Страница 190 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.95 Покажите с помощью рисунка, что $ \frac{3}{10} $ дм $ + \frac{2}{10} $ дм $ = \frac{1}{2} $ дм.

Чтобы с помощью рисунка показать, что $\frac{3}{10}$ дм + $\frac{2}{10}$ дм = $\frac{1}{2}$ дм, представим 1 дециметр (дм) в виде прямоугольника, разделенного на 10 равных частей. Каждая такая часть будет составлять $\frac{1}{10}$ дм.

На рисунке 1 дм представлен как прямоугольник, состоящий из 10 равных клеток. Первое слагаемое, $\frac{3}{10}$ дм, показано тремя синими клетками. Второе слагаемое, $\frac{2}{10}$ дм, показано двумя зелеными клетками.

Складывая эти части, мы объединяем закрашенные клетки: $3 + 2 = 5$ клеток. Таким образом, сумма равна $\frac{5}{10}$ дм. На рисунке видно, что 5 закрашенных клеток составляют ровно половину всего прямоугольника (граница отмечена красной пунктирной линией). Дробь $\frac{5}{10}$ сокращается до $\frac{1}{2}$.

Следовательно, математическое действие $\frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ наглядно подтверждается рисунком.

Ответ: Рисунок, представленный выше, наглядно демонстрирует, что сумма $\frac{3}{10}$ дм и $\frac{2}{10}$ дм составляет 5 из 10 частей целого, что равно $\frac{1}{2}$ дм.

Вычислите (4.96–4.99):

4.96. a) $ \frac{3}{10} c + \frac{3}{10} c; $

б) $ \frac{1}{3} ч + \frac{2}{3} ч; $

в) $ \frac{3}{100} М + \frac{21}{100} М. $

а) Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых с одинаковым буквенным множителем $c$. Чтобы найти сумму, нужно вынести общий множитель $c$ за скобки и сложить числовые коэффициенты. Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, складываем их числители.

$\frac{3}{10}c + \frac{3}{10}c = (\frac{3}{10} + \frac{3}{10})c = \frac{3+3}{10}c = \frac{6}{10}c$

Полученную дробь $\frac{6}{10}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{6 \div 2}{10 \div 2}c = \frac{3}{5}c$

Результат также можно записать в виде десятичной дроби: $0.6c$.

Ответ: $\frac{3}{5}c$.

б) Аналогично предыдущему примеру, выносим за скобки общий множитель $ч$ и складываем коэффициенты, которые являются дробями с одинаковыми знаменателями.

$\frac{1}{3}ч + \frac{2}{3}ч = (\frac{1}{3} + \frac{2}{3})ч = \frac{1+2}{3}ч = \frac{3}{3}ч$

Дробь $\frac{3}{3}$ равна единице, поэтому выражение упрощается:

$1 \cdot ч = ч$

Ответ: $ч$.

в) В этом выражении общий буквенный множитель — $м$. Выносим его за скобки и складываем дроби-коэффициенты с одинаковыми знаменателями.

$\frac{3}{100}м + \frac{21}{100}м = (\frac{3}{100} + \frac{21}{100})м = \frac{3+21}{100}м = \frac{24}{100}м$

Сократим полученную дробь $\frac{24}{100}$. Наибольший общий делитель для чисел 24 и 100 равен 4.

$\frac{24 \div 4}{100 \div 4}м = \frac{6}{25}м$

Результат также можно представить в виде десятичной дроби: $0.24м$.

Ответ: $\frac{6}{25}м$.

4.97. a) $\frac{1}{10} a + \frac{7}{10} a;$

Б) $\frac{1}{100} \text{ га} + \frac{4}{100} \text{ га};$

В) $\frac{127}{1000} \text{ км} + \frac{123}{1000} \text{ км};$

Г) $\frac{17}{1000} \text{ Т} + \frac{983}{1000} \text{ Т}.$

а) Чтобы сложить два слагаемых с одинаковым буквенным множителем, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общий буквенный множитель. В данном случае слагаемые $ \frac{1}{10}a $ и $ \frac{7}{10}a $ имеют общий множитель $a$. Сложим их коэффициенты, которые являются дробями с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{1}{10}a + \frac{7}{10}a = (\frac{1}{10} + \frac{7}{10})a = \frac{1+7}{10}a = \frac{8}{10}a $.
Сократим полученную дробь $ \frac{8}{10} $, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:
$ \frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5} $.
Таким образом, итоговое выражение равно $ \frac{4}{5}a $.
Ответ: $ \frac{4}{5}a $.

б) Данные слагаемые являются величинами, выраженными в одинаковых единицах измерения (гектарах), поэтому для их сложения достаточно сложить числовые коэффициенты. Коэффициенты представляют собой дроби с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{1}{100}\text{ га} + \frac{4}{100}\text{ га} = (\frac{1}{100} + \frac{4}{100})\text{ га} = \frac{1+4}{100}\text{ га} = \frac{5}{100}\text{ га} $.
Сократим полученную дробь $ \frac{5}{100} $, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:
$ \frac{5}{100} = \frac{5 \div 5}{100 \div 5} = \frac{1}{20} $.
Следовательно, результат сложения равен $ \frac{1}{20}\text{ га} $.
Ответ: $ \frac{1}{20}\text{ га} $.

в) Складываем величины, выраженные в километрах. Поскольку знаменатели дробей одинаковы, складываем их числители:
$ \frac{127}{1000}\text{ км} + \frac{123}{1000}\text{ км} = \frac{127+123}{1000}\text{ км} = \frac{250}{1000}\text{ км} $.
Сократим дробь $ \frac{250}{1000} $. Сначала можно сократить на 10, получив $ \frac{25}{100} $. Затем разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 25:
$ \frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} $.
Результат сложения равен $ \frac{1}{4}\text{ км} $.
Ответ: $ \frac{1}{4}\text{ км} $.

г) Складываем величины, выраженные в тоннах. Знаменатели дробей одинаковы, поэтому складываем их числители:
$ \frac{17}{1000}\text{ т} + \frac{983}{1000}\text{ т} = \frac{17+983}{1000}\text{ т} = \frac{1000}{1000}\text{ т} $.
Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице:
$ \frac{1000}{1000} = 1 $.
Следовательно, результат равен $1$ т.
Ответ: $1$ т.

4.98. a) $ \frac{1}{5} + \frac{3}{5} $;

б) $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} $;

В) $ \frac{7}{10} + \frac{4}{10} $;

Г) $ \frac{3}{8} + \frac{5}{8} $;

Д) $ \frac{5}{16} + \frac{3}{16} $;

е) $ \frac{3}{20} + \frac{7}{20} $;

Ж) $ \frac{8}{19} + \frac{1}{19} $;

З) $ \frac{7}{91} + \frac{13}{91} $.

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1+3}{5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

б) Складываем числители дробей, а знаменатель оставляем тем же. В результате получаем дробь, числитель которой равен знаменателю, что равно единице.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1$

в) Складываем числители $7$ и $4$, получаем $11$. Знаменатель $10$ оставляем без изменений. В результате получаем неправильную дробь.

$\frac{7}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7+4}{10} = \frac{11}{10}$

Эту дробь можно также представить в виде смешанного числа: $1\frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{11}{10}$

г) Складываем числители $3$ и $5$, получаем $8$. Знаменатель $8$ оставляем прежним. Полученная дробь равна единице.

$\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{3+5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Ответ: $1$

д) Складываем числители $5$ и $3$, получаем $8$. Знаменатель $16$ оставляем без изменений. Полученную дробь $\frac{8}{16}$ необходимо сократить.

$\frac{5}{16} + \frac{3}{16} = \frac{5+3}{16} = \frac{8}{16}$

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен $8$: $\frac{8 \div 8}{16 \div 8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

е) Складываем числители $3$ и $7$, получаем $10$. Знаменатель $20$ оставляем без изменений. Полученную дробь $\frac{10}{20}$ можно сократить.

$\frac{3}{20} + \frac{7}{20} = \frac{3+7}{20} = \frac{10}{20}$

Сокращаем дробь на $10$: $\frac{10 \div 10}{20 \div 10} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

ж) Складываем числители $8$ и $1$, получаем $9$. Знаменатель $19$ оставляем без изменений. Дробь является несократимой, так как $19$ - простое число.

$\frac{8}{19} + \frac{1}{19} = \frac{8+1}{19} = \frac{9}{19}$

Ответ: $\frac{9}{19}$

з) Складываем числители $7$ и $13$, получаем $20$. Знаменатель $91$ оставляем без изменений.

$\frac{7}{91} + \frac{13}{91} = \frac{7+13}{91} = \frac{20}{91}$

Дробь является несократимой, так как у числителя $20$ (простые множители $2, 5$) и знаменателя $91$ (простые множители $7, 13$) нет общих делителей.

Ответ: $\frac{20}{91}$

4.99. а) $\frac{14}{27} + \frac{2}{27}$;

б) $\frac{11}{35} + \frac{12}{35}$;

в) $\frac{17}{60} + \frac{12}{60}$;

г) $\frac{32}{55} + \frac{23}{55}$;

д) $\frac{5}{33} + \frac{6}{33}$;

е) $\frac{12}{48} + \frac{12}{48}$;

ж) $\frac{8}{99} + \frac{91}{99}$;

з) $\frac{77}{90} + \frac{13}{90}$.

а) Для сложения дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{14}{27} + \frac{2}{27} = \frac{14+2}{27} = \frac{16}{27}$
Дробь является несократимой, так как числитель и знаменатель не имеют общих делителей кроме 1.
Ответ: $\frac{16}{27}$.

б) Складываем числители, оставляя знаменатель прежним.
$\frac{11}{35} + \frac{12}{35} = \frac{11+12}{35} = \frac{23}{35}$
Так как 23 - простое число, и 35 на него не делится, дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{23}{35}$.

в) Складываем числители, оставляя знаменатель прежним.
$\frac{17}{60} + \frac{12}{60} = \frac{17+12}{60} = \frac{29}{60}$
Так как 29 - простое число, и 60 на него не делится, дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{29}{60}$.

г) Складываем числители, оставляя знаменатель прежним.
$\frac{32}{55} + \frac{23}{55} = \frac{32+23}{55} = \frac{55}{55}$
Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице.
$\frac{55}{55} = 1$
Ответ: $1$.

д) Складываем числители, оставляя знаменатель прежним.
$\frac{5}{33} + \frac{6}{33} = \frac{5+6}{33} = \frac{11}{33}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 11.
$\frac{11 \div 11}{33 \div 11} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$.

е) Складываем числители, оставляя знаменатель прежним.
$\frac{12}{48} + \frac{12}{48} = \frac{12+12}{48} = \frac{24}{48}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 24.
$\frac{24 \div 24}{48 \div 24} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.

ж) Складываем числители, оставляя знаменатель прежним.
$\frac{8}{99} + \frac{91}{99} = \frac{8+91}{99} = \frac{99}{99}$
Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице.
$\frac{99}{99} = 1$
Ответ: $1$.

з) Складываем числители, оставляя знаменатель прежним.
$\frac{77}{90} + \frac{13}{90} = \frac{77+13}{90} = \frac{90}{90}$
Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице.
$\frac{90}{90} = 1$
Ответ: $1$.

4.100. Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью; неправильной дробью? Приведите примеры.

правильной дробью

Да, сумма двух правильных дробей может быть правильной дробью. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя (то есть дробь меньше 1). Если мы сложим две правильные дроби, и их сумма будет меньше 1, то результат также будет правильной дробью.

Приведем пример. Возьмем две правильные дроби: $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{2}{5} $.

Найдем их сумму:

$ \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5} $

Полученная в результате дробь $ \frac{3}{5} $ является правильной, так как ее числитель 3 меньше знаменателя 5.

Ответ: да, может.

неправильной дробью

Да, сумма двух правильных дробей может быть неправильной дробью. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (то есть дробь больше или равна 1). Если выбрать две правильные дроби, достаточно близкие к 1, их сумма может оказаться больше или равной 1.

Приведем пример. Возьмем две правильные дроби: $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{4}{5} $.

Чтобы их сложить, приведем их к общему знаменателю 15:

$ \frac{2}{3} + \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} + \frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} $

Полученная дробь $ \frac{22}{15} $ является неправильной, так как ее числитель 22 больше знаменателя 15.

Также сумма может быть равна 1, что тоже является неправильной дробью. Например:

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1 $

Дробь $ \frac{2}{2} $ неправильная, так как числитель равен знаменателю.

Ответ: да, может.

4.101. Вычислите:

а) $ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5} $;

в) $ \frac{3}{7} + \frac{2}{7} + \frac{1}{7} $;

г) $ \frac{7}{30} + \frac{7}{30} + \frac{1}{30} $;

д) $ \frac{3}{10} + \frac{2}{10} + \frac{1}{10} $;

е) $ \frac{7}{26} + \frac{5}{26} + \frac{1}{26} $.

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1+1+1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
Ответ: $1$.

б) Складываем числители дробей, а знаменатель оставляем тот же.
$\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1+2+3}{5} = \frac{6}{5}$.
Так как числитель больше знаменателя, это неправильная дробь. Выделим целую часть: $\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$.
Ответ: $1\frac{1}{5}$.

в) Выполняем сложение числителей, знаменатель остается прежним.
$\frac{3}{7} + \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3+2+1}{7} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

г) Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменений.
$\frac{7}{30} + \frac{7}{30} + \frac{1}{30} = \frac{7+7+1}{30} = \frac{15}{30}$.
Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя и знаменателя равен 15.
$\frac{15}{30} = \frac{15 \div 15}{30 \div 15} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) Складываем числители, знаменатель оставляем прежним.
$\frac{3}{10} + \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3+2+1}{10} = \frac{6}{10}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.
$\frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

е) Выполняем сложение числителей, знаменатель оставляем тот же.
$\frac{7}{26} + \frac{5}{26} + \frac{1}{26} = \frac{7+5+1}{26} = \frac{13}{26}$.
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 13 и 26 равен 13.
$\frac{13}{26} = \frac{13 \div 13}{26 \div 13} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

4.102. Сложите дроби, полученную дробь сократите:

а) $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}; $

б) $ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{5}{3}; $

В) $ \frac{7}{13} + \frac{4}{13} + \frac{2}{13}; $

Г) $ \frac{1}{96} + \frac{5}{96} + \frac{11}{96} + \frac{31}{96}; $

Д) $ \frac{1}{42} + \frac{15}{42} + \frac{17}{42} + \frac{9}{42}; $

е) $ \frac{19}{78} + \frac{53}{78} + \frac{37}{78} + \frac{21}{78}. $

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+1+1+1}{2} = \frac{4}{2}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого разделим числитель на знаменатель.

$\frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2

б) Складываем числители дробей, так как знаменатели у всех дробей одинаковые (равны 3).

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{1+2+1+5}{3} = \frac{9}{3}$

Сокращаем дробь, разделив числитель на знаменатель.

$\frac{9}{3} = 3$

Ответ: 3

в) Складываем числители дробей с общим знаменателем 13.

$\frac{7}{13} + \frac{4}{13} + \frac{2}{13} = \frac{7+4+2}{13} = \frac{13}{13}$

Сокращаем полученную дробь.

$\frac{13}{13} = 1$

Ответ: 1

г) Складываем числители дробей с общим знаменателем 96.

$\frac{1}{96} + \frac{5}{96} + \frac{11}{96} + \frac{31}{96} = \frac{1+5+11+31}{96} = \frac{48}{96}$

Сократим дробь $\frac{48}{96}$. Наибольший общий делитель (НОД) для 48 и 96 равен 48. Разделим числитель и знаменатель на 48.

$\frac{48}{96} = \frac{48 \div 48}{96 \div 48} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

д) Складываем числители дробей с общим знаменателем 42.

$\frac{1}{42} + \frac{15}{42} + \frac{17}{42} + \frac{9}{42} = \frac{1+15+17+9}{42} = \frac{42}{42}$

Сокращаем полученную дробь.

$\frac{42}{42} = 1$

Ответ: 1

е) Складываем числители дробей с общим знаменателем 78.

$\frac{19}{78} + \frac{53}{78} + \frac{37}{78} + \frac{21}{78} = \frac{19+53+37+21}{78} = \frac{130}{78}$

Сократим дробь $\frac{130}{78}$. Найдем наибольший общий делитель для 130 и 78. НОД(130, 78) = 26. Разделим числитель и знаменатель на 26.

$\frac{130 \div 26}{78 \div 26} = \frac{5}{3}$

Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $1\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$

4.103. С помощью рисунка 169 объясните, почему:

а) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$;

б) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$;

в) $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$;

г) $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$.

Рис. 169

а) На первом рисунке изображен квадрат, разделенный на 4 равные части (ячейки). Весь квадрат принимается за единицу (1). Каждая ячейка составляет $ \frac{1}{4} $ квадрата. Дробь $ \frac{1}{2} $ соответствует половине квадрата, то есть двум ячейкам (на рисунке они синего цвета). Таким образом, $ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} $. Дробь $ \frac{1}{4} $ соответствует одной ячейке (например, оранжевой). Чтобы сложить $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{4} $, мы объединяем две синие ячейки и одну оранжевую. В сумме получается 3 ячейки из 4, что составляет $ \frac{3}{4} $ от всего квадрата. Таким образом, рисунок наглядно показывает, что $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.

б) На втором рисунке изображен прямоугольник, разделенный на 6 равных частей (ячеек). Весь прямоугольник принимается за единицу (1). Каждая ячейка составляет $ \frac{1}{6} $ прямоугольника. Дробь $ \frac{1}{2} $ соответствует половине прямоугольника, то есть трем ячейкам (синего цвета). Таким образом, $ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} $. Дробь $ \frac{1}{3} $ соответствует трети прямоугольника, то есть двум ячейкам (оранжевого цвета). Таким образом, $ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} $. Складывая $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $, мы объединяем 3 синие ячейки и 2 оранжевые, получая в сумме $ 3 + 2 = 5 $ ячеек. Пять ячеек из шести составляют $ \frac{5}{6} $ от всего прямоугольника. Следовательно, рисунок иллюстрирует, что $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} $.

в) Используем первый рисунок (квадрат, разделенный на 4 ячейки). Весь квадрат — это 1, а каждая ячейка — $ \frac{1}{4} $. Дробь $ \frac{1}{4} $ соответствует одной ячейке (например, оранжевой). Дробь $ \frac{3}{4} $ соответствует трем ячейкам (две синие и одна розовая). Сумма $ \frac{1}{4} + \frac{3}{4} $ представляет собой объединение одной ячейки с тремя другими. В результате мы получаем $ 1 + 3 = 4 $ ячейки. Четыре ячейки составляют весь квадрат, то есть 1. Таким образом, рисунок показывает, что $ \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1 $.
Ответ: $ \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 $.

г) Используем второй рисунок (прямоугольник, разделенный на 6 ячеек, которые сгруппированы в 3 столбца по 2 ячейки). Весь прямоугольник — это 1. Каждый столбец составляет $ \frac{1}{3} $ прямоугольника. Дробь $ \frac{1}{3} $ соответствует одному столбцу, то есть двум ячейкам (на рисунке они оранжевые). Дробь $ \frac{2}{3} $ соответствует двум столбцам, то есть четырем ячейкам (три синие и одна розовая). Складывая $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{2}{3} $, мы объединяем два оранжевых квадрата с остальными четырьмя. В результате получаем $ 2 + 4 = 6 $ ячеек. Шесть ячеек составляют весь прямоугольник, то есть 1. Следовательно, рисунок показывает, что $ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1 $.
Ответ: $ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 $.

4.104. Сделав рисунок, покажите, что $\frac{1}{2}\text{ дм} + \frac{1}{5}\text{ дм} = \frac{7}{10}\text{ дм}.$

Для того чтобы показать данное равенство с помощью рисунка, воспользуемся тем, что 1 дециметр (дм) равен 10 сантиметрам (см). Представим 1 дм в виде отрезка, разделенного на 10 равных частей, где каждая часть равна 1 см или $\frac{1}{10}$ дм.

Первое слагаемое, $\frac{1}{2}$ дм, — это половина отрезка. Чтобы найти, сколько это частей, разделим 10 на 2:

$10 \div 2 = 5$ частей.

Таким образом, $\frac{1}{2}$ дм = $\frac{5}{10}$ дм.

Второе слагаемое, $\frac{1}{5}$ дм, — это пятая часть отрезка. Чтобы найти, сколько это частей, разделим 10 на 5:

$10 \div 5 = 2$ части.

Таким образом, $\frac{1}{5}$ дм = $\frac{2}{10}$ дм.

Теперь изобразим это на рисунке. Отрезок из 10 клеток представляет 1 дм. Синим цветом закрасим 5 частей ($\frac{1}{2}$ дм), а зеленым — еще 2 части ($\frac{1}{5}$ дм).

На рисунке видно, что всего закрашено $5 + 2 = 7$ частей из 10. Это соответствует дроби $\frac{7}{10}$ дм.

Выполним проверку математическим сложением, приведя дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5+2}{10} = \frac{7}{10}$

И рисунок, и вычисления показывают, что равенство $\frac{1}{2}$ дм + $\frac{1}{5}$ дм = $\frac{7}{10}$ дм является верным.

Ответ: Равенство доказано с помощью рисунка и математических вычислений.