Номер 4.130, страница 195 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.130. Запишите сочетательный закон сложения для чисел:

а) $ (\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) + \frac{4}{7} = \frac{1}{7} + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7}) $

б) $ (\frac{a}{5} + \frac{b}{5}) + \frac{c}{5} = \frac{a}{5} + (\frac{b}{5} + \frac{c}{5}) $

в) $ (\frac{m}{p} + \frac{n}{p}) + \frac{k}{p} = \frac{m}{p} + (\frac{n}{p} + \frac{k}{p}) $

Сочетательный (или ассоциативный) закон сложения утверждает, что результат сложения трех и более слагаемых не зависит от порядка, в котором выполняются операции. Для любых трех чисел $x, y, z$ этот закон можно записать в виде формулы:

$(x + y) + z = x + (y + z)$

Применим этот закон к данным в задаче числам.

а) Для чисел $\frac{1}{7}$, $\frac{2}{7}$ и $\frac{4}{7}$ сочетательный закон сложения записывается следующим образом:

$(\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) + \frac{4}{7} = \frac{1}{7} + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7})$

Чтобы убедиться в верности равенства, можно вычислить обе его части:
Левая часть: $(\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) + \frac{4}{7} = \frac{1+2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{3+4}{7} = \frac{7}{7} = 1$.
Правая часть: $\frac{1}{7} + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7}) = \frac{1}{7} + \frac{2+4}{7} = \frac{1}{7} + \frac{6}{7} = \frac{1+6}{7} = \frac{7}{7} = 1$.
Так как $1 = 1$, равенство верно.

Ответ: $(\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) + \frac{4}{7} = \frac{1}{7} + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7})$

б) Для чисел $\frac{a}{5}$, $\frac{b}{5}$ и $\frac{c}{5}$ сочетательный закон сложения записывается следующим образом:

$(\frac{a}{5} + \frac{b}{5}) + \frac{c}{5} = \frac{a}{5} + (\frac{b}{5} + \frac{c}{5})$

Это равенство можно доказать, используя свойство сложения дробей с одинаковым знаменателем и сочетательный закон сложения для числителей $a, b, c$:
Левая часть: $(\frac{a}{5} + \frac{b}{5}) + \frac{c}{5} = \frac{a+b}{5} + \frac{c}{5} = \frac{(a+b)+c}{5}$.
Правая часть: $\frac{a}{5} + (\frac{b}{5} + \frac{c}{5}) = \frac{a}{5} + \frac{b+c}{5} = \frac{a+(b+c)}{5}$.
Так как для числителей выполняется равенство $(a+b)+c = a+(b+c)$, то и исходное равенство для дробей является верным.

Ответ: $(\frac{a}{5} + \frac{b}{5}) + \frac{c}{5} = \frac{a}{5} + (\frac{b}{5} + \frac{c}{5})$

в) Для чисел $\frac{m}{p}$, $\frac{n}{p}$ и $\frac{k}{p}$ сочетательный закон сложения записывается аналогично предыдущему пункту:

$(\frac{m}{p} + \frac{n}{p}) + \frac{k}{p} = \frac{m}{p} + (\frac{n}{p} + \frac{k}{p})$

Доказательство верности этого равенства основано на свойстве сложения дробей с одинаковым знаменателем $p$ и сочетательном законе сложения для числителей $m, n, k$:
Левая часть: $(\frac{m}{p} + \frac{n}{p}) + \frac{k}{p} = \frac{m+n}{p} + \frac{k}{p} = \frac{(m+n)+k}{p}$.
Правая часть: $\frac{m}{p} + (\frac{n}{p} + \frac{k}{p}) = \frac{m}{p} + \frac{n+k}{p} = \frac{m+(n+k)}{p}$.
Поскольку $(m+n)+k = m+(n+k)$, исходное равенство верно.

Ответ: $(\frac{m}{p} + \frac{n}{p}) + \frac{k}{p} = \frac{m}{p} + (\frac{n}{p} + \frac{k}{p})$