Страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.70. Дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{5}{18}$ приведите к знаменателю 36.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно найти дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый. Затем на этот множитель нужно умножить и числитель, и знаменатель исходной дроби.

$\frac{1}{2}$

1. Найдём дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{2}$. Для этого разделим новый знаменатель 36 на старый знаменатель 2.

$36 \div 2 = 18$

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{2}$ на дополнительный множитель 18.

$\frac{1 \times 18}{2 \times 18} = \frac{18}{36}$

Ответ: $\frac{18}{36}$

$\frac{1}{3}$

1. Найдём дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{3}$.

$36 \div 3 = 12$

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ на 12.

$\frac{1 \times 12}{3 \times 12} = \frac{12}{36}$

Ответ: $\frac{12}{36}$

$\frac{2}{9}$

1. Найдём дополнительный множитель для дроби $\frac{2}{9}$.

$36 \div 9 = 4$

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{9}$ на 4.

$\frac{2 \times 4}{9 \times 4} = \frac{8}{36}$

Ответ: $\frac{8}{36}$

$\frac{5}{18}$

1. Найдём дополнительный множитель для дроби $\frac{5}{18}$.

$36 \div 18 = 2$

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{18}$ на 2.

$\frac{5 \times 2}{18 \times 2} = \frac{10}{36}$

Ответ: $\frac{10}{36}$

4.71. Приведите дроби к общему знаменателю, равному произведению знаменателей дробей:

а) $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$;

б) $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{5}$;

в) $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{7}$;

г) $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{9}$;

д) $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$;

е) $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{5}$;

ж) $\frac{1}{2}$ и $\frac{6}{7}$;

з) $\frac{1}{2}$ и $\frac{7}{9}$;

и) $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{8}$;

к) $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{8}$;

л) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{11}$;

м) $\frac{3}{10}$ и $\frac{10}{11}$;

н) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{13}$;

о) $\frac{1}{10}$ и $\frac{2}{13}$;

п) $\frac{3}{10}$ и $\frac{4}{13}$;

р) $\frac{9}{10}$ и $\frac{12}{13}$.

а) Даны дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $. Чтобы привести их к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей, найдем этот знаменатель: $ 2 \times 3 = 6 $.
Для первой дроби $ \frac{1}{2} $ дополнительный множитель равен $ 3 $. Умножим числитель и знаменатель на $ 3 $: $ \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} $.
Для второй дроби $ \frac{1}{3} $ дополнительный множитель равен $ 2 $. Умножим числитель и знаменатель на $ 2 $: $ \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} $.
Ответ: $ \frac{3}{6} $ и $ \frac{2}{6} $.

б) Даны дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{5} $. Общий знаменатель: $ 2 \times 5 = 10 $.
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} $.
$ \frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} $.
Ответ: $ \frac{5}{10} $ и $ \frac{2}{10} $.

в) Даны дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{7} $. Общий знаменатель: $ 2 \times 7 = 14 $.
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14} $.
$ \frac{1}{7} = \frac{1 \times 2}{7 \times 2} = \frac{2}{14} $.
Ответ: $ \frac{7}{14} $ и $ \frac{2}{14} $.

г) Даны дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{9} $. Общий знаменатель: $ 2 \times 9 = 18 $.
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 9}{2 \times 9} = \frac{9}{18} $.
$ \frac{1}{9} = \frac{1 \times 2}{9 \times 2} = \frac{2}{18} $.
Ответ: $ \frac{9}{18} $ и $ \frac{2}{18} $.

д) Даны дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{2}{3} $. Общий знаменатель: $ 2 \times 3 = 6 $.
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} $.
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} $.
Ответ: $ \frac{3}{6} $ и $ \frac{4}{6} $.

е) Даны дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{3}{5} $. Общий знаменатель: $ 2 \times 5 = 10 $.
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} $.
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} $.
Ответ: $ \frac{5}{10} $ и $ \frac{6}{10} $.

ж) Даны дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{6}{7} $. Общий знаменатель: $ 2 \times 7 = 14 $.
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14} $.
$ \frac{6}{7} = \frac{6 \times 2}{7 \times 2} = \frac{12}{14} $.
Ответ: $ \frac{7}{14} $ и $ \frac{12}{14} $.

з) Даны дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{7}{9} $. Общий знаменатель: $ 2 \times 9 = 18 $.
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 9}{2 \times 9} = \frac{9}{18} $.
$ \frac{7}{9} = \frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18} $.
Ответ: $ \frac{9}{18} $ и $ \frac{14}{18} $.

и) Даны дроби $ \frac{1}{7} $ и $ \frac{1}{8} $. Общий знаменатель: $ 7 \times 8 = 56 $.
$ \frac{1}{7} = \frac{1 \times 8}{7 \times 8} = \frac{8}{56} $.
$ \frac{1}{8} = \frac{1 \times 7}{8 \times 7} = \frac{7}{56} $.
Ответ: $ \frac{8}{56} $ и $ \frac{7}{56} $.

к) Даны дроби $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{5}{8} $. Общий знаменатель: $ 7 \times 8 = 56 $.
$ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 8}{7 \times 8} = \frac{24}{56} $.
$ \frac{5}{8} = \frac{5 \times 7}{8 \times 7} = \frac{35}{56} $.
Ответ: $ \frac{24}{56} $ и $ \frac{35}{56} $.

л) Даны дроби $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{1}{11} $. Общий знаменатель: $ 10 \times 11 = 110 $.
$ \frac{1}{10} = \frac{1 \times 11}{10 \times 11} = \frac{11}{110} $.
$ \frac{1}{11} = \frac{1 \times 10}{11 \times 10} = \frac{10}{110} $.
Ответ: $ \frac{11}{110} $ и $ \frac{10}{110} $.

м) Даны дроби $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{10}{11} $. Общий знаменатель: $ 10 \times 11 = 110 $.
$ \frac{3}{10} = \frac{3 \times 11}{10 \times 11} = \frac{33}{110} $.
$ \frac{10}{11} = \frac{10 \times 10}{11 \times 10} = \frac{100}{110} $.
Ответ: $ \frac{33}{110} $ и $ \frac{100}{110} $.

н) Даны дроби $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{1}{13} $. Общий знаменатель: $ 10 \times 13 = 130 $.
$ \frac{1}{10} = \frac{1 \times 13}{10 \times 13} = \frac{13}{130} $.
$ \frac{1}{13} = \frac{1 \times 10}{13 \times 10} = \frac{10}{130} $.
Ответ: $ \frac{13}{130} $ и $ \frac{10}{130} $.

о) Даны дроби $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{2}{13} $. Общий знаменатель: $ 10 \times 13 = 130 $.
$ \frac{1}{10} = \frac{1 \times 13}{10 \times 13} = \frac{13}{130} $.
$ \frac{2}{13} = \frac{2 \times 10}{13 \times 10} = \frac{20}{130} $.
Ответ: $ \frac{13}{130} $ и $ \frac{20}{130} $.

п) Даны дроби $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{4}{13} $. Общий знаменатель: $ 10 \times 13 = 130 $.
$ \frac{3}{10} = \frac{3 \times 13}{10 \times 13} = \frac{39}{130} $.
$ \frac{4}{13} = \frac{4 \times 10}{13 \times 10} = \frac{40}{130} $.
Ответ: $ \frac{39}{130} $ и $ \frac{40}{130} $.

р) Даны дроби $ \frac{9}{10} $ и $ \frac{12}{13} $. Общий знаменатель: $ 10 \times 13 = 130 $.
$ \frac{9}{10} = \frac{9 \times 13}{10 \times 13} = \frac{117}{130} $.
$ \frac{12}{13} = \frac{12 \times 10}{13 \times 10} = \frac{120}{130} $.
Ответ: $ \frac{117}{130} $ и $ \frac{120}{130} $.

4.72. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) $frac{1}{2}$ и $frac{1}{4}$;

б) $frac{1}{3}$ и $frac{1}{6}$;

в) $frac{1}{4}$ и $frac{1}{12}$;

г) $frac{1}{5}$ и $frac{1}{30}$;

д) $frac{2}{3}$ и $frac{5}{9}$;

е) $frac{7}{8}$ и $frac{15}{16}$;

ж) $frac{1}{100}$ и $frac{1}{20}$;

з) $frac{3}{50}$ и $frac{7}{150}$.

а) Чтобы привести дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{4} $ к наименьшему общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 2 и 4. Так как 4 делится на 2, НОК(2, 4) = 4. Это и будет наименьший общий знаменатель.
Для первой дроби $ \frac{1}{2} $ дополнительный множитель равен $ 4 \div 2 = 2 $. Умножим числитель и знаменатель на 2: $ \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} $.
Вторая дробь $ \frac{1}{4} $ уже имеет знаменатель 4, поэтому она остается без изменений.
Таким образом, дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю, это $ \frac{2}{4} $ и $ \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{2}{4} $ и $ \frac{1}{4} $.

б) Даны дроби $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{6} $. Наименьший общий знаменатель — это НОК(3, 6), что равно 6.
Приведем дробь $ \frac{1}{3} $ к знаменателю 6. Дополнительный множитель: $ 6 \div 3 = 2 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} $.
Дробь $ \frac{1}{6} $ уже имеет знаменатель 6.
Ответ: $ \frac{2}{6} $ и $ \frac{1}{6} $.

в) Даны дроби $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{12} $. Наименьший общий знаменатель — это НОК(4, 12), что равно 12.
Приведем дробь $ \frac{1}{4} $ к знаменателю 12. Дополнительный множитель: $ 12 \div 4 = 3 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $.
Дробь $ \frac{1}{12} $ уже имеет знаменатель 12.
Ответ: $ \frac{3}{12} $ и $ \frac{1}{12} $.

г) Даны дроби $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{30} $. Наименьший общий знаменатель — это НОК(5, 30), что равно 30.
Приведем дробь $ \frac{1}{5} $ к знаменателю 30. Дополнительный множитель: $ 30 \div 5 = 6 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30} $.
Дробь $ \frac{1}{30} $ уже имеет знаменатель 30.
Ответ: $ \frac{6}{30} $ и $ \frac{1}{30} $.

д) Даны дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{9} $. Наименьший общий знаменатель — это НОК(3, 9), что равно 9.
Приведем дробь $ \frac{2}{3} $ к знаменателю 9. Дополнительный множитель: $ 9 \div 3 = 3 $. Получаем: $ \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9} $.
Дробь $ \frac{5}{9} $ уже имеет знаменатель 9.
Ответ: $ \frac{6}{9} $ и $ \frac{5}{9} $.

е) Даны дроби $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{15}{16} $. Наименьший общий знаменатель — это НОК(8, 16), что равно 16.
Приведем дробь $ \frac{7}{8} $ к знаменателю 16. Дополнительный множитель: $ 16 \div 8 = 2 $. Получаем: $ \frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{14}{16} $.
Дробь $ \frac{15}{16} $ уже имеет знаменатель 16.
Ответ: $ \frac{14}{16} $ и $ \frac{15}{16} $.

ж) Даны дроби $ \frac{1}{100} $ и $ \frac{1}{20} $. Наименьший общий знаменатель — это НОК(100, 20), что равно 100.
Дробь $ \frac{1}{100} $ уже имеет знаменатель 100.
Приведем дробь $ \frac{1}{20} $ к знаменателю 100. Дополнительный множитель: $ 100 \div 20 = 5 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{5}{100} $.
Ответ: $ \frac{1}{100} $ и $ \frac{5}{100} $.

з) Даны дроби $ \frac{3}{50} $ и $ \frac{7}{150} $. Наименьший общий знаменатель — это НОК(50, 150), что равно 150.
Приведем дробь $ \frac{3}{50} $ к знаменателю 150. Дополнительный множитель: $ 150 \div 50 = 3 $. Получаем: $ \frac{3 \cdot 3}{50 \cdot 3} = \frac{9}{150} $.
Дробь $ \frac{7}{150} $ уже имеет знаменатель 150.
Ответ: $ \frac{9}{150} $ и $ \frac{7}{150} $.

Приведите дроби к общему знаменателю (4.73–4.74):

4.73. a) $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$;

б) $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{10}$;

в) $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{8}$;

г) $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{9}$;

д) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{15}$;

е) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{25}$;

ж) $\frac{1}{30}$ и $\frac{1}{40}$;

з) $\frac{1}{30}$ и $\frac{1}{50}$;

и) $\frac{1}{70}$ и $\frac{1}{60}$;

к) $\frac{1}{50}$ и $\frac{1}{80}$;

л) $\frac{1}{60}$ и $\frac{1}{15}$;

м) $\frac{1}{24}$ и $\frac{1}{120}$;

н) $\frac{3}{50}$ и $\frac{7}{25}$;

о) $\frac{7}{200}$ и $\frac{11}{40}$;

п) $\frac{8}{17}$ и $\frac{9}{34}$;

р) $\frac{3}{40}$ и $\frac{7}{25}$.

а) $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 4 и 6.
НОК(4, 6) = 12. Общий знаменатель — 12.
Дополнительный множитель для первой дроби: $12 \div 4 = 3$.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $12 \div 6 = 2$.
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$.
Ответ: $\frac{3}{12}$ и $\frac{2}{12}$.

б) $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{10}$

Найдем НОК знаменателей 4 и 10.
НОК(4, 10) = 20. Общий знаменатель — 20.
Для дроби $\frac{1}{4}$ дополнительный множитель: $20 \div 4 = 5$.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$.
Для дроби $\frac{1}{10}$ дополнительный множитель: $20 \div 10 = 2$.
$\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{2}{20}$.
Ответ: $\frac{5}{20}$ и $\frac{2}{20}$.

в) $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{8}$

Найдем НОК знаменателей 6 и 8.
НОК(6, 8) = 24. Общий знаменатель — 24.
Для дроби $\frac{1}{6}$: $24 \div 6 = 4$. Получаем $\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$.
Для дроби $\frac{1}{8}$: $24 \div 8 = 3$. Получаем $\frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24}$.
Ответ: $\frac{4}{24}$ и $\frac{3}{24}$.

г) $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{9}$

Найдем НОК знаменателей 6 и 9.
НОК(6, 9) = 18. Общий знаменатель — 18.
Для дроби $\frac{1}{6}$: $18 \div 6 = 3$. Получаем $\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18}$.
Для дроби $\frac{1}{9}$: $18 \div 9 = 2$. Получаем $\frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{2}{18}$.
Ответ: $\frac{3}{18}$ и $\frac{2}{18}$.

д) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{15}$

Найдем НОК знаменателей 10 и 15.
НОК(10, 15) = 30. Общий знаменатель — 30.
$\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{3}{30}$.
$\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{2}{30}$.
Ответ: $\frac{3}{30}$ и $\frac{2}{30}$.

е) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{25}$

Найдем НОК знаменателей 10 и 25.
НОК(10, 25) = 50. Общий знаменатель — 50.
$\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{5}{50}$.
$\frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 2}{25 \cdot 2} = \frac{2}{50}$.
Ответ: $\frac{5}{50}$ и $\frac{2}{50}$.

ж) $\frac{1}{30}$ и $\frac{1}{40}$

Найдем НОК знаменателей 30 и 40.
НОК(30, 40) = 120. Общий знаменатель — 120.
Для дроби $\frac{1}{30}$ дополнительный множитель $120 \div 30 = 4$. $\frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 4}{30 \cdot 4} = \frac{4}{120}$.
Для дроби $\frac{1}{40}$ дополнительный множитель $120 \div 40 = 3$. $\frac{1}{40} = \frac{1 \cdot 3}{40 \cdot 3} = \frac{3}{120}$.
Ответ: $\frac{4}{120}$ и $\frac{3}{120}$.

з) $\frac{1}{30}$ и $\frac{1}{50}$

Найдем НОК знаменателей 30 и 50.
НОК(30, 50) = 150. Общий знаменатель — 150.
$\frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 5}{30 \cdot 5} = \frac{5}{150}$.
$\frac{1}{50} = \frac{1 \cdot 3}{50 \cdot 3} = \frac{3}{150}$.
Ответ: $\frac{5}{150}$ и $\frac{3}{150}$.

и) $\frac{1}{70}$ и $\frac{1}{60}$

Найдем НОК знаменателей 70 и 60.
НОК(70, 60) = 420. Общий знаменатель — 420.
$\frac{1}{70} = \frac{1 \cdot 6}{70 \cdot 6} = \frac{6}{420}$.
$\frac{1}{60} = \frac{1 \cdot 7}{60 \cdot 7} = \frac{7}{420}$.
Ответ: $\frac{6}{420}$ и $\frac{7}{420}$.

к) $\frac{1}{50}$ и $\frac{1}{80}$

Найдем НОК знаменателей 50 и 80.
НОК(50, 80) = 400. Общий знаменатель — 400.
$\frac{1}{50} = \frac{1 \cdot 8}{50 \cdot 8} = \frac{8}{400}$.
$\frac{1}{80} = \frac{1 \cdot 5}{80 \cdot 5} = \frac{5}{400}$.
Ответ: $\frac{8}{400}$ и $\frac{5}{400}$.

л) $\frac{1}{60}$ и $\frac{1}{15}$

Знаменатели дробей — 60 и 15. Поскольку 60 делится на 15 ($60 \div 15 = 4$), то наименьший общий знаменатель равен 60.
Первая дробь $\frac{1}{60}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для второй дроби $\frac{1}{15}$ дополнительный множитель равен 4.
$\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{4}{60}$.
Ответ: $\frac{1}{60}$ и $\frac{4}{60}$.

м) $\frac{1}{24}$ и $\frac{1}{120}$

Знаменатели дробей — 24 и 120. Поскольку 120 делится на 24 ($120 \div 24 = 5$), то наименьший общий знаменатель равен 120.
Вторая дробь $\frac{1}{120}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для первой дроби $\frac{1}{24}$ дополнительный множитель равен 5.
$\frac{1}{24} = \frac{1 \cdot 5}{24 \cdot 5} = \frac{5}{120}$.
Ответ: $\frac{5}{120}$ и $\frac{1}{120}$.

н) $\frac{3}{50}$ и $\frac{7}{25}$

Общий знаменатель для 50 и 25 — это 50, так как 50 делится на 25 ($50 \div 25 = 2$).
Дробь $\frac{3}{50}$ оставляем без изменений.
Для дроби $\frac{7}{25}$ дополнительный множитель равен 2.
$\frac{7}{25} = \frac{7 \cdot 2}{25 \cdot 2} = \frac{14}{50}$.
Ответ: $\frac{3}{50}$ и $\frac{14}{50}$.

о) $\frac{7}{200}$ и $\frac{11}{40}$

Общий знаменатель для 200 и 40 — это 200, так как 200 делится на 40 ($200 \div 40 = 5$).
Дробь $\frac{7}{200}$ оставляем без изменений.
Для дроби $\frac{11}{40}$ дополнительный множитель равен 5.
$\frac{11}{40} = \frac{11 \cdot 5}{40 \cdot 5} = \frac{55}{200}$.
Ответ: $\frac{7}{200}$ и $\frac{55}{200}$.

п) $\frac{8}{17}$ и $\frac{9}{34}$

Общий знаменатель для 17 и 34 — это 34, так как 34 делится на 17 ($34 \div 17 = 2$).
Дробь $\frac{9}{34}$ оставляем без изменений.
Для дроби $\frac{8}{17}$ дополнительный множитель равен 2.
$\frac{8}{17} = \frac{8 \cdot 2}{17 \cdot 2} = \frac{16}{34}$.
Ответ: $\frac{16}{34}$ и $\frac{9}{34}$.

р) $\frac{3}{40}$ и $\frac{7}{25}$

Найдем НОК знаменателей 40 и 25.
НОК(40, 25) = 200. Общий знаменатель — 200.
Для дроби $\frac{3}{40}$ дополнительный множитель: $200 \div 40 = 5$.
$\frac{3}{40} = \frac{3 \cdot 5}{40 \cdot 5} = \frac{15}{200}$.
Для дроби $\frac{7}{25}$ дополнительный множитель: $200 \div 25 = 8$.
$\frac{7}{25} = \frac{7 \cdot 8}{25 \cdot 8} = \frac{56}{200}$.
Ответ: $\frac{15}{200}$ и $\frac{56}{200}$.

4.74. а) $\frac{2}{15}$ и $\frac{5}{12}$;

б) $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{8}$;

в) $\frac{6}{15}$ и $\frac{11}{18}$;

г) $\frac{5}{16}$ и $\frac{5}{12}$;

д) $\frac{7}{33}$ и $\frac{3}{77}$;

е) $\frac{2}{55}$ и $\frac{5}{22}$;

ж) $\frac{4}{15}$ и $\frac{3}{20}$;

з) $\frac{5}{121}$ и $\frac{8}{99}$;

и) $\frac{1}{72}$ и $\frac{1}{56}$;

к) $\frac{1}{48}$ и $\frac{1}{72}$;

л) $\frac{2}{77}$ и $\frac{3}{44}$;

м) $\frac{1}{51}$ и $\frac{1}{68}$;

н) $\frac{5}{36}$ и $\frac{7}{54}$;

о) $\frac{9}{35}$ и $\frac{11}{42}$;

п) $\frac{4}{49}$ и $\frac{5}{63}$;

р) $\frac{15}{98}$ и $\frac{13}{72}$.

а) Чтобы привести дроби $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{5}{12} $ к общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 15 и 12. Разложим знаменатели на простые множители: $ 15 = 3 \cdot 5 $; $ 12 = 2^2 \cdot 3 $. НОК(15, 12) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $. Дополнительный множитель для первой дроби: $ 60 \div 15 = 4 $. Дополнительный множитель для второй дроби: $ 60 \div 12 = 5 $. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель: $ \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{8}{60} $; $ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60} $. Ответ: $ \frac{8}{60} $ и $ \frac{25}{60} $.

б) Приведем дроби $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{7}{8} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 12 и 8 на простые множители: $ 12 = 2^2 \cdot 3 $; $ 8 = 2^3 $. НОК(12, 8) = $ 2^3 \cdot 3 = 24 $. Дополнительные множители: $ 24 \div 12 = 2 $ для первой дроби и $ 24 \div 8 = 3 $ для второй. Получаем: $ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24} $; $ \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24} $. Ответ: $ \frac{10}{24} $ и $ \frac{21}{24} $.

в) Приведем дроби $ \frac{6}{15} $ и $ \frac{11}{18} $ к общему знаменателю. Сначала сократим дробь $ \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $. Теперь работаем с дробями $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{11}{18} $. НОК(5, 18) = $ 5 \cdot 18 = 90 $. Дополнительные множители: $ 90 \div 5 = 18 $ для первой дроби и $ 90 \div 18 = 5 $ для второй. Получаем: $ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 18}{5 \cdot 18} = \frac{36}{90} $; $ \frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{55}{90} $. Ответ: $ \frac{36}{90} $ и $ \frac{55}{90} $.

г) Приведем дроби $ \frac{5}{16} $ и $ \frac{5}{12} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 16 и 12 на простые множители: $ 16 = 2^4 $; $ 12 = 2^2 \cdot 3 $. НОК(16, 12) = $ 2^4 \cdot 3 = 48 $. Дополнительные множители: $ 48 \div 16 = 3 $ для первой дроби и $ 48 \div 12 = 4 $ для второй. Получаем: $ \frac{5}{16} = \frac{5 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{15}{48} $; $ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{20}{48} $. Ответ: $ \frac{15}{48} $ и $ \frac{20}{48} $.

д) Приведем дроби $ \frac{7}{33} $ и $ \frac{3}{77} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 33 и 77 на простые множители: $ 33 = 3 \cdot 11 $; $ 77 = 7 \cdot 11 $. НОК(33, 77) = $ 3 \cdot 7 \cdot 11 = 231 $. Дополнительные множители: $ 231 \div 33 = 7 $ для первой дроби и $ 231 \div 77 = 3 $ для второй. Получаем: $ \frac{7}{33} = \frac{7 \cdot 7}{33 \cdot 7} = \frac{49}{231} $; $ \frac{3}{77} = \frac{3 \cdot 3}{77 \cdot 3} = \frac{9}{231} $. Ответ: $ \frac{49}{231} $ и $ \frac{9}{231} $.

е) Приведем дроби $ \frac{2}{55} $ и $ \frac{5}{22} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 55 и 22 на простые множители: $ 55 = 5 \cdot 11 $; $ 22 = 2 \cdot 11 $. НОК(55, 22) = $ 2 \cdot 5 \cdot 11 = 110 $. Дополнительные множители: $ 110 \div 55 = 2 $ для первой дроби и $ 110 \div 22 = 5 $ для второй. Получаем: $ \frac{2}{55} = \frac{2 \cdot 2}{55 \cdot 2} = \frac{4}{110} $; $ \frac{5}{22} = \frac{5 \cdot 5}{22 \cdot 5} = \frac{25}{110} $. Ответ: $ \frac{4}{110} $ и $ \frac{25}{110} $.

ж) Приведем дроби $ \frac{4}{15} $ и $ \frac{3}{20} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 15 и 20 на простые множители: $ 15 = 3 \cdot 5 $; $ 20 = 2^2 \cdot 5 $. НОК(15, 20) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $. Дополнительные множители: $ 60 \div 15 = 4 $ для первой дроби и $ 60 \div 20 = 3 $ для второй. Получаем: $ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{16}{60} $; $ \frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{9}{60} $. Ответ: $ \frac{16}{60} $ и $ \frac{9}{60} $.

з) Приведем дроби $ \frac{5}{121} $ и $ \frac{8}{99} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 121 и 99 на простые множители: $ 121 = 11^2 $; $ 99 = 3^2 \cdot 11 $. НОК(121, 99) = $ 3^2 \cdot 11^2 = 9 \cdot 121 = 1089 $. Дополнительные множители: $ 1089 \div 121 = 9 $ для первой дроби и $ 1089 \div 99 = 11 $ для второй. Получаем: $ \frac{5}{121} = \frac{5 \cdot 9}{121 \cdot 9} = \frac{45}{1089} $; $ \frac{8}{99} = \frac{8 \cdot 11}{99 \cdot 11} = \frac{88}{1089} $. Ответ: $ \frac{45}{1089} $ и $ \frac{88}{1089} $.

и) Приведем дроби $ \frac{1}{72} $ и $ \frac{1}{56} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 72 и 56 на простые множители: $ 72 = 2^3 \cdot 3^2 $; $ 56 = 2^3 \cdot 7 $. НОК(72, 56) = $ 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504 $. Дополнительные множители: $ 504 \div 72 = 7 $ для первой дроби и $ 504 \div 56 = 9 $ для второй. Получаем: $ \frac{1}{72} = \frac{1 \cdot 7}{72 \cdot 7} = \frac{7}{504} $; $ \frac{1}{56} = \frac{1 \cdot 9}{56 \cdot 9} = \frac{9}{504} $. Ответ: $ \frac{7}{504} $ и $ \frac{9}{504} $.

к) Приведем дроби $ \frac{1}{48} $ и $ \frac{1}{72} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 48 и 72 на простые множители: $ 48 = 2^4 \cdot 3 $; $ 72 = 2^3 \cdot 3^2 $. НОК(48, 72) = $ 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144 $. Дополнительные множители: $ 144 \div 48 = 3 $ для первой дроби и $ 144 \div 72 = 2 $ для второй. Получаем: $ \frac{1}{48} = \frac{1 \cdot 3}{48 \cdot 3} = \frac{3}{144} $; $ \frac{1}{72} = \frac{1 \cdot 2}{72 \cdot 2} = \frac{2}{144} $. Ответ: $ \frac{3}{144} $ и $ \frac{2}{144} $.

л) Приведем дроби $ \frac{2}{77} $ и $ \frac{3}{44} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 77 и 44 на простые множители: $ 77 = 7 \cdot 11 $; $ 44 = 2^2 \cdot 11 $. НОК(77, 44) = $ 2^2 \cdot 7 \cdot 11 = 4 \cdot 77 = 308 $. Дополнительные множители: $ 308 \div 77 = 4 $ для первой дроби и $ 308 \div 44 = 7 $ для второй. Получаем: $ \frac{2}{77} = \frac{2 \cdot 4}{77 \cdot 4} = \frac{8}{308} $; $ \frac{3}{44} = \frac{3 \cdot 7}{44 \cdot 7} = \frac{21}{308} $. Ответ: $ \frac{8}{308} $ и $ \frac{21}{308} $.

м) Приведем дроби $ \frac{1}{51} $ и $ \frac{1}{68} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 51 и 68 на простые множители: $ 51 = 3 \cdot 17 $; $ 68 = 2^2 \cdot 17 $. НОК(51, 68) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 17 = 4 \cdot 51 = 204 $. Дополнительные множители: $ 204 \div 51 = 4 $ для первой дроби и $ 204 \div 68 = 3 $ для второй. Получаем: $ \frac{1}{51} = \frac{1 \cdot 4}{51 \cdot 4} = \frac{4}{204} $; $ \frac{1}{68} = \frac{1 \cdot 3}{68 \cdot 3} = \frac{3}{204} $. Ответ: $ \frac{4}{204} $ и $ \frac{3}{204} $.

н) Приведем дроби $ \frac{5}{36} $ и $ \frac{7}{54} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 36 и 54 на простые множители: $ 36 = 2^2 \cdot 3^2 $; $ 54 = 2 \cdot 3^3 $. НОК(36, 54) = $ 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108 $. Дополнительные множители: $ 108 \div 36 = 3 $ для первой дроби и $ 108 \div 54 = 2 $ для второй. Получаем: $ \frac{5}{36} = \frac{5 \cdot 3}{36 \cdot 3} = \frac{15}{108} $; $ \frac{7}{54} = \frac{7 \cdot 2}{54 \cdot 2} = \frac{14}{108} $. Ответ: $ \frac{15}{108} $ и $ \frac{14}{108} $.

о) Приведем дроби $ \frac{9}{35} $ и $ \frac{11}{42} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 35 и 42 на простые множители: $ 35 = 5 \cdot 7 $; $ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 $. НОК(35, 42) = $ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210 $. Дополнительные множители: $ 210 \div 35 = 6 $ для первой дроби и $ 210 \div 42 = 5 $ для второй. Получаем: $ \frac{9}{35} = \frac{9 \cdot 6}{35 \cdot 6} = \frac{54}{210} $; $ \frac{11}{42} = \frac{11 \cdot 5}{42 \cdot 5} = \frac{55}{210} $. Ответ: $ \frac{54}{210} $ и $ \frac{55}{210} $.

п) Приведем дроби $ \frac{4}{49} $ и $ \frac{5}{63} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 49 и 63 на простые множители: $ 49 = 7^2 $; $ 63 = 3^2 \cdot 7 $. НОК(49, 63) = $ 3^2 \cdot 7^2 = 9 \cdot 49 = 441 $. Дополнительные множители: $ 441 \div 49 = 9 $ для первой дроби и $ 441 \div 63 = 7 $ для второй. Получаем: $ \frac{4}{49} = \frac{4 \cdot 9}{49 \cdot 9} = \frac{36}{441} $; $ \frac{5}{63} = \frac{5 \cdot 7}{63 \cdot 7} = \frac{35}{441} $. Ответ: $ \frac{36}{441} $ и $ \frac{35}{441} $.

р) Приведем дроби $ \frac{15}{98} $ и $ \frac{13}{72} $ к общему знаменателю. Разложим знаменатели 98 и 72 на простые множители: $ 98 = 2 \cdot 7^2 $; $ 72 = 2^3 \cdot 3^2 $. НОК(98, 72) = $ 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2 = 8 \cdot 9 \cdot 49 = 3528 $. Дополнительные множители: $ 3528 \div 98 = 36 $ для первой дроби и $ 3528 \div 72 = 49 $ для второй. Получаем: $ \frac{15}{98} = \frac{15 \cdot 36}{98 \cdot 36} = \frac{540}{3528} $; $ \frac{13}{72} = \frac{13 \cdot 49}{72 \cdot 49} = \frac{637}{3528} $. Ответ: $ \frac{540}{3528} $ и $ \frac{637}{3528} $.

4.75. Приведите дробь к знаменателю 10, или 100, или 1000:

a) $\frac{1}{2}$;

б) $\frac{1}{4}$;

в) $\frac{1}{8}$;

г) $\frac{1}{5}$;

д) $\frac{1}{25}$;

е) $\frac{1}{125}$;

ж) $\frac{3}{4}$;

з) $\frac{4}{5}$.

а) Чтобы привести дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 10, нужно найти число, на которое надо умножить знаменатель 2, чтобы получить 10. Это число 5, так как $10 \div 2 = 5$. Умножим числитель и знаменатель дроби на 5, используя основное свойство дроби: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$.
Ответ: $\frac{5}{10}$.

б) Чтобы привести дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 10, 100 или 1000, нужно найти подходящий множитель. 10 не делится на 4 без остатка. 100 делится на 4: $100 \div 4 = 25$. Значит, приводим дробь к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 25: $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100}$.
Ответ: $\frac{25}{100}$.

в) Чтобы привести дробь $\frac{1}{8}$, проверим знаменатели. 10 и 100 не делятся на 8 без остатка. 1000 делится на 8: $1000 \div 8 = 125$. Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 125, чтобы получить знаменатель 1000: $\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125}{1000}$.
Ответ: $\frac{125}{1000}$.

г) Для дроби $\frac{1}{5}$ ближайший подходящий знаменатель — 10. Чтобы получить 10 из 5, нужно умножить на 2 ($10 \div 5 = 2$). Умножаем числитель и знаменатель на 2: $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10}$.
Ответ: $\frac{2}{10}$.

д) Для дроби $\frac{1}{25}$ ищем подходящий знаменатель. 10 не подходит. 100 подходит, так как $100 \div 25 = 4$. Умножим числитель и знаменатель дроби на 4, чтобы привести ее к знаменателю 100: $\frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{4}{100}$.
Ответ: $\frac{4}{100}$.

е) Для дроби $\frac{1}{125}$ знаменатели 10 и 100 не подходят. Проверим 1000: $1000 \div 125 = 8$. Умножим числитель и знаменатель на 8, чтобы получить знаменатель 1000: $\frac{1}{125} = \frac{1 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{8}{1000}$.
Ответ: $\frac{8}{1000}$.

ж) Для дроби $\frac{3}{4}$ нужно найти дополнительный множитель, чтобы получить знаменатель 10, 100 или 1000. Знаменатель 4 является делителем 100 ($100 \div 4 = 25$). Умножим числитель и знаменатель на 25: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100}$.
Ответ: $\frac{75}{100}$.

з) Для дроби $\frac{4}{5}$ приводим ее к знаменателю 10. Для этого нужно умножить знаменатель 5 на 2 ($10 \div 5 = 2$). Умножаем числитель и знаменатель на 2: $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10}$.
Ответ: $\frac{8}{10}$.