Страница 177 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Определите, сократима ли дробь (4.45–4.46):

4.45. а) $\frac{30}{40}$; б) $\frac{15}{70}$; в) $\frac{125}{335}$; г) $\frac{124}{240}$; д) $\frac{254}{628}$.

Дробь является сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Для определения сократимости дроби можно использовать признаки делимости чисел или найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.

а)

Рассмотрим дробь $\frac{30}{40}$.

Числитель 30 и знаменатель 40 оканчиваются на 0, следовательно, оба числа делятся на 10. Так как у них есть общий делитель 10, который больше 1, дробь является сократимой.

$\frac{30}{40} = \frac{30 \div 10}{40 \div 10} = \frac{3}{4}$

Ответ: Да, сократима.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{15}{70}$.

Числитель 15 оканчивается на 5, значит, он делится на 5. Знаменатель 70 оканчивается на 0, значит, он также делится на 5. Поскольку числитель и знаменатель имеют общий делитель 5, дробь является сократимой.

$\frac{15}{70} = \frac{15 \div 5}{70 \div 5} = \frac{3}{14}$

Ответ: Да, сократима.

в)

Рассмотрим дробь $\frac{125}{335}$.

Числитель 125 оканчивается на 5, поэтому он делится на 5. Знаменатель 335 также оканчивается на 5, следовательно, он тоже делится на 5. Наличие общего делителя 5 означает, что дробь является сократимой.

$\frac{125}{335} = \frac{125 \div 5}{335 \div 5} = \frac{25}{67}$

Ответ: Да, сократима.

г)

Рассмотрим дробь $\frac{124}{240}$.

Числитель 124 и знаменатель 240 являются четными числами (оканчиваются на 4 и 0 соответственно). Оба числа делятся на 2, поэтому дробь сократима. Также можно заметить, что оба числа делятся на 4 (признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4. $24 \div 4 = 6$, $40 \div 4 = 10$).

$\frac{124}{240} = \frac{124 \div 4}{240 \div 4} = \frac{31}{60}$

Ответ: Да, сократима.

д)

Рассмотрим дробь $\frac{254}{628}$.

Числитель 254 (оканчивается на 4) и знаменатель 628 (оканчивается на 8) — оба являются четными числами. Следовательно, они оба делятся на 2. Так как у них есть общий делитель 2, дробь является сократимой.

$\frac{254}{628} = \frac{254 \div 2}{628 \div 2} = \frac{127}{314}$

Ответ: Да, сократима.

4.46 а) $\frac{12}{27}$;

б) $\frac{123}{402}$;

в) $\frac{54}{801}$;

г) $\frac{23}{29}$;

д) $\frac{45}{46}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{12}{27}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя 12 и знаменателя 27.

Разложим числа на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Общим множителем является 3. Следовательно, НОД(12, 27) = 3. Разделим числитель и знаменатель дроби на 3:

$\frac{12}{27} = \frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{123}{402}$, найдем НОД для 123 и 402.

Проверим делимость на 3, используя признак делимости (если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3):
Для числа 123: $1+2+3=6$. 6 делится на 3.
Для числа 402: $4+0+2=6$. 6 делится на 3.
Оба числа делятся на 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$123 \div 3 = 41$
$402 \div 3 = 134$

Получаем дробь $\frac{41}{134}$. Число 41 является простым. Проверим, делится ли 134 на 41. Так как $134 = 2 \cdot 67$, оно не делится на 41. Значит, дробь $\frac{41}{134}$ несократима.

$\frac{123}{402} = \frac{123 \div 3}{402 \div 3} = \frac{41}{134}$

Ответ: $\frac{41}{134}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{54}{801}$, найдем НОД для 54 и 801.

Проверим делимость на 9, используя признак делимости (если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9):
Для числа 54: $5+4=9$. 9 делится на 9.
Для числа 801: $8+0+1=9$. 9 делится на 9.
Оба числа делятся на 9. Разделим числитель и знаменатель на 9:

$54 \div 9 = 6$
$801 \div 9 = 89$

Получаем дробь $\frac{6}{89}$. Число 89 является простым, а 6 на 89 не делится. Следовательно, дробь несократима.

$\frac{54}{801} = \frac{54 \div 9}{801 \div 9} = \frac{6}{89}$

Ответ: $\frac{6}{89}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{23}{29}$.

Числитель 23 — это простое число (делится только на 1 и на себя).
Знаменатель 29 — это также простое число.

Поскольку у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1, данная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{23}{29}$

д) Рассмотрим дробь $\frac{45}{46}$.

Числитель 45 и знаменатель 46 являются последовательными натуральными числами.

Два последовательных натуральных числа всегда являются взаимно простыми, то есть их наибольший общий делитель равен 1. Поэтому данная дробь несократима.

Ответ: $\frac{45}{46}$

4.47. Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби, затем сократите дробь:

а) $ \frac{15}{35} $;

б) $ \frac{48}{64} $;

в) $ \frac{60}{80} $;

г) $ \frac{44}{66} $;

д) $ \frac{34}{51} $.

а) $\frac{15}{35}$

Сначала найдем все делители числителя (15) и знаменателя (35).
Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Делители числа 35: 1, 5, 7, 35.
Общие делители чисел 15 и 35: 1, 5.
Наибольший общий делитель (НОД) — это самый большой из общих делителей.
НОД(15, 35) = 5.
Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД:
$\frac{15}{35} = \frac{15 \div 5}{35 \div 5} = \frac{3}{7}$.
Ответ: общие делители: 1, 5; НОД: 5; сокращенная дробь: $\frac{3}{7}$.

б) $\frac{48}{64}$

Найдем все делители числителя (48) и знаменателя (64).
Делители числа 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Делители числа 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.
Общие делители чисел 48 и 64: 1, 2, 4, 8, 16.
Наибольший общий делитель (НОД):
НОД(48, 64) = 16.
Сократим дробь:
$\frac{48}{64} = \frac{48 \div 16}{64 \div 16} = \frac{3}{4}$.
Ответ: общие делители: 1, 2, 4, 8, 16; НОД: 16; сокращенная дробь: $\frac{3}{4}$.

в) $\frac{60}{80}$

Найдем все делители числителя (60) и знаменателя (80).
Делители числа 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Делители числа 80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80.
Общие делители чисел 60 и 80: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Наибольший общий делитель (НОД):
НОД(60, 80) = 20.
Сократим дробь:
$\frac{60}{80} = \frac{60 \div 20}{80 \div 20} = \frac{3}{4}$.
Ответ: общие делители: 1, 2, 4, 5, 10, 20; НОД: 20; сокращенная дробь: $\frac{3}{4}$.

г) $\frac{44}{66}$

Найдем все делители числителя (44) и знаменателя (66).
Делители числа 44: 1, 2, 4, 11, 22, 44.
Делители числа 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66.
Общие делители чисел 44 и 66: 1, 2, 11, 22.
Наибольший общий делитель (НОД):
НОД(44, 66) = 22.
Сократим дробь:
$\frac{44}{66} = \frac{44 \div 22}{66 \div 22} = \frac{2}{3}$.
Ответ: общие делители: 1, 2, 11, 22; НОД: 22; сокращенная дробь: $\frac{2}{3}$.

д) $\frac{34}{51}$

Найдем все делители числителя (34) и знаменателя (51).
Делители числа 34: 1, 2, 17, 34.
Делители числа 51: 1, 3, 17, 51.
Общие делители чисел 34 и 51: 1, 17.
Наибольший общий делитель (НОД):
НОД(34, 51) = 17.
Сократим дробь:
$\frac{34}{51} = \frac{34 \div 17}{51 \div 17} = \frac{2}{3}$.
Ответ: общие делители: 1, 17; НОД: 17; сокращенная дробь: $\frac{2}{3}$.

4.48. Сократите дробь:

а) $\frac{54}{72}$;

б) $\frac{56}{68}$;

в) $\frac{18}{64}$;

г) $\frac{81}{54}$;

д) $\frac{24}{36}$;

е) $\frac{56}{49}$;

ж) $\frac{50}{75}$;

з) $\frac{48}{64}$;

и) $\frac{56}{168}$;

к) $\frac{18}{54}$;

л) $\frac{49}{98}$;

м) $\frac{17}{51}$;

н) $\frac{16}{48}$;

о) $\frac{25}{125}$;

п) $\frac{15}{75}$.

Для сокращения дроби необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя, а затем разделить числитель и знаменатель на этот НОД.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{54}{72}$, найдем НОД для 54 и 72. НОД(54, 72) = 18. Делим числитель и знаменатель на 18:
$\frac{54}{72} = \frac{54 \div 18}{72 \div 18} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{56}{68}$, найдем НОД для 56 и 68. НОД(56, 68) = 4. Делим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{56}{68} = \frac{56 \div 4}{68 \div 4} = \frac{14}{17}$
Ответ: $\frac{14}{17}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{18}{64}$, найдем НОД для 18 и 64. НОД(18, 64) = 2. Делим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{18}{64} = \frac{18 \div 2}{64 \div 2} = \frac{9}{32}$
Ответ: $\frac{9}{32}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{81}{54}$, найдем НОД для 81 и 54. НОД(81, 54) = 27. Делим числитель и знаменатель на 27:
$\frac{81}{54} = \frac{81 \div 27}{54 \div 27} = \frac{3}{2}$
Ответ: $\frac{3}{2}$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{24}{36}$, найдем НОД для 24 и 36. НОД(24, 36) = 12. Делим числитель и знаменатель на 12:
$\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

е) Чтобы сократить дробь $\frac{56}{49}$, найдем НОД для 56 и 49. НОД(56, 49) = 7. Делим числитель и знаменатель на 7:
$\frac{56}{49} = \frac{56 \div 7}{49 \div 7} = \frac{8}{7}$
Ответ: $\frac{8}{7}$

ж) Чтобы сократить дробь $\frac{50}{75}$, найдем НОД для 50 и 75. НОД(50, 75) = 25. Делим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{50}{75} = \frac{50 \div 25}{75 \div 25} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

з) Чтобы сократить дробь $\frac{48}{64}$, найдем НОД для 48 и 64. НОД(48, 64) = 16. Делим числитель и знаменатель на 16:
$\frac{48}{64} = \frac{48 \div 16}{64 \div 16} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

и) Чтобы сократить дробь $\frac{56}{168}$, найдем НОД для 56 и 168. НОД(56, 168) = 56. Делим числитель и знаменатель на 56:
$\frac{56}{168} = \frac{56 \div 56}{168 \div 56} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

к) Чтобы сократить дробь $\frac{18}{54}$, найдем НОД для 18 и 54. НОД(18, 54) = 18. Делим числитель и знаменатель на 18:
$\frac{18}{54} = \frac{18 \div 18}{54 \div 18} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

л) Чтобы сократить дробь $\frac{49}{98}$, найдем НОД для 49 и 98. НОД(49, 98) = 49. Делим числитель и знаменатель на 49:
$\frac{49}{98} = \frac{49 \div 49}{98 \div 49} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

м) Чтобы сократить дробь $\frac{17}{51}$, найдем НОД для 17 и 51. НОД(17, 51) = 17. Делим числитель и знаменатель на 17:
$\frac{17}{51} = \frac{17 \div 17}{51 \div 17} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

н) Чтобы сократить дробь $\frac{16}{48}$, найдем НОД для 16 и 48. НОД(16, 48) = 16. Делим числитель и знаменатель на 16:
$\frac{16}{48} = \frac{16 \div 16}{48 \div 16} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

о) Чтобы сократить дробь $\frac{25}{125}$, найдем НОД для 25 и 125. НОД(25, 125) = 25. Делим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{25}{125} = \frac{25 \div 25}{125 \div 25} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$

п) Чтобы сократить дробь $\frac{15}{75}$, найдем НОД для 15 и 75. НОД(15, 75) = 15. Делим числитель и знаменатель на 15:
$\frac{15}{75} = \frac{15 \div 15}{75 \div 15} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$