{5}$.
Так как для числителей выполняется равенство $(a+b)+c = a+(b+c)$, то и исходное равенство для дробей является верным.

Ответ: $(\frac{a}{5} + \frac{b}{5}) + \frac{c}{5} = \frac{a}{5} + (\frac{b}{5} + \frac{c}{5})$

в) Для чисел $\frac{m}{p}$, $\frac{n}{p}$ и $\frac{k}{p}$ сочетательный закон сложения записывается аналогично предыдущему пункту:

$(\frac{m}{p} + \frac{n}{p}) + \frac{k}{p} = \frac{m}{p} + (\frac{n}{p} + \frac{k}{p})$

Доказательство верности этого равенства основано на свойстве сложения дробей с одинаковым знаменателем $p$ и сочетательном законе сложения для числителей $m, n, k$:
Левая часть: $(\frac{m}{p} + \frac{n}{p}) + \frac{k}{p} = \frac{m+n}{p} + \frac{k}{p} = \frac{(m+n)+k}{p}$.
Правая часть: $\frac{m}{p} + (\frac{n}{p} + \frac{k}{p}) = \frac{m}{p} + \frac{n+k}{p} = \frac{m+(n+k)}{p}$.
Поскольку $(m+n)+k = m+(n+k)$, исходное равенство верно.

Ответ: $(\frac{m}{p} + \frac{n}{p}) + \frac{k}{p} = \frac{m}{p} + (\frac{n}{p} + \frac{k}{p})$

4.131. Вычислите:

а) $ \frac{1}{5} + \frac{3}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} $;

б) $ \frac{11}{12} + \frac{7}{10} + \frac{3}{100} + \frac{1}{12} $;

в) $ \frac{12}{17} + \frac{15}{24} + \frac{3}{8} + \frac{5}{17} $;

г) $ \frac{3}{7} + \frac{5}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{7} $.

а) $\frac{1}{5} + \frac{3}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$

Для удобства вычислений сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})$

Сложим дроби в каждой из групп:

$\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1+1}{5} = \frac{2}{5}$

$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь сложим полученные результаты:

$\frac{2}{5} + 1 = 1\frac{2}{5}$

Ответ: $1\frac{2}{5}$

б) $\frac{11}{12} + \frac{7}{10} + \frac{3}{100} + \frac{1}{12}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{11}{12} + \frac{1}{12}) + \frac{7}{10} + \frac{3}{100}$

Выполним сложение в первой группе:

$\frac{11}{12} + \frac{1}{12} = \frac{11+1}{12} = \frac{12}{12} = 1$

Теперь выражение имеет вид:

$1 + \frac{7}{10} + \frac{3}{100}$

Чтобы сложить оставшиеся дроби, приведем их к общему знаменателю 100:

$\frac{7}{10} = \frac{7 \times 10}{10 \times 10} = \frac{70}{100}$

Выполним сложение:

$1 + \frac{70}{100} + \frac{3}{100} = 1 + \frac{70+3}{100} = 1 + \frac{73}{100} = 1\frac{73}{100}$

Ответ: $1\frac{73}{100}$

в) $\frac{12}{17} + \frac{15}{24} + \frac{3}{8} + \frac{5}{17}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{12}{17} + \frac{5}{17}) + \frac{15}{24} + \frac{3}{8}$

Выполним сложение в первой группе:

$\frac{12}{17} + \frac{5}{17} = \frac{12+5}{17} = \frac{17}{17} = 1$

Теперь выражение имеет вид:

$1 + \frac{15}{24} + \frac{3}{8}$

Сократим дробь $\frac{15}{24}$, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$

Подставим сокращенную дробь в выражение и сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$1 + \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = 1 + (\frac{5}{8} + \frac{3}{8}) = 1 + \frac{5+3}{8} = 1 + \frac{8}{8} = 1 + 1 = 2$

Ответ: $2$

г) $\frac{3}{7} + \frac{5}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{7}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{3}{7} + \frac{4}{7}) + (\frac{5}{9} + \frac{4}{9})$

Сложим дроби в каждой из групп:

$\frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{3+4}{7} = \frac{7}{7} = 1$

$\frac{5}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5+4}{9} = \frac{9}{9} = 1$

Теперь сложим полученные результаты:

$1 + 1 = 2$

Ответ: $2$

4.132. а) Два пешехода вышли в одно время навстречу друг другу из двух деревень. Первый может пройти расстояние между двумя деревнями за 8 ч, а второй — за 6 ч. На какую часть расстояния они приблизятся за 1 ч?

б) Для постройки купальни наняты три плотника. Первый сделал в день $\frac{2}{33}$ всей работы, второй — $\frac{1}{11}$, третий — $\frac{7}{55}$. Какую часть всей работы сделали все они за день?

в) Для переписки сочинения наняты 4 писца. Первый мог бы один переписать сочинение за 24 дня, второй — за 36 дней, третий — за 20 дней и четвёртый — за 18 дней. Какую часть сочинения перепишут они за один день, если будут работать вместе?

а)

Примем все расстояние между деревнями за 1 (единицу).
Скорость первого пешехода — это часть расстояния, которую он проходит за 1 час. Она составляет $V_1 = \frac{1}{8}$ всего пути.
Аналогично, скорость второго пешехода составляет $V_2 = \frac{1}{6}$ всего пути.
Поскольку пешеходы движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме их индивидуальных скоростей. Найдем, какую часть расстояния они проходят вместе за 1 час:
$V_{общ} = V_1 + V_2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{6}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 6 это 24.
$\frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{8 \times 3} + \frac{1 \times 4}{6 \times 4} = \frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{3+4}{24} = \frac{7}{24}$.
Таким образом, за 1 час пешеходы приблизятся друг к другу на $\frac{7}{24}$ часть всего расстояния.
Ответ: $\frac{7}{24}$

б)

Чтобы найти, какую часть всей работы сделали все три плотника за день, нужно сложить части работы, которые каждый из них выполняет за один день.
Производительность первого плотника: $\frac{2}{33}$ работы в день.
Производительность второго плотника: $\frac{1}{11}$ работы в день.
Производительность третьего плотника: $\frac{7}{55}$ работы в день.
Сложим эти дроби, чтобы найти их общую производительность:
$\frac{2}{33} + \frac{1}{11} + \frac{7}{55}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 33, 11 и 55. Разложим их на простые множители: $33 = 3 \times 11$, $11 = 11$, $55 = 5 \times 11$. Наименьшее общее кратное (НОК) будет $3 \times 5 \times 11 = 165$.
Приведем дроби к общему знаменателю 165:
$\frac{2 \times 5}{33 \times 5} + \frac{1 \times 15}{11 \times 15} + \frac{7 \times 3}{55 \times 3} = \frac{10}{165} + \frac{15}{165} + \frac{21}{165}$.
Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{10 + 15 + 21}{165} = \frac{46}{165}$.
За один день все три плотника сделают $\frac{46}{165}$ всей работы.
Ответ: $\frac{46}{165}$

в)

Примем все сочинение за 1 (единицу).
Найдем, какую часть сочинения переписывает каждый писец за один день (их производительность).
Производительность первого писца: $\frac{1}{24}$ сочинения в день.
Производительность второго писца: $\frac{1}{36}$ сочинения в день.
Производительность третьего писца: $\frac{1}{20}$ сочинения в день.
Производительность четвертого писца: $\frac{1}{18}$ сочинения в день.
Чтобы найти, какую часть сочинения они перепишут за один день, работая вместе, нужно сложить их производительности:
$\frac{1}{24} + \frac{1}{36} + \frac{1}{20} + \frac{1}{18}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 24, 36, 20 и 18. Разложим их на простые множители: $24 = 2^3 \times 3$, $36 = 2^2 \times 3^2$, $20 = 2^2 \times 5$, $18 = 2 \times 3^2$. НОК будет $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$.
Приведем дроби к знаменателю 360:
$\frac{1 \times 15}{24 \times 15} + \frac{1 \times 10}{36 \times 10} + \frac{1 \times 18}{20 \times 18} + \frac{1 \times 20}{18 \times 20} = \frac{15}{360} + \frac{10}{360} + \frac{18}{360} + \frac{20}{360}$.
Сложим полученные дроби:
$\frac{15+10+18+20}{360} = \frac{63}{360}$.
Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 9:
$\frac{63 \div 9}{360 \div 9} = \frac{7}{40}$.
Вместе за один день писцы перепишут $\frac{7}{40}$ часть сочинения.
Ответ: $\frac{7}{40}$

4.133. Отпили полчашки чёрного кофе и долили в неё молоко. Потом отпили $1/3$ чашки и долили в неё молоко. Потом отпили $1/6$ чашки и долили в неё молоко. Наконец допили содержимое чашки до конца. Чего выпили больше: кофе или молока?

Для решения этой задачи не обязательно отслеживать концентрацию кофе и молока на каждом этапе. Достаточно посчитать, сколько всего кофе и сколько всего молока было выпито за всё время.

Сколько выпили кофе?
Изначально в чашке была одна полная чашка чёрного кофе. В процессе кофе только отпивали, новый кофе не добавляли. В конце всё содержимое чашки было выпито до конца. Это означает, что весь первоначальный объём кофе был выпит.
Всего выпито кофе: $1$ чашка.

Сколько выпили молока?
Молоко в чашку только доливали. Всё молоко, которое было долито, в конечном итоге было выпито (либо в промежуточные этапы, либо в самом конце). Поэтому общее количество выпитого молока равно общему количеству долитого молока.
Посчитаем, сколько всего молока долили в чашку:
1. В первый раз долили полчашки ($1/2$).
2. Во второй раз долили $1/3$ чашки.
3. В третий раз долили $1/6$ чашки.

Сложим объёмы долитого молока:
$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} $
Приведём все дроби к общему знаменателю $6$:
$ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $
Всего выпито молока: $1$ чашка.

Сравнение объёмов
Получается, что всего было выпито $1$ чашка кофе и $1$ чашка молока.
$1$ (кофе) = $1$ (молоко).
Следовательно, кофе и молока выпили одинаковое количество.
Ответ: Кофе и молока выпили поровну.