Страница 179 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.50. a) На ветке сидели 12 птиц; $\frac{2}{3}$ из них улетели. Сколько птиц улетело?

б) В классе 32 учащихся; $\frac{3}{4}$ из них катались на лыжах. Сколько учащихся каталось на лыжах?

а) Чтобы найти, сколько птиц улетело, нужно вычислить $\frac{2}{3}$ от общего количества птиц, которое равно 12. Для этого мы умножаем общее количество птиц на дробь.

Первый способ: найти, сколько птиц составляет одна треть, и затем умножить на два.

1. $12 \div 3 = 4$ (птицы) - составляет $\frac{1}{3}$ всех птиц.

2. $4 \cdot 2 = 8$ (птиц) - составляет $\frac{2}{3}$ всех птиц.

Второй способ: умножить число на дробь.

$12 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 2}{3} = \frac{24}{3} = 8$ (птиц).

Ответ: 8 птиц.

б) Чтобы найти, сколько учащихся каталось на лыжах, нужно вычислить $\frac{3}{4}$ от общего количества учащихся, которое равно 32. Для этого мы умножаем общее количество учащихся на дробь.

Первый способ: найти, сколько учащихся составляет одна четвертая часть, и затем умножить на три.

1. $32 \div 4 = 8$ (учащихся) - составляет $\frac{1}{4}$ всех учащихся.

2. $8 \cdot 3 = 24$ (учащихся) - составляет $\frac{3}{4}$ всех учащихся.

Второй способ: умножить число на дробь.

$32 \cdot \frac{3}{4} = \frac{32 \cdot 3}{4} = \frac{96}{4} = 24$ (учащихся).

Ответ: 24 учащихся.

4.51. а) Велосипедисты за два дня проехали 48 км. В первый день они проехали $\frac{2}{3}$ всего пути. Сколько километров они проехали во второй день?

б) Некто, имея 350 р., потратил $\frac{5}{7}$ своих денег. Сколько денег у него осталось?

в) В тетради 24 страницы. Девочка исписала $\frac{5}{8}$ всех страниц тетради. Сколько осталось неисписанных страниц?

а)

Примем весь путь за 1. В первый день велосипедисты проехали $\frac{2}{3}$ всего пути. Чтобы найти, какую часть пути они проехали во второй день, нужно из всего пути вычесть часть, пройденную в первый день:
$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем, сколько километров составляет $\frac{1}{3}$ от общего пути в 48 км. Для этого умножим общий путь на эту дробь:
$48 \cdot \frac{1}{3} = \frac{48}{3} = 16$ (км)

Ответ: 16 км.

б)

Примем всю сумму денег за 1. Было потрачено $\frac{5}{7}$ всех денег. Найдем, какая часть денег осталась. Для этого из целого вычтем потраченную часть:
$1 - \frac{5}{7} = \frac{7}{7} - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$

Теперь найдем, сколько рублей составляет оставшаяся часть ($\frac{2}{7}$) от первоначальной суммы в 350 р.:
$350 \cdot \frac{2}{7} = \frac{350 \cdot 2}{7} = 50 \cdot 2 = 100$ (р.)

Ответ: 100 р.

в)

Примем все страницы в тетради за 1. Девочка исписала $\frac{5}{8}$ всех страниц. Найдем, какая часть страниц осталась неисписанной:
$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

Теперь найдем, сколько страниц составляет неисписанная часть ($\frac{3}{8}$) от общего количества в 24 страницы:
$24 \cdot \frac{3}{8} = \frac{24 \cdot 3}{8} = 3 \cdot 3 = 9$ (страниц)

Ответ: 9 страниц.

4.52. Автотуристы за три дня проехали 360 км; в первый день они проехали $\frac{2}{5}$, а во второй день $\frac{3}{8}$ всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?

Для того чтобы узнать, какое расстояние автотуристы проехали в третий день, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сначала вычислим, сколько километров автотуристы проехали в первый день. Это составляет $\frac{2}{5}$ от общего расстояния в 360 км:

$360 \cdot \frac{2}{5} = \frac{360 \cdot 2}{5} = 72 \cdot 2 = 144$ км.

2. Далее вычислим расстояние, пройденное во второй день. Оно составляет $\frac{3}{8}$ от общего пути:

$360 \cdot \frac{3}{8} = \frac{360 \cdot 3}{8} = 45 \cdot 3 = 135$ км.

3. Теперь найдем общее расстояние, которое автотуристы проехали за первые два дня, сложив полученные значения:

$144 + 135 = 279$ км.

4. Чтобы найти расстояние, пройденное в третий день, нужно вычесть из общего расстояния путь, пройденный за первые два дня:

$360 - 279 = 81$ км.

Альтернативный способ решения:

1. Сначала найдем, какую долю пути автотуристы проехали за первые два дня. Для этого сложим дроби:

$\frac{2}{5} + \frac{3}{8} = \frac{16}{40} + \frac{15}{40} = \frac{31}{40}$

2. Затем определим, какая доля пути осталась на третий день. Для этого вычтем из единицы (весь путь) долю, пройденную за два дня:

$1 - \frac{31}{40} = \frac{40}{40} - \frac{31}{40} = \frac{9}{40}$

3. Теперь вычислим, сколько километров составляет оставшаяся доля пути:

$360 \cdot \frac{9}{40} = \frac{360 \cdot 9}{40} = 9 \cdot 9 = 81$ км.

Ответ: 81 км.

4.53. а) В драмкружке занимаются 24 девочки и несколько мальчиков. Число мальчиков составляет $\frac{3}{8}$ числа девочек. Сколько всего учащихся занимается в драмкружке?

б) В коллекции 45 юбилейных рублёвых монет. Число трёх- и пятирублёвых монет составляет $\frac{2}{9}$ числа рублёвых монет. Сколько всего юбилейных монет достоинством в один, три и пять рублей в коллекции?

а)

1. Сначала найдем количество мальчиков в драмкружке. По условию, их число составляет $ \frac{3}{8} $ от числа девочек, которых 24.

Чтобы найти часть от числа, нужно умножить это число на дробь:

$ 24 \cdot \frac{3}{8} = \frac{24 \cdot 3}{8} = 3 \cdot 3 = 9 $ (мальчиков).

2. Теперь найдем общее количество учащихся, сложив число девочек и число мальчиков:

$ 24 + 9 = 33 $ (учащихся).

Ответ: 33 учащихся.

б)

1. Всего в коллекции 45 монет. Найдем, сколько среди них трёх- и пятирублёвых монет. Их число составляет $ \frac{2}{9} $ от общего количества.

$ 45 \cdot \frac{2}{9} = \frac{45 \cdot 2}{9} = 5 \cdot 2 = 10 $ (трёх- и пятирублёвых монет).

2. Оставшиеся монеты — это монеты достоинством в один рубль. Найдем их количество:

$ 45 - 10 = 35 $ (монет достоинством в один рубль).

3. Вопрос задачи: сколько всего юбилейных монет достоинством в один, три и пять рублей в коллекции. Для этого нужно сложить количество всех этих монет:

$ 35 \text{ (однорублёвых)} + 10 \text{ (трёх- и пятирублёвых)} = 45 $ (монет).

Это число совпадает с общим количеством монет в коллекции, так как по условию в ней находятся только монеты указанных достоинств.

Ответ: 45 монет.

4.54. а) 120 р. составляют $\frac{3}{4}$ имеющихся денег. Какова эта сумма?

б) Определите длину отрезка, $\frac{3}{5}$ которого равны 15 см.

а) В задаче известно, что 120 рублей – это $\frac{3}{4}$ от некоторой суммы. Чтобы найти всю сумму, нужно значение части (120 р.) разделить на дробь, которую эта часть выражает ($\frac{3}{4}$).

Пусть $x$ – это вся сумма денег. Тогда по условию задачи:

$\frac{3}{4} \cdot x = 120$

Найдем $x$:

$x = 120 : \frac{3}{4}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$x = 120 \cdot \frac{4}{3} = \frac{120 \cdot 4}{3} = 40 \cdot 4 = 160$ (р.)

Ответ: 160 р.

б) В этой задаче известна часть длины отрезка (15 см), что составляет $\frac{3}{5}$ от его полной длины. Чтобы найти полную длину, нужно известную часть (15 см) разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{3}{5}$).

Пусть $L$ – это полная длина отрезка. Тогда по условию:

$\frac{3}{5} \cdot L = 15$

Найдем $L$:

$L = 15 : \frac{3}{5}$

$L = 15 \cdot \frac{5}{3} = \frac{15 \cdot 5}{3} = 5 \cdot 5 = 25$ (см)

Ответ: 25 см.

4.55. a) Сыну 10 лет. Его возраст составляет $ \frac{2}{7} $ возраста отца. Сколько лет отцу?

б) Дочери 12 лет. Её возраст составляет $ \frac{2}{5} $ возраста матери. Сколько лет матери?

а)

Эта задача относится к типу "нахождение числа по его дроби". Нам известно, что возраст сына (10 лет) — это часть от возраста отца, и эта часть равна $\frac{2}{7}$. Чтобы найти целое (возраст отца), нужно известную часть (10 лет) разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{2}{7}$).
Для этого мы делим возраст сына на числитель дроби и умножаем на знаменатель.
1. Найдем, сколько лет составляет $\frac{1}{7}$ возраста отца:
$10 : 2 = 5$ (лет)
2. Теперь найдем полный возраст отца, который составляет $\frac{7}{7}$:
$5 \cdot 7 = 35$ (лет)

Можно решить и одним действием, разделив возраст сына на дробь:
$10 : \frac{2}{7} = 10 \cdot \frac{7}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$ (лет).
Ответ: отцу 35 лет.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Нам известно, что возраст дочери (12 лет) составляет $\frac{2}{5}$ от возраста матери. Чтобы найти полный возраст матери, нужно возраст дочери разделить на дробь $\frac{2}{5}$.
1. Найдем, сколько лет составляет $\frac{1}{5}$ возраста матери:
$12 : 2 = 6$ (лет)
2. Найдем полный возраст матери, который составляет $\frac{5}{5}$:
$6 \cdot 5 = 30$ (лет)

Решение в одно действие:
$12 : \frac{2}{5} = 12 \cdot \frac{5}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = \frac{60}{2} = 30$ (лет).
Ответ: матери 30 лет.