Номер 4.91, страница 188 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.91. a) Найдите все дроби со знаменателем 10, которые больше $ \frac{5}{9} $, но меньше $ \frac{7}{9} $.

б) Найдите все дроби со знаменателем 13, которые больше $ \frac{1}{3} $, но меньше $ \frac{2}{3} $.

а) Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{10}$, где $x$ — натуральное число. По условию, эта дробь должна удовлетворять двойному неравенству:
$\frac{5}{9} < \frac{x}{10} < \frac{7}{9}$
Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 10 — это их произведение, то есть 90.
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{50}{90}$
$\frac{x}{10} = \frac{x \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{9x}{90}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{70}{90}$
Теперь неравенство можно переписать в виде:
$\frac{50}{90} < \frac{9x}{90} < \frac{70}{90}$
Так как знаменатели у всех дробей одинаковые, мы можем сравнить их числители:
$50 < 9x < 70$
Чтобы найти возможные значения $x$, разделим все части неравенства на 9:
$\frac{50}{9} < x < \frac{70}{9}$
Преобразуем неправильные дроби в смешанные числа:
$5\frac{5}{9} < x < 7\frac{7}{9}$
Целые числа $x$, которые находятся в этом интервале, — это 6 и 7.
Следовательно, искомые дроби: $\frac{6}{10}$ и $\frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{6}{10}, \frac{7}{10}$.

б) Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{y}{13}$, где $y$ — натуральное число. По условию, эта дробь должна удовлетворять двойному неравенству:
$\frac{1}{3} < \frac{y}{13} < \frac{2}{3}$
Приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 13 — это их произведение, то есть 39.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{13}{39}$
$\frac{y}{13} = \frac{y \cdot 3}{13 \cdot 3} = \frac{3y}{39}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{26}{39}$
Теперь неравенство можно переписать в виде:
$\frac{13}{39} < \frac{3y}{39} < \frac{26}{39}$
Так как знаменатели одинаковы, сравним числители:
$13 < 3y < 26$
Чтобы найти возможные значения $y$, разделим все части неравенства на 3:
$\frac{13}{3} < y < \frac{26}{3}$
Преобразуем неправильные дроби в смешанные числа:
$4\frac{1}{3} < y < 8\frac{2}{3}$
Целые числа $y$, которые находятся в этом интервале, — это 5, 6, 7 и 8.
Следовательно, искомые дроби: $\frac{5}{13}, \frac{6}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}$.
Ответ: $\frac{5}{13}, \frac{6}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}$.