Страница 182 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.65. a) Любые ли две дроби можно привести к общему знаменателю?

б) К какому общему знаменателю лучше всего приводить две дроби?

а) Да, любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Для двух произвольных дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ (где знаменатели $b$ и $d$ не равны нулю) всегда можно найти число, которое делится и на $b$, и на $d$. Такое число называется общим кратным. Самый простой способ найти общее кратное — это перемножить знаменатели: $b \cdot d$. Это произведение всегда будет общим знаменателем для данных дробей. Чтобы привести дроби к этому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель первой дроби на $d$, а второй — на $b$:
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d}$
$\frac{c}{d} = \frac{c \cdot b}{d \cdot b}$
Поскольку эта операция возможна для любых дробей, то любые две дроби можно привести к общему знаменателю.
Ответ: Да, можно.

б) Две дроби лучше всего приводить к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Наименьший общий знаменатель равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей этих дробей. Использование НОЗ делает дальнейшие вычисления (сложение, вычитание, сравнение) проще, так как числители и знаменатель в итоговых дробях получаются наименьшими из возможных. Это уменьшает вероятность ошибок и часто избавляет от необходимости сокращать результат.
Например, для дробей $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{18}$ наименьшим общим знаменателем будет НОК(12, 18) = 36.
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}$
$\frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{14}{36}$
Использование другого общего знаменателя, например произведения $12 \cdot 18 = 216$, привело бы к работе с гораздо большими числами.
Ответ: К наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей этих дробей.

4.66. a) Сколько четвёртых содержится в $\frac{1}{2}$?

б) Сколько двадцатых содержится в $\frac{1}{2}$?

в) Сколько тридцатых содержится в $\frac{1}{3}$?

а) Чтобы найти, сколько четвёртых долей (то есть дробей $ \frac{1}{4} $) содержится в $ \frac{1}{2} $, необходимо разделить $ \frac{1}{2} $ на $ \frac{1}{4} $.

Для этого можно использовать правило деления дробей: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевёрнутую).

$ \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 $

Другой способ — привести дробь $ \frac{1}{2} $ к знаменателю 4. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} $

Дробь $ \frac{2}{4} $ означает, что мы взяли две доли, каждая из которых равна $ \frac{1}{4} $. Таким образом, в $ \frac{1}{2} $ содержится две четвертых.

Ответ: 2.

б) Чтобы найти, сколько двадцатых долей ($ \frac{1}{20} $) содержится в $ \frac{1}{2} $, нужно разделить $ \frac{1}{2} $ на $ \frac{1}{20} $.

Выполним деление, умножив первую дробь на дробь, обратную второй:

$ \frac{1}{2} : \frac{1}{20} = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{1} = \frac{20}{2} = 10 $

Таким образом, в $ \frac{1}{2} $ содержится десять двадцатых.

Ответ: 10.

в) Чтобы найти, сколько тридцатых долей ($ \frac{1}{30} $) содержится в $ \frac{1}{3} $, нужно разделить $ \frac{1}{3} $ на $ \frac{1}{30} $.

Выполним деление, умножив первую дробь на дробь, обратную второй:

$ \frac{1}{3} : \frac{1}{30} = \frac{1}{3} \cdot \frac{30}{1} = \frac{30}{3} = 10 $

Таким образом, в $ \frac{1}{3} $ содержится десять тридцатых.

Ответ: 10.

4.67. Для дроби $\frac{2}{3}$ запишите равную ей дробь со знаменателем:

a) 30;

б) 12;

в) 24;

г) 102.

Чтобы записать дробь, равную данной, с новым знаменателем, нужно найти дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель делят на старый. Затем числитель и знаменатель исходной дроби умножают на этот дополнительный множитель. Исходная дробь — $\frac{2}{3}$.

а)
Требуемый знаменатель — 30. Найдем дополнительный множитель:
$30 \div 3 = 10$
Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 10:
$\frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{20}{30}$
Ответ: $\frac{20}{30}$

б)
Требуемый знаменатель — 12. Найдем дополнительный множитель:
$12 \div 3 = 4$
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 4:
$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
Ответ: $\frac{8}{12}$

в)
Требуемый знаменатель — 24. Найдем дополнительный множитель:
$24 \div 3 = 8$
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 8:
$\frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$
Ответ: $\frac{16}{24}$

г)
Требуемый знаменатель — 102. Найдем дополнительный множитель:
$102 \div 3 = 34$
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 34:
$\frac{2 \cdot 34}{3 \cdot 34} = \frac{68}{102}$
Ответ: $\frac{68}{102}$

4.68. Замените следующие дроби равными им дробями со знаменателем 12:

а) $\frac{1}{2}$;

б) $\frac{1}{3}$;

в) $\frac{2}{3}$;

г) $\frac{3}{4}$;

д) $\frac{5}{6}$;

е) $\frac{3}{2}$.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель (12) делят на знаменатель исходной дроби. Затем на этот дополнительный множитель умножают и числитель, и знаменатель исходной дроби.

а) Для дроби $\frac{1}{2}$ найдем дополнительный множитель: $12 \div 2 = 6$.
Умножим числитель и знаменатель на 6:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12}$.
Ответ: $\frac{6}{12}$

б) Для дроби $\frac{1}{3}$ найдем дополнительный множитель: $12 \div 3 = 4$.
Умножим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$.
Ответ: $\frac{4}{12}$

в) Для дроби $\frac{2}{3}$ найдем дополнительный множитель: $12 \div 3 = 4$.
Умножим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$.
Ответ: $\frac{8}{12}$

г) Для дроби $\frac{3}{4}$ найдем дополнительный множитель: $12 \div 4 = 3$.
Умножим числитель и знаменатель на 3:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$.
Ответ: $\frac{9}{12}$

д) Для дроби $\frac{5}{6}$ найдем дополнительный множитель: $12 \div 6 = 2$.
Умножим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$.
Ответ: $\frac{10}{12}$

е) Для дроби $\frac{3}{2}$ найдем дополнительный множитель: $12 \div 2 = 6$.
Умножим числитель и знаменатель на 6:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 6}{2 \times 6} = \frac{18}{12}$.
Ответ: $\frac{18}{12}$

4.69. Дроби $ \frac{1}{2} $, $ \frac{3}{4} $, $ \frac{5}{8} $, $ \frac{7}{12} $ приведите к знаменателю 24.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно найти дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель (24) делят на старый знаменатель. Затем и числитель, и знаменатель исходной дроби умножают на этот дополнительный множитель.

Для дроби $\frac{1}{2}$
Найдем дополнительный множитель: $24 \div 2 = 12$.
Умножим числитель и знаменатель дроби на 12:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 12}{2 \times 12} = \frac{12}{24}$.
Ответ: $\frac{12}{24}$.

Для дроби $\frac{3}{4}$
Найдем дополнительный множитель: $24 \div 4 = 6$.
Умножим числитель и знаменатель дроби на 6:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 6}{4 \times 6} = \frac{18}{24}$.
Ответ: $\frac{18}{24}$.

Для дроби $\frac{5}{8}$
Найдем дополнительный множитель: $24 \div 8 = 3$.
Умножим числитель и знаменатель дроби на 3:
$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24}$.
Ответ: $\frac{15}{24}$.

Для дроби $\frac{7}{12}$
Найдем дополнительный множитель: $24 \div 12 = 2$.
Умножим числитель и знаменатель дроби на 2:
$\frac{7}{12} = \frac{7 \times 2}{12 \times 2} = \frac{14}{24}$.
Ответ: $\frac{14}{24}$.