Номер 4.89, страница 187 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.89. В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби, а их «дополнения» до единицы. Например, сравним дроби $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{8}{9} $. Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить $ \frac{1}{8} $, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить меньше: $ \frac{1}{9} $. Следовательно, вторая дробь больше: $ \frac{7}{8} < \frac{8}{9} $.

Сравните дроби:

а) $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{9}{10} $;

б) $ \frac{11}{12} $ и $ \frac{12}{13} $;

в) $ \frac{41}{42} $ и $ \frac{42}{43} $;

г) $ \frac{39}{40} $ и $ \frac{38}{39} $;

д) $ \frac{98}{99} $ и $ \frac{97}{98} $;

е) $ \frac{1995}{1996} $ и $ \frac{1996}{1997} $.

а) Сравним дроби $\frac{8}{9}$ и $\frac{9}{10}$, используя метод дополнения до единицы. Сначала найдем, сколько не хватает каждой дроби до 1. Для первой дроби: $1 - \frac{8}{9} = \frac{9}{9} - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. Для второй дроби: $1 - \frac{9}{10} = \frac{10}{10} - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$. Теперь сравним полученные дополнения: $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{10}$. Из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше, значит $\frac{1}{9} > \frac{1}{10}$. Та дробь будет больше, которой не хватает до единицы меньшее число. Поскольку $\frac{1}{10} < \frac{1}{9}$, то дробь $\frac{9}{10}$ больше, чем $\frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9} < \frac{9}{10}$.

б) Сравним дроби $\frac{11}{12}$ и $\frac{12}{13}$. Найдем дополнения до 1: $1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}$. $1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$. Сравним дополнения: $\frac{1}{12} > \frac{1}{13}$. Поскольку дополнению $\frac{1}{13}$ не хватает до единицы меньше, чем дополнению $\frac{1}{12}$, то дробь $\frac{12}{13}$ больше.
Ответ: $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$.

в) Сравним дроби $\frac{41}{42}$ и $\frac{42}{43}$. Найдем дополнения до 1: $1 - \frac{41}{42} = \frac{1}{42}$. $1 - \frac{42}{43} = \frac{1}{43}$. Сравним дополнения: $\frac{1}{42} > \frac{1}{43}$. Та дробь больше, у которой дополнение до единицы меньше. Следовательно, $\frac{42}{43}$ больше, чем $\frac{41}{42}$.
Ответ: $\frac{41}{42} < \frac{42}{43}$.

г) Сравним дроби $\frac{39}{40}$ и $\frac{38}{39}$. Найдем дополнения до 1: $1 - \frac{39}{40} = \frac{1}{40}$. $1 - \frac{38}{39} = \frac{1}{39}$. Сравним дополнения: $\frac{1}{40} < \frac{1}{39}$. Та дробь больше, у которой дополнение меньше. Поскольку $\frac{1}{40}$ меньше, чем $\frac{1}{39}$, то дробь $\frac{39}{40}$ больше, чем $\frac{38}{39}$.
Ответ: $\frac{39}{40} > \frac{38}{39}$.

д) Сравним дроби $\frac{98}{99}$ и $\frac{97}{98}$. Найдем дополнения до 1: $1 - \frac{98}{99} = \frac{1}{99}$. $1 - \frac{97}{98} = \frac{1}{98}$. Сравним дополнения: $\frac{1}{99} < \frac{1}{98}$. Поскольку дополнению $\frac{1}{99}$ не хватает до единицы меньше, чем дополнению $\frac{1}{98}$, то дробь $\frac{98}{99}$ больше.
Ответ: $\frac{98}{99} > \frac{97}{98}$.

е) Сравним дроби $\frac{1995}{1996}$ и $\frac{1996}{1997}$. Найдем дополнения до 1: $1 - \frac{1995}{1996} = \frac{1}{1996}$. $1 - \frac{1996}{1997} = \frac{1}{1997}$. Сравним дополнения: $\frac{1}{1997} < \frac{1}{1996}$. Та дробь больше, у которой дополнение до единицы меньше. Следовательно, $\frac{1996}{1997}$ больше, чем $\frac{1995}{1996}$.
Ответ: $\frac{1995}{1996} < \frac{1996}{1997}$.