Номер 4.132, страница 195 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.132. а) Два пешехода вышли в одно время навстречу друг другу из двух деревень. Первый может пройти расстояние между двумя деревнями за 8 ч, а второй — за 6 ч. На какую часть расстояния они приблизятся за 1 ч?

б) Для постройки купальни наняты три плотника. Первый сделал в день $\frac{2}{33}$ всей работы, второй — $\frac{1}{11}$, третий — $\frac{7}{55}$. Какую часть всей работы сделали все они за день?

в) Для переписки сочинения наняты 4 писца. Первый мог бы один переписать сочинение за 24 дня, второй — за 36 дней, третий — за 20 дней и четвёртый — за 18 дней. Какую часть сочинения перепишут они за один день, если будут работать вместе?

а)

Примем все расстояние между деревнями за 1 (единицу).
Скорость первого пешехода — это часть расстояния, которую он проходит за 1 час. Она составляет $V_1 = \frac{1}{8}$ всего пути.
Аналогично, скорость второго пешехода составляет $V_2 = \frac{1}{6}$ всего пути.
Поскольку пешеходы движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме их индивидуальных скоростей. Найдем, какую часть расстояния они проходят вместе за 1 час:
$V_{общ} = V_1 + V_2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{6}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 6 это 24.
$\frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{8 \times 3} + \frac{1 \times 4}{6 \times 4} = \frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{3+4}{24} = \frac{7}{24}$.
Таким образом, за 1 час пешеходы приблизятся друг к другу на $\frac{7}{24}$ часть всего расстояния.
Ответ: $\frac{7}{24}$

б)

Чтобы найти, какую часть всей работы сделали все три плотника за день, нужно сложить части работы, которые каждый из них выполняет за один день.
Производительность первого плотника: $\frac{2}{33}$ работы в день.
Производительность второго плотника: $\frac{1}{11}$ работы в день.
Производительность третьего плотника: $\frac{7}{55}$ работы в день.
Сложим эти дроби, чтобы найти их общую производительность:
$\frac{2}{33} + \frac{1}{11} + \frac{7}{55}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 33, 11 и 55. Разложим их на простые множители: $33 = 3 \times 11$, $11 = 11$, $55 = 5 \times 11$. Наименьшее общее кратное (НОК) будет $3 \times 5 \times 11 = 165$.
Приведем дроби к общему знаменателю 165:
$\frac{2 \times 5}{33 \times 5} + \frac{1 \times 15}{11 \times 15} + \frac{7 \times 3}{55 \times 3} = \frac{10}{165} + \frac{15}{165} + \frac{21}{165}$.
Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{10 + 15 + 21}{165} = \frac{46}{165}$.
За один день все три плотника сделают $\frac{46}{165}$ всей работы.
Ответ: $\frac{46}{165}$

в)

Примем все сочинение за 1 (единицу).
Найдем, какую часть сочинения переписывает каждый писец за один день (их производительность).
Производительность первого писца: $\frac{1}{24}$ сочинения в день.
Производительность второго писца: $\frac{1}{36}$ сочинения в день.
Производительность третьего писца: $\frac{1}{20}$ сочинения в день.
Производительность четвертого писца: $\frac{1}{18}$ сочинения в день.
Чтобы найти, какую часть сочинения они перепишут за один день, работая вместе, нужно сложить их производительности:
$\frac{1}{24} + \frac{1}{36} + \frac{1}{20} + \frac{1}{18}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 24, 36, 20 и 18. Разложим их на простые множители: $24 = 2^3 \times 3$, $36 = 2^2 \times 3^2$, $20 = 2^2 \times 5$, $18 = 2 \times 3^2$. НОК будет $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$.
Приведем дроби к знаменателю 360:
$\frac{1 \times 15}{24 \times 15} + \frac{1 \times 10}{36 \times 10} + \frac{1 \times 18}{20 \times 18} + \frac{1 \times 20}{18 \times 20} = \frac{15}{360} + \frac{10}{360} + \frac{18}{360} + \frac{20}{360}$.
Сложим полученные дроби:
$\frac{15+10+18+20}{360} = \frac{63}{360}$.
Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 9:
$\frac{63 \div 9}{360 \div 9} = \frac{7}{40}$.
Вместе за один день писцы перепишут $\frac{7}{40}$ часть сочинения.
Ответ: $\frac{7}{40}$