Страница 189 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.93. а) Как складывают дроби с общим знаменателем?

б) Как складывают дроби с разными знаменателями?

а) Чтобы сложить дроби с общим (одинаковым) знаменателем, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Если знаменатель общий, он показывает, на какие доли разделена единица, а числители показывают, сколько таких долей взято. При сложении мы просто находим общее количество долей.
В виде формулы это правило выглядит так: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $.
Например, сложим дроби $ \frac{2}{9} $ и $ \frac{5}{9} $. Общий знаменатель - 9.
Складываем числители: $ 2 + 5 = 7 $.
Получаем: $ \frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \frac{7}{9} $.
Если в результате сложения получается сократимая дробь, ее следует сократить. Если получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя или равен ему), из нее следует выделить целую часть.
Ответ: Складывают числители дробей, а знаменатель оставляют тот же.

б) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их сначала необходимо привести к общему знаменателю. После этого сложение выполняется по правилу для дробей с одинаковыми знаменателями.
Алгоритм действий следующий:
1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей исходных дробей.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для этого НОЗ делят на знаменатель соответствующей дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Эта операция называется приведением дроби к новому знаменателю.
4. Сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями, как описано в пункте а).
Рассмотрим на примере: сложим дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{3}{8} $.
1. Находим наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 8. НОК(6, 8) = 24. Значит, НОЗ = 24.
2. Находим дополнительные множители. Для первой дроби: $ 24 \div 6 = 4 $. Для второй дроби: $ 24 \div 8 = 3 $.
3. Приводим дроби к знаменателю 24:
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24} $
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} $
4. Складываем новые дроби:
$ \frac{4}{24} + \frac{9}{24} = \frac{4+9}{24} = \frac{13}{24} $.
Ответ: Дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают их числители, оставляя общий знаменатель без изменений.

4.94. С помощью рисунка 168 объясните, почему $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$.

Рис. 168

Каждая из трех фигур на рисунке 168 (круг, прямоугольник и отрезок) представляет собой одно целое, или единицу. Все они разделены на 8 равных частей, поэтому каждая такая часть соответствует дроби $\frac{1}{8}$.

Объяснение с помощью круга:

Круг разделен на 8 одинаковых секторов. Дробь $\frac{1}{8}$ представлена одним оранжевым сектором. Дробь $\frac{3}{8}$ представлена тремя синими секторами. Чтобы сложить эти дроби, мы объединяем эти секторы. Вместе получается $1+3=4$ сектора. Эти 4 сектора занимают ровно половину круга, что наглядно показывает, что $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Объяснение с помощью прямоугольника:

Прямоугольник разделен на 8 равных маленьких прямоугольников. Дробь $\frac{1}{8}$ представлена одним синим прямоугольником, а дробь $\frac{3}{8}$ — тремя оранжевыми. Их сумма — это $1+3=4$ маленьких прямоугольника. Эти 4 прямоугольника составляют верхний ряд, который является ровно половиной всего большого прямоугольника. Таким образом, $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Объяснение с помощью отрезка:

Числовой отрезок разделен на 8 равных частей. Первая часть (синего цвета) составляет $\frac{1}{8}$ от всего отрезка. Следующие три части (оранжевого цвета) составляют $\frac{3}{8}$ отрезка. Если сложить их длины, то получится $1+3=4$ части. Эти 4 части из 8 составляют ровно половину длины всего отрезка. Это еще раз подтверждает, что $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Все три рисунка показывают, что при сложении $\frac{1}{8}$ и $\frac{3}{8}$ получается $\frac{4}{8}$. Так как 4 части из 8 составляют ровно половину целого, то дробь $\frac{4}{8}$ равна $\frac{1}{2}$.