Номер 4.92, страница 188 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.92. a) Найдите все несократимые дроби со знаменателем 60, большие $\frac{1}{3}$, но меньшие $\frac{1}{2}$. Сколько таких дробей?

б) Найдите все несократимые дроби с числителем 60, большие $\frac{1}{3}$, но меньшие $\frac{1}{2}$. Сколько таких дробей?

a)

Пусть искомая дробь имеет вид $ \frac{x}{60} $, где $x$ - целое число. Согласно условию, эта дробь должна удовлетворять неравенству $ \frac{1}{3} < \frac{x}{60} < \frac{1}{2} $.

Приведем все дроби к общему знаменателю 60: $ \frac{1 \cdot 20}{3 \cdot 20} < \frac{x}{60} < \frac{1 \cdot 30}{2 \cdot 30} $, что дает $ \frac{20}{60} < \frac{x}{60} < \frac{30}{60} $. Из этого неравенства следует, что числитель $x$ должен быть целым числом в интервале $ 20 < x < 30 $.

Возможные значения для $x$: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29.

По условию дробь $ \frac{x}{60} $ должна быть несократимой, что означает, что числитель $x$ и знаменатель 60 должны быть взаимно простыми числами, то есть $ \text{НОД}(x, 60) = 1 $. Разложим 60 на простые множители: $ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $. Следовательно, $x$ не должен делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5.

Проверим каждое из возможных значений $x$: числа 21, 24, 27 делятся на 3; числа 22, 24, 26, 28 делятся на 2; число 25 делится на 5. Эти значения не подходят. Остаются числа 23 и 29. Оба они являются простыми, поэтому они взаимно просты с 60.

Таким образом, искомые дроби: $ \frac{23}{60} $ и $ \frac{29}{60} $. Всего таких дробей две.

Ответ: $ \frac{23}{60}, \frac{29}{60} $. Всего 2 дроби.

б)

Пусть искомая дробь имеет вид $ \frac{60}{y} $, где $y$ - натуральное число. Согласно условию, дробь должна удовлетворять неравенству $ \frac{1}{3} < \frac{60}{y} < \frac{1}{2} $.

Это двойное неравенство можно переписать в виде системы из двух неравенств: $ \frac{1}{3} < \frac{60}{y} $ и $ \frac{60}{y} < \frac{1}{2} $. Из первого неравенства получаем $y < 180$. Из второго неравенства получаем $120 < y$. Объединив, получаем, что знаменатель $y$ должен быть целым числом в интервале $ 120 < y < 180 $.

По условию дробь $ \frac{60}{y} $ должна быть несократимой, то есть $ \text{НОД}(60, y) = 1 $. Так как простые делители числа 60 это 2, 3 и 5 ($ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $), то $y$ не должен делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5.

Нам необходимо найти все целые числа в диапазоне от 121 до 179 включительно, которые не делятся на 2, 3 и 5. Выпишем эти числа:

121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179.

Всего таких чисел 16. Это означает, что существует 16 искомых дробей, которые равны $ \frac{60}{y} $ для каждого из найденных значений $y$.

Ответ: $ \frac{60}{121}, \frac{60}{127}, \frac{60}{131}, \frac{60}{133}, \frac{60}{137}, \frac{60}{139}, \frac{60}{143}, \frac{60}{149}, \frac{60}{151}, \frac{60}{157}, \frac{60}{161}, \frac{60}{163}, \frac{60}{167}, \frac{60}{169}, \frac{60}{173}, \frac{60}{179} $. Всего 16 дробей.