Номер 4.79, страница 186 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.79. Сравните:

а) правильную дробь с $1$;

б) неправильную дробь с $1$;

в) правильную дробь с неправильной.

а) правильную дробь с 1;

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Обозначим правильную дробь как $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, и по определению $a < b$.

Число 1 можно представить в виде дроби с любым знаменателем, где числитель равен знаменателю. Представим 1 в виде дроби со знаменателем $b$: $1 = \frac{b}{b}$.

Теперь сравним правильную дробь $\frac{a}{b}$ с 1, то есть с дробью $\frac{b}{b}$. Поскольку у дробей одинаковые положительные знаменатели, для сравнения достаточно сравнить их числители.

Так как по определению правильной дроби $a < b$, то и $\frac{a}{b} < \frac{b}{b}$.

Следовательно, любая правильная дробь меньше 1.

Например, сравним дробь $\frac{3}{5}$ с 1. Это правильная дробь, так как $3 < 5$. Число 1 можно записать как $\frac{5}{5}$. Поскольку $3 < 5$, то $\frac{3}{5} < \frac{5}{5}$, а значит $\frac{3}{5} < 1$.

Ответ: Правильная дробь всегда меньше 1.

б) неправильную дробь с 1;

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Обозначим неправильную дробь как $\frac{c}{d}$, где $c$ и $d$ — натуральные числа, и по определению $c \ge d$.

Представим число 1 в виде дроби со знаменателем $d$: $1 = \frac{d}{d}$.

Сравним неправильную дробь $\frac{c}{d}$ с 1, то есть с дробью $\frac{d}{d}$. Так как знаменатели дробей равны, сравним их числители.

По определению неправильной дроби $c \ge d$, следовательно, $\frac{c}{d} \ge \frac{d}{d}$.

Таким образом, любая неправильная дробь больше или равна 1. Она больше 1, если числитель строго больше знаменателя ($c > d$), и равна 1, если числитель равен знаменателю ($c=d$).

Например, дробь $\frac{8}{5}$ неправильная, так как $8 > 5$. Сравнивая с $1 = \frac{5}{5}$, получаем $\frac{8}{5} > 1$. Дробь $\frac{5}{5}$ также неправильная, и она равна 1.

Ответ: Неправильная дробь всегда больше или равна 1.

в) правильную дробь с неправильной.

Для сравнения правильной и неправильной дробей воспользуемся числом 1 как промежуточным значением и результатами предыдущих пунктов.

Пусть нам дана правильная дробь $\frac{a}{b}$ и неправильная дробь $\frac{c}{d}$.

Из пункта а) мы знаем, что любая правильная дробь меньше 1: $\frac{a}{b} < 1$.

Из пункта б) мы знаем, что любая неправильная дробь больше или равна 1: $\frac{c}{d} \ge 1$.

Из этих двух утверждений можно составить цепочку неравенств: $\frac{a}{b} < 1 \le \frac{c}{d}$.

Из этой цепочки следует, что правильная дробь всегда меньше неправильной дроби: $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

Например, сравним правильную дробь $\frac{2}{9}$ и неправильную дробь $\frac{4}{3}$.

$\frac{2}{9} < 1$, так как $2 < 9$.

$\frac{4}{3} > 1$, так как $4 > 3$.

Следовательно, $\frac{2}{9} < \frac{4}{3}$.

Ответ: Правильная дробь всегда меньше неправильной дроби.