Номер 4.86, страница 187 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.86. Докажите, что из двух дробей с равными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Чтобы доказать, что из двух дробей с равными числителями больше та, у которой знаменатель меньше, рассмотрим две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$.

Будем считать, что числитель $a$ и знаменатели $b$ и $c$ — натуральные числа (то есть, положительные целые числа). По условию, числители дробей равны. Предположим, что знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, то есть $b < c$. Нам необходимо доказать, что в этом случае первая дробь больше второй: $\frac{a}{b} > \frac{a}{c}$.

Доказательство

Для того чтобы сравнить две дроби, наиболее удобный способ — привести их к общему знаменателю. В качестве общего знаменателя для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$ можно взять их произведение $b \cdot c$.

1. Приведём дробь $\frac{a}{b}$ к знаменателю $b \cdot c$. Для этого умножим её числитель и знаменатель на дополнительный множитель $c$:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

2. Приведём дробь $\frac{a}{c}$ к тому же знаменателю $b \cdot c$. Для этого умножим её числитель и знаменатель на дополнительный множитель $b$:

$\frac{a}{c} = \frac{a \cdot b}{c \cdot b} = \frac{a \cdot b}{b \cdot c}$

Теперь мы имеем две дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ и $\frac{a \cdot b}{b \cdot c}$.

Согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой больше числитель. Следовательно, нам нужно сравнить числители полученных дробей: $a \cdot c$ и $a \cdot b$.

По нашему начальному условию, $b < c$. Поскольку $a$ — натуральное (то есть положительное) число, мы можем умножить обе части этого неравенства на $a$, и знак неравенства при этом не изменится:

$a \cdot b < a \cdot c$

Это означает, что числитель первой дроби ($a \cdot c$) больше числителя второй дроби ($a \cdot b$). Значит, и сама первая дробь больше второй:

$\frac{a \cdot c}{b \cdot c} > \frac{a \cdot b}{b \cdot c}$

Поскольку $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$ и $\frac{a \cdot b}{b \cdot c} = \frac{a}{c}$, мы можем вернуться к исходным дробям:

$\frac{a}{b} > \frac{a}{c}$

Таким образом, утверждение доказано. Что и требовалось доказать.

Наглядный пример

Представьте, что у вас есть один большой яблочный пирог (это наш числитель, равный 1). Если вы разделите его на 3 равные части (знаменатель 3), каждый кусок будет составлять $\frac{1}{3}$ пирога. Если же вы разделите точно такой же пирог на 5 равных частей (знаменатель 5), то каждый кусок будет равен $\frac{1}{5}$ пирога. Очевидно, что кусок, составляющий треть пирога, будет больше куска, составляющего одну пятую. Таким образом, при $3 < 5$ мы получаем, что $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$. Это и иллюстрирует доказываемое правило.

Ответ: Утверждение доказано. Из двух дробей с равными положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Это происходит потому, что одно и то же количество (числитель) делится на меньшее число частей (знаменатель), в результате чего каждая часть оказывается больше.