Номер 4.128, страница 194 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.128. Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел, проверьте равенство:

а) $ (\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) + \frac{7}{12} = \frac{3}{4} + (\frac{1}{6} + \frac{7}{12}); $

б) $ \frac{7}{15} + (\frac{2}{9} + \frac{5}{6}) = (\frac{7}{15} + \frac{2}{9}) + \frac{5}{6}. $

Сочетательный закон сложения, который для любых чисел a, b и c записывается как $ (a + b) + c = a + (b + c) $, справедлив не только для натуральных чисел, но и для дробей. Чтобы проверить равенства, мы вычислим значение левой и правой части каждого из них и сравним результаты.

а) $ (\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) + \frac{7}{12} = \frac{3}{4} + (\frac{1}{6} + \frac{7}{12}) $

Вычислим левую часть равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 12.

$ \frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{1 \cdot 2}{12} = \frac{9 + 2}{12} = \frac{11}{12} $

2. Теперь прибавим к результату третью дробь.

$ \frac{11}{12} + \frac{7}{12} = \frac{11 + 7}{12} = \frac{18}{12} $

3. Сократим полученную дробь на 6.

$ \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $

Вычислим правую часть равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 12.

$ \frac{1}{6} + \frac{7}{12} = \frac{1 \cdot 2}{12} + \frac{7}{12} = \frac{2 + 7}{12} = \frac{9}{12} $

2. Теперь прибавим результат к первой дроби. Приведем дроби к общему знаменателю 12.

$ \frac{3}{4} + \frac{9}{12} = \frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{9}{12} = \frac{9 + 9}{12} = \frac{18}{12} $

3. Сократим полученную дробь на 6.

$ \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $

Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $), равенство верно.

Ответ: равенство верно.

б) $ \frac{7}{15} + (\frac{2}{9} + \frac{5}{6}) = (\frac{7}{15} + \frac{2}{9}) + \frac{5}{6} $

Вычислим левую часть равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для 9 и 6 равен 18.

$ \frac{2}{9} + \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 2}{18} + \frac{5 \cdot 3}{18} = \frac{4 + 15}{18} = \frac{19}{18} $

2. Теперь прибавим к результату первую дробь. Общий знаменатель для 15 и 18 равен 90.

$ \frac{7}{15} + \frac{19}{18} = \frac{7 \cdot 6}{90} + \frac{19 \cdot 5}{90} = \frac{42 + 95}{90} = \frac{137}{90} $

Вычислим правую часть равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для 15 и 9 равен 45.

$ \frac{7}{15} + \frac{2}{9} = \frac{7 \cdot 3}{45} + \frac{2 \cdot 5}{45} = \frac{21 + 10}{45} = \frac{31}{45} $

2. Теперь прибавим к результату третью дробь. Общий знаменатель для 45 и 6 равен 90.

$ \frac{31}{45} + \frac{5}{6} = \frac{31 \cdot 2}{90} + \frac{5 \cdot 15}{90} = \frac{62 + 75}{90} = \frac{137}{90} $

Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{137}{90} = \frac{137}{90} $), равенство верно.

Ответ: равенство верно.