Страница 184 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.76. Определите, равны ли дроби. Результат запишите с помощью знаков «=» И «≠».

а) $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{7}$; так как $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{14}{35}$, и $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35}$. И $\frac{14}{35} \neq \frac{15}{35}$, то $\frac{2}{5} \neq \frac{3}{7}$;

б) $\frac{15}{20}$ и $\frac{18}{24}$;

в) $\frac{20}{35}$ и $\frac{16}{28}$;

г) $\frac{12}{30}$ и $\frac{15}{25}$;

д) $\frac{18}{22}$ и $\frac{27}{33}$;

е) $\frac{30}{48}$ и $\frac{36}{56}$;

ж) $\frac{56}{84}$ и $\frac{82}{108}$;

з) $\frac{121}{77}$ и $\frac{45}{21}$;

и) $\frac{49}{63}$ и $\frac{34}{85}$.

Чтобы определить, равны ли две дроби, можно привести их к несократимому виду и сравнить. Если несократимые дроби равны, то и исходные дроби равны.

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{7} $, приведем их к общему знаменателю $ 35 $. Получим $ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{14}{35} $ и $ \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35} $. Так как $ \frac{14}{35} \neq \frac{15}{35} $, то дроби не равны. Ответ: $ \frac{2}{5} \neq \frac{3}{7} $.

б) Сравним дроби $ \frac{15}{20} $ и $ \frac{18}{24} $, сократив каждую из них.
$ \frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} $.
$ \frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4} $.
Так как сокращенные дроби равны, то и исходные дроби равны. Ответ: $ \frac{15}{20} = \frac{18}{24} $.

в) Сравним дроби $ \frac{20}{35} $ и $ \frac{16}{28} $, сократив каждую из них.
$ \frac{20}{35} = \frac{20 \div 5}{35 \div 5} = \frac{4}{7} $.
$ \frac{16}{28} = \frac{16 \div 4}{28 \div 4} = \frac{4}{7} $.
Так как сокращенные дроби равны, то и исходные дроби равны. Ответ: $ \frac{20}{35} = \frac{16}{28} $.

г) Сравним дроби $ \frac{12}{30} $ и $ \frac{15}{25} $, сократив каждую из них.
$ \frac{12}{30} = \frac{12 \div 6}{30 \div 6} = \frac{2}{5} $.
$ \frac{15}{25} = \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5} $.
Так как $ \frac{2}{5} \neq \frac{3}{5} $, то исходные дроби не равны. Ответ: $ \frac{12}{30} \neq \frac{15}{25} $.

д) Сравним дроби $ \frac{18}{22} $ и $ \frac{27}{33} $, сократив каждую из них.
$ \frac{18}{22} = \frac{18 \div 2}{22 \div 2} = \frac{9}{11} $.
$ \frac{27}{33} = \frac{27 \div 3}{33 \div 3} = \frac{9}{11} $.
Сокращенные дроби равны, следовательно, исходные дроби также равны. Ответ: $ \frac{18}{22} = \frac{27}{33} $.

е) Сравним дроби $ \frac{30}{48} $ и $ \frac{36}{56} $, сократив каждую из них.
$ \frac{30}{48} = \frac{30 \div 6}{48 \div 6} = \frac{5}{8} $.
$ \frac{36}{56} = \frac{36 \div 4}{56 \div 4} = \frac{9}{14} $.
Так как $ \frac{5}{8} \neq \frac{9}{14} $ (проверим перекрестным умножением: $ 5 \cdot 14 = 70 $, а $ 8 \cdot 9 = 72 $), то исходные дроби не равны. Ответ: $ \frac{30}{48} \neq \frac{36}{56} $.

ж) Сравним дроби $ \frac{56}{84} $ и $ \frac{82}{108} $, сократив каждую из них.
$ \frac{56}{84} = \frac{56 \div 28}{84 \div 28} = \frac{2}{3} $.
$ \frac{82}{108} = \frac{82 \div 2}{108 \div 2} = \frac{41}{54} $.
Так как $ \frac{2}{3} = \frac{36}{54} $, а $ \frac{36}{54} \neq \frac{41}{54} $, то исходные дроби не равны. Ответ: $ \frac{56}{84} \neq \frac{82}{108} $.

з) Сравним дроби $ \frac{121}{77} $ и $ \frac{45}{21} $, сократив каждую из них.
$ \frac{121}{77} = \frac{121 \div 11}{77 \div 11} = \frac{11}{7} $.
$ \frac{45}{21} = \frac{45 \div 3}{21 \div 3} = \frac{15}{7} $.
Так как $ \frac{11}{7} \neq \frac{15}{7} $, то исходные дроби не равны. Ответ: $ \frac{121}{77} \neq \frac{45}{21} $.

и) Сравним дроби $ \frac{49}{63} $ и $ \frac{34}{85} $, сократив каждую из них.
$ \frac{49}{63} = \frac{49 \div 7}{63 \div 7} = \frac{7}{9} $.
$ \frac{34}{85} = \frac{34 \div 17}{85 \div 17} = \frac{2}{5} $.
Так как $ \frac{7}{9} \neq \frac{2}{5} $ (проверим перекрестным умножением: $ 7 \cdot 5 = 35 $, а $ 9 \cdot 2 = 18 $), то исходные дроби не равны. Ответ: $ \frac{49}{63} \neq \frac{34}{85} $.