Страница 187 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.86. Докажите, что из двух дробей с равными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Чтобы доказать, что из двух дробей с равными числителями больше та, у которой знаменатель меньше, рассмотрим две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$.

Будем считать, что числитель $a$ и знаменатели $b$ и $c$ — натуральные числа (то есть, положительные целые числа). По условию, числители дробей равны. Предположим, что знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, то есть $b < c$. Нам необходимо доказать, что в этом случае первая дробь больше второй: $\frac{a}{b} > \frac{a}{c}$.

Доказательство

Для того чтобы сравнить две дроби, наиболее удобный способ — привести их к общему знаменателю. В качестве общего знаменателя для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$ можно взять их произведение $b \cdot c$.

1. Приведём дробь $\frac{a}{b}$ к знаменателю $b \cdot c$. Для этого умножим её числитель и знаменатель на дополнительный множитель $c$:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

2. Приведём дробь $\frac{a}{c}$ к тому же знаменателю $b \cdot c$. Для этого умножим её числитель и знаменатель на дополнительный множитель $b$:

$\frac{a}{c} = \frac{a \cdot b}{c \cdot b} = \frac{a \cdot b}{b \cdot c}$

Теперь мы имеем две дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ и $\frac{a \cdot b}{b \cdot c}$.

Согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой больше числитель. Следовательно, нам нужно сравнить числители полученных дробей: $a \cdot c$ и $a \cdot b$.

По нашему начальному условию, $b < c$. Поскольку $a$ — натуральное (то есть положительное) число, мы можем умножить обе части этого неравенства на $a$, и знак неравенства при этом не изменится:

$a \cdot b < a \cdot c$

Это означает, что числитель первой дроби ($a \cdot c$) больше числителя второй дроби ($a \cdot b$). Значит, и сама первая дробь больше второй:

$\frac{a \cdot c}{b \cdot c} > \frac{a \cdot b}{b \cdot c}$

Поскольку $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$ и $\frac{a \cdot b}{b \cdot c} = \frac{a}{c}$, мы можем вернуться к исходным дробям:

$\frac{a}{b} > \frac{a}{c}$

Таким образом, утверждение доказано. Что и требовалось доказать.

Наглядный пример

Представьте, что у вас есть один большой яблочный пирог (это наш числитель, равный 1). Если вы разделите его на 3 равные части (знаменатель 3), каждый кусок будет составлять $\frac{1}{3}$ пирога. Если же вы разделите точно такой же пирог на 5 равных частей (знаменатель 5), то каждый кусок будет равен $\frac{1}{5}$ пирога. Очевидно, что кусок, составляющий треть пирога, будет больше куска, составляющего одну пятую. Таким образом, при $3 < 5$ мы получаем, что $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$. Это и иллюстрирует доказываемое правило.

Ответ: Утверждение доказано. Из двух дробей с равными положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Это происходит потому, что одно и то же количество (числитель) делится на меньшее число частей (знаменатель), в результате чего каждая часть оказывается больше.

4.87. Сравните дроби с числом 1, а затем между собой:

а) $\frac{1}{2}$ и $\frac{6}{5}$;

б) $\frac{6}{7}$ и $\frac{7}{6}$;

в) $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{2}$;

г) $\frac{3}{5}$ и $\frac{7}{3}$;

д) $\frac{17}{13}$ и $\frac{7}{8}$;

е) $\frac{8}{7}$ и $\frac{8}{9}$;

ж) $\frac{78}{77}$ и $\frac{77}{78}$;

з) $\frac{89}{90}$ и $\frac{90}{89}$.

а) Сравним дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{6}{5} $ с числом 1.
Дробь $ \frac{1}{2} $ является правильной, так как ее числитель (1) меньше знаменателя (2), поэтому $ \frac{1}{2} < 1 $.
Дробь $ \frac{6}{5} $ является неправильной, так как ее числитель (6) больше знаменателя (5), поэтому $ \frac{6}{5} > 1 $.
Теперь сравним дроби между собой. Так как $ \frac{1}{2} < 1 $, а $ \frac{6}{5} > 1 $, то $ \frac{1}{2} < \frac{6}{5} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} < 1 $, $ \frac{6}{5} > 1 $, $ \frac{1}{2} < \frac{6}{5} $.

б) Сравним дроби $ \frac{6}{7} $ и $ \frac{7}{6} $ с числом 1.
Дробь $ \frac{6}{7} $ является правильной (6 < 7), поэтому $ \frac{6}{7} < 1 $.
Дробь $ \frac{7}{6} $ является неправильной (7 > 6), поэтому $ \frac{7}{6} > 1 $.
Так как одна дробь меньше 1, а другая больше 1, то $ \frac{6}{7} < \frac{7}{6} $.
Ответ: $ \frac{6}{7} < 1 $, $ \frac{7}{6} > 1 $, $ \frac{6}{7} < \frac{7}{6} $.

в) Сравним дроби $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{5}{2} $ с числом 1.
Дробь $ \frac{2}{5} $ является правильной (2 < 5), поэтому $ \frac{2}{5} < 1 $.
Дробь $ \frac{5}{2} $ является неправильной (5 > 2), поэтому $ \frac{5}{2} > 1 $.
Так как одна дробь меньше 1, а другая больше 1, то $ \frac{2}{5} < \frac{5}{2} $.
Ответ: $ \frac{2}{5} < 1 $, $ \frac{5}{2} > 1 $, $ \frac{2}{5} < \frac{5}{2} $.

г) Сравним дроби $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{7}{3} $ с числом 1.
Дробь $ \frac{3}{5} $ является правильной (3 < 5), поэтому $ \frac{3}{5} < 1 $.
Дробь $ \frac{7}{3} $ является неправильной (7 > 3), поэтому $ \frac{7}{3} > 1 $.
Так как одна дробь меньше 1, а другая больше 1, то $ \frac{3}{5} < \frac{7}{3} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} < 1 $, $ \frac{7}{3} > 1 $, $ \frac{3}{5} < \frac{7}{3} $.

д) Сравним дроби $ \frac{17}{13} $ и $ \frac{7}{8} $ с числом 1.
Дробь $ \frac{17}{13} $ является неправильной (17 > 13), поэтому $ \frac{17}{13} > 1 $.
Дробь $ \frac{7}{8} $ является правильной (7 < 8), поэтому $ \frac{7}{8} < 1 $.
Так как одна дробь больше 1, а другая меньше 1, то $ \frac{17}{13} > \frac{7}{8} $.
Ответ: $ \frac{17}{13} > 1 $, $ \frac{7}{8} < 1 $, $ \frac{17}{13} > \frac{7}{8} $.

е) Сравним дроби $ \frac{8}{7} $ и $ \frac{8}{9} $ с числом 1.
Дробь $ \frac{8}{7} $ является неправильной (8 > 7), поэтому $ \frac{8}{7} > 1 $.
Дробь $ \frac{8}{9} $ является правильной (8 < 9), поэтому $ \frac{8}{9} < 1 $.
Так как одна дробь больше 1, а другая меньше 1, то $ \frac{8}{7} > \frac{8}{9} $. Также можно сравнить дроби с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как 7 < 9, то $ \frac{8}{7} > \frac{8}{9} $.
Ответ: $ \frac{8}{7} > 1 $, $ \frac{8}{9} < 1 $, $ \frac{8}{7} > \frac{8}{9} $.

ж) Сравним дроби $ \frac{78}{77} $ и $ \frac{77}{78} $ с числом 1.
Дробь $ \frac{78}{77} $ является неправильной (78 > 77), поэтому $ \frac{78}{77} > 1 $.
Дробь $ \frac{77}{78} $ является правильной (77 < 78), поэтому $ \frac{77}{78} < 1 $.
Так как одна дробь больше 1, а другая меньше 1, то $ \frac{78}{77} > \frac{77}{78} $.
Ответ: $ \frac{78}{77} > 1 $, $ \frac{77}{78} < 1 $, $ \frac{78}{77} > \frac{77}{78} $.

з) Сравним дроби $ \frac{89}{90} $ и $ \frac{90}{89} $ с числом 1.
Дробь $ \frac{89}{90} $ является правильной (89 < 90), поэтому $ \frac{89}{90} < 1 $.
Дробь $ \frac{90}{89} $ является неправильной (90 > 89), поэтому $ \frac{90}{89} > 1 $.
Так как одна дробь меньше 1, а другая больше 1, то $ \frac{89}{90} < \frac{90}{89} $.
Ответ: $ \frac{89}{90} < 1 $, $ \frac{90}{89} > 1 $, $ \frac{89}{90} < \frac{90}{89} $.

4.88. Сравните дроби с числом $\frac{1}{2}$, а затем между собой:

а) $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{4}$;

б) $\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{6}$;

в) $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{8}$;

г) $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{7}$;

д) $\frac{7}{13}$ и $\frac{8}{17}$;

е) $\frac{8}{17}$ и $\frac{10}{19}$.

Для сравнения дроби $\frac{a}{b}$ с числом $\frac{1}{2}$, мы можем сравнить удвоенный числитель $2a$ со знаменателем $b$.

• Если $2a < b$, то $\frac{a}{b} < \frac{1}{2}$.
• Если $2a > b$, то $\frac{a}{b} > \frac{1}{2}$.
• Если $2a = b$, то $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$.

а) $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{4}$

Сначала сравним каждую дробь с $\frac{1}{2}$.

Для дроби $\frac{1}{3}$: удвоенный числитель $2 \cdot 1 = 2$. Так как $2 < 3$, то $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.

Для дроби $\frac{3}{4}$: удвоенный числитель $2 \cdot 3 = 6$. Так как $6 > 4$, то $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$.

Теперь сравним дроби между собой. Поскольку $\frac{1}{3}$ меньше $\frac{1}{2}$, а $\frac{3}{4}$ больше $\frac{1}{2}$, то $\frac{1}{3} < \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$; $\frac{1}{3} < \frac{3}{4}$.

б) $\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{6}$

Сравним каждую дробь с $\frac{1}{2}$.

Для $\frac{1}{4}$: $2 \cdot 1 = 2$. Так как $2 < 4$, то $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

Для $\frac{5}{6}$: $2 \cdot 5 = 10$. Так как $10 > 6$, то $\frac{5}{6} > \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ и $\frac{5}{6} > \frac{1}{2}$, то $\frac{1}{4} < \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$, $\frac{5}{6} > \frac{1}{2}$; $\frac{1}{4} < \frac{5}{6}$.

в) $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{8}$

Сравним каждую дробь с $\frac{1}{2}$.

Для $\frac{2}{5}$: $2 \cdot 2 = 4$. Так как $4 < 5$, то $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$.

Для $\frac{5}{8}$: $2 \cdot 5 = 10$. Так как $10 > 8$, то $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$ и $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$, то $\frac{2}{5} < \frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$, $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$; $\frac{2}{5} < \frac{5}{8}$.

г) $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{7}$

Сравним каждую дробь с $\frac{1}{2}$.

Для $\frac{4}{5}$: $2 \cdot 4 = 8$. Так как $8 > 5$, то $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$.

Для $\frac{3}{7}$: $2 \cdot 3 = 6$. Так как $6 < 7$, то $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$ и $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$, то $\frac{3}{7} < \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$, $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$; $\frac{3}{7} < \frac{4}{5}$.

д) $\frac{7}{13}$ и $\frac{8}{17}$

Сравним каждую дробь с $\frac{1}{2}$.

Для $\frac{7}{13}$: $2 \cdot 7 = 14$. Так как $14 > 13$, то $\frac{7}{13} > \frac{1}{2}$.

Для $\frac{8}{17}$: $2 \cdot 8 = 16$. Так как $16 < 17$, то $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$ и $\frac{7}{13} > \frac{1}{2}$, то $\frac{8}{17} < \frac{7}{13}$.

Ответ: $\frac{7}{13} > \frac{1}{2}$, $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$; $\frac{8}{17} < \frac{7}{13}$.

е) $\frac{8}{17}$ и $\frac{10}{19}$

Сравним каждую дробь с $\frac{1}{2}$.

Для $\frac{8}{17}$: $2 \cdot 8 = 16$. Так как $16 < 17$, то $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$.

Для $\frac{10}{19}$: $2 \cdot 10 = 20$. Так как $20 > 19$, то $\frac{10}{19} > \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$ и $\frac{10}{19} > \frac{1}{2}$, то $\frac{8}{17} < \frac{10}{19}$.

Ответ: $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$, $\frac{10}{19} > \frac{1}{2}$; $\frac{8}{17} < \frac{10}{19}$.

4.89. В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби, а их «дополнения» до единицы. Например, сравним дроби $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{8}{9} $. Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить $ \frac{1}{8} $, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить меньше: $ \frac{1}{9} $. Следовательно, вторая дробь больше: $ \frac{7}{8} < \frac{8}{9} $.

Сравните дроби:

а) $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{9}{10} $;

б) $ \frac{11}{12} $ и $ \frac{12}{13} $;

в) $ \frac{41}{42} $ и $ \frac{42}{43} $;

г) $ \frac{39}{40} $ и $ \frac{38}{39} $;

д) $ \frac{98}{99} $ и $ \frac{97}{98} $;

е) $ \frac{1995}{1996} $ и $ \frac{1996}{1997} $.

а) Сравним дроби $\frac{8}{9}$ и $\frac{9}{10}$, используя метод дополнения до единицы. Сначала найдем, сколько не хватает каждой дроби до 1. Для первой дроби: $1 - \frac{8}{9} = \frac{9}{9} - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. Для второй дроби: $1 - \frac{9}{10} = \frac{10}{10} - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$. Теперь сравним полученные дополнения: $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{10}$. Из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше, значит $\frac{1}{9} > \frac{1}{10}$. Та дробь будет больше, которой не хватает до единицы меньшее число. Поскольку $\frac{1}{10} < \frac{1}{9}$, то дробь $\frac{9}{10}$ больше, чем $\frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9} < \frac{9}{10}$.

б) Сравним дроби $\frac{11}{12}$ и $\frac{12}{13}$. Найдем дополнения до 1: $1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}$. $1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$. Сравним дополнения: $\frac{1}{12} > \frac{1}{13}$. Поскольку дополнению $\frac{1}{13}$ не хватает до единицы меньше, чем дополнению $\frac{1}{12}$, то дробь $\frac{12}{13}$ больше.
Ответ: $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$.

в) Сравним дроби $\frac{41}{42}$ и $\frac{42}{43}$. Найдем дополнения до 1: $1 - \frac{41}{42} = \frac{1}{42}$. $1 - \frac{42}{43} = \frac{1}{43}$. Сравним дополнения: $\frac{1}{42} > \frac{1}{43}$. Та дробь больше, у которой дополнение до единицы меньше. Следовательно, $\frac{42}{43}$ больше, чем $\frac{41}{42}$.
Ответ: $\frac{41}{42} < \frac{42}{43}$.

г) Сравним дроби $\frac{39}{40}$ и $\frac{38}{39}$. Найдем дополнения до 1: $1 - \frac{39}{40} = \frac{1}{40}$. $1 - \frac{38}{39} = \frac{1}{39}$. Сравним дополнения: $\frac{1}{40} < \frac{1}{39}$. Та дробь больше, у которой дополнение меньше. Поскольку $\frac{1}{40}$ меньше, чем $\frac{1}{39}$, то дробь $\frac{39}{40}$ больше, чем $\frac{38}{39}$.
Ответ: $\frac{39}{40} > \frac{38}{39}$.

д) Сравним дроби $\frac{98}{99}$ и $\frac{97}{98}$. Найдем дополнения до 1: $1 - \frac{98}{99} = \frac{1}{99}$. $1 - \frac{97}{98} = \frac{1}{98}$. Сравним дополнения: $\frac{1}{99} < \frac{1}{98}$. Поскольку дополнению $\frac{1}{99}$ не хватает до единицы меньше, чем дополнению $\frac{1}{98}$, то дробь $\frac{98}{99}$ больше.
Ответ: $\frac{98}{99} > \frac{97}{98}$.

е) Сравним дроби $\frac{1995}{1996}$ и $\frac{1996}{1997}$. Найдем дополнения до 1: $1 - \frac{1995}{1996} = \frac{1}{1996}$. $1 - \frac{1996}{1997} = \frac{1}{1997}$. Сравним дополнения: $\frac{1}{1997} < \frac{1}{1996}$. Та дробь больше, у которой дополнение до единицы меньше. Следовательно, $\frac{1996}{1997}$ больше, чем $\frac{1995}{1996}$.
Ответ: $\frac{1995}{1996} < \frac{1996}{1997}$.

4.90. а) Алёша с папой стреляли в тире. Алёша из 10 выстрелов имел 5 попаданий, а папа из 5 выстрелов имел 3 попадания. Чей результат лучше?

б) Саша и Коля играли в баскетбол. Саша из 10 бросков имел 6 попаданий в кольцо, а Коля из 8 бросков имел 5 попаданий. Чей результат лучше?

а)

Чтобы определить, чей результат лучше, необходимо сравнить эффективность стрельбы каждого. Эффективность можно выразить как отношение числа попаданий к общему числу выстрелов.

Эффективность Алёши: 5 попаданий из 10 выстрелов. В виде дроби это $5/10$. Сократим дробь: $5/10 = 1/2$

Эффективность папы: 3 попадания из 5 выстрелов. В виде дроби это $3/5$.

Теперь сравним две дроби: $1/2$ и $3/5$. Для этого приведем их к общему знаменателю, например, к 10.
Эффективность Алёши: $1/2 = (1 \times 5) / (2 \times 5) = 5/10$.
Эффективность папы: $3/5 = (3 \times 2) / (5 \times 2) = 6/10$.

Сравнивая числители, получаем: $6 > 5$, следовательно, $6/10 > 5/10$.
Это означает, что результат папы лучше.

Ответ: Результат папы лучше.

б)

Аналогично предыдущей задаче, сравним долю попаданий в кольцо у Саши и Коли.

Доля попаданий Саши: 6 попаданий из 10 бросков. Это дробь $6/10$, которую можно сократить до $3/5$.

Доля попаданий Коли: 5 попаданий из 8 бросков. Это дробь $5/8$.

Сравним дроби $3/5$ и $5/8$. Найдем для них общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для 5 и 8 — это 40.
Доля Саши: $3/5 = (3 \times 8) / (5 \times 8) = 24/40$.
Доля Коли: $5/8 = (5 \times 5) / (8 \times 5) = 25/40$.

Сравниваем числители: $25 > 24$, следовательно, $25/40 > 24/40$.
Это означает, что результат Коли лучше.

Ответ: Результат Коли лучше.