Страница 176 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.39. Сократите дроби по образцу:

а) $\frac{24}{36} = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 18} = \frac{2 \cdot \cancel{6}}{3 \cdot \cancel{6}} = \frac{2}{3}$, короче: $\frac{\overset{2}{\cancel{24}}}{\underset{3}{\cancel{36}}} = \frac{2}{3}$

б) $\frac{4}{8}$, $\frac{9}{36}$, $\frac{7}{28}$, $\frac{5}{35}$

в) $\frac{2}{8}$, $\frac{8}{24}$, $\frac{12}{28}$, $\frac{45}{100}$

г) $\frac{25}{35}$, $\frac{45}{54}$, $\frac{8}{400}$, $\frac{32}{256}$

д) $\frac{12}{18}$, $\frac{18}{20}$, $\frac{20}{24}$, $\frac{24}{30}$

е) $\frac{56}{49}$, $\frac{40}{32}$, $\frac{48}{36}$, $\frac{28}{21}$

ж) $\frac{21}{56}$, $\frac{144}{120}$, $\frac{156}{128}$, $\frac{396}{240}$

б)

Для сокращения дроби необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и разделить их на него.

$\frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2}$

$\frac{9}{36} = \frac{9 \div 9}{36 \div 9} = \frac{1}{4}$

$\frac{7}{28} = \frac{7 \div 7}{28 \div 7} = \frac{1}{4}$

$\frac{5}{35} = \frac{5 \div 5}{35 \div 5} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{7}$.

в)

$\frac{2}{8} = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4}$

$\frac{8}{24} = \frac{8 \div 8}{24 \div 8} = \frac{1}{3}$

$\frac{12}{28} = \frac{12 \div 4}{28 \div 4} = \frac{3}{7}$

$\frac{45}{100} = \frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20}$

Ответ: $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{3}{7}$; $\frac{9}{20}$.

г)

$\frac{25}{35} = \frac{25 \div 5}{35 \div 5} = \frac{5}{7}$

$\frac{45}{54} = \frac{45 \div 9}{54 \div 9} = \frac{5}{6}$

$\frac{8}{400} = \frac{8 \div 8}{400 \div 8} = \frac{1}{50}$

$\frac{32}{256} = \frac{32 \div 32}{256 \div 32} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{5}{7}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{1}{50}$; $\frac{1}{8}$.

д)

$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

$\frac{18}{20} = \frac{18 \div 2}{20 \div 2} = \frac{9}{10}$

$\frac{20}{24} = \frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6}$

$\frac{24}{30} = \frac{24 \div 6}{30 \div 6} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{2}{3}$; $\frac{9}{10}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{4}{5}$.

е)

$\frac{56}{49} = \frac{56 \div 7}{49 \div 7} = \frac{8}{7}$

$\frac{40}{32} = \frac{40 \div 8}{32 \div 8} = \frac{5}{4}$

$\frac{48}{36} = \frac{48 \div 12}{36 \div 12} = \frac{4}{3}$

$\frac{28}{21} = \frac{28 \div 7}{21 \div 7} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{8}{7}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{4}{3}$.

ж)

$\frac{21}{56} = \frac{21 \div 7}{56 \div 7} = \frac{3}{8}$

$\frac{144}{120} = \frac{144 \div 24}{120 \div 24} = \frac{6}{5}$

$\frac{156}{128} = \frac{156 \div 4}{128 \div 4} = \frac{39}{32}$

$\frac{396}{240} = \frac{396 \div 12}{240 \div 12} = \frac{33}{20}$

Ответ: $\frac{3}{8}$; $\frac{6}{5}$; $\frac{39}{32}$; $\frac{33}{20}$.

4.40. Запишите натуральные числа 1, 2, 5 в виде дроби со знаменателем:

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 10;

д) 100.

Чтобы представить любое натуральное число в виде дроби с заданным знаменателем, нужно это число умножить на требуемый знаменатель, а результат записать в числитель новой дроби. Знаменатель останется тем, который был задан в условии. Другими словами, для натурального числа $N$ и знаменателя $d$ соответствующая дробь будет равна $\frac{N \cdot d}{d}$.

а) Запишем числа 1, 2 и 5 в виде дроби со знаменателем 1.

Для числа 1: $1 = \frac{1 \cdot 1}{1} = \frac{1}{1}$

Для числа 2: $2 = \frac{2 \cdot 1}{1} = \frac{2}{1}$

Для числа 5: $5 = \frac{5 \cdot 1}{1} = \frac{5}{1}$

Ответ: $1 = \frac{1}{1}; 2 = \frac{2}{1}; 5 = \frac{5}{1}.$

б) Запишем числа 1, 2 и 5 в виде дроби со знаменателем 2.

Для числа 1: $1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = \frac{2}{2}$

Для числа 2: $2 = \frac{2 \cdot 2}{2} = \frac{4}{2}$

Для числа 5: $5 = \frac{5 \cdot 2}{2} = \frac{10}{2}$

Ответ: $1 = \frac{2}{2}; 2 = \frac{4}{2}; 5 = \frac{10}{2}.$

в) Запишем числа 1, 2 и 5 в виде дроби со знаменателем 3.

Для числа 1: $1 = \frac{1 \cdot 3}{3} = \frac{3}{3}$

Для числа 2: $2 = \frac{2 \cdot 3}{3} = \frac{6}{3}$

Для числа 5: $5 = \frac{5 \cdot 3}{3} = \frac{15}{3}$

Ответ: $1 = \frac{3}{3}; 2 = \frac{6}{3}; 5 = \frac{15}{3}.$

г) Запишем числа 1, 2 и 5 в виде дроби со знаменателем 10.

Для числа 1: $1 = \frac{1 \cdot 10}{10} = \frac{10}{10}$

Для числа 2: $2 = \frac{2 \cdot 10}{10} = \frac{20}{10}$

Для числа 5: $5 = \frac{5 \cdot 10}{10} = \frac{50}{10}$

Ответ: $1 = \frac{10}{10}; 2 = \frac{20}{10}; 5 = \frac{50}{10}.$

д) Запишем числа 1, 2 и 5 в виде дроби со знаменателем 100.

Для числа 1: $1 = \frac{1 \cdot 100}{100} = \frac{100}{100}$

Для числа 2: $2 = \frac{2 \cdot 100}{100} = \frac{200}{100}$

Для числа 5: $5 = \frac{5 \cdot 100}{100} = \frac{500}{100}$

Ответ: $1 = \frac{100}{100}; 2 = \frac{200}{100}; 5 = \frac{500}{100}.$

4.41. Замените букву $x$ числом так, чтобы равенство стало верным:

а) $\frac{18}{27} = \frac{x}{3}$;

б) $\frac{5}{7} = \frac{60}{x}$;

в) $\frac{x}{6} = \frac{20}{24}$;

г) $\frac{49}{x} = \frac{7}{8}$.

а) Дано равенство $\frac{18}{27} = \frac{x}{3}$.

Чтобы найти неизвестный член пропорции, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

$18 \cdot 3 = 27 \cdot x$

$54 = 27x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{54}{27}$

$x = 2$

Ответ: 2

б) Дано равенство $\frac{5}{7} = \frac{60}{x}$.

Применим основное свойство пропорции:

$5 \cdot x = 7 \cdot 60$

$5x = 420$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{420}{5}$

$x = 84$

Ответ: 84

в) Дано равенство $\frac{x}{6} = \frac{20}{24}$.

Можно сначала сократить дробь в правой части равенства:

$\frac{20}{24} = \frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6}$

Теперь равенство выглядит так: $\frac{x}{6} = \frac{5}{6}$.

Поскольку знаменатели дробей равны, для верности равенства должны быть равны и числители, следовательно, $x=5$.

Или, используя основное свойство пропорции для исходного равенства:

$x \cdot 24 = 6 \cdot 20$

$24x = 120$

$x = \frac{120}{24}$

$x = 5$

Ответ: 5

г) Дано равенство $\frac{49}{x} = \frac{7}{8}$.

По основному свойству пропорции:

$49 \cdot 8 = x \cdot 7$

$392 = 7x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{392}{7}$

$x = 56$

Ответ: 56

4.42. а) Найдите дробь со знаменателем 18, равную дроби $ \frac{2}{3} $.

б) Найдите дробь с числителем 7, равную дроби $ \frac{1}{9} $.

в) Можно ли найти дробь, числитель которой натуральное число, а знаменатель 121, равную дроби $ \frac{5}{11} $?

г) Можно ли найти дробь, знаменатель которой натуральное число, а числитель 144, равную дроби $ \frac{35}{48} $?

а) Чтобы найти дробь со знаменателем 18, равную дроби $\frac{2}{3}$, нужно привести дробь $\frac{2}{3}$ к новому знаменателю. Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{18}$. Тогда должно выполняться равенство:
$\frac{x}{18} = \frac{2}{3}$
Чтобы найти числитель $x$, воспользуемся основным свойством дроби. Найдем, во сколько раз новый знаменатель (18) больше старого (3):
$18 \div 3 = 6$
Значит, и числитель нужно умножить на этот же множитель, то есть на 6:
$x = 2 \cdot 6 = 12$
Таким образом, искомая дробь — $\frac{12}{18}$.
Ответ: $\frac{12}{18}$

б) Чтобы найти дробь с числителем 7, равную дроби $\frac{1}{9}$, нужно привести дробь $\frac{1}{9}$ к новому числителю. Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{7}{y}$. Тогда должно выполняться равенство:
$\frac{7}{y} = \frac{1}{9}$
Найдем, во сколько раз новый числитель (7) больше старого (1):
$7 \div 1 = 7$
Значит, и знаменатель нужно умножить на 7:
$y = 9 \cdot 7 = 63$
Таким образом, искомая дробь — $\frac{7}{63}$.
Ответ: $\frac{7}{63}$

в) Нужно определить, можно ли найти дробь, числитель которой — натуральное число, а знаменатель — 121, равную дроби $\frac{5}{11}$.
Пусть искомый числитель равен $x$. Составим уравнение:
$\frac{x}{121} = \frac{5}{11}$
Чтобы найти $x$, приведем дробь $\frac{5}{11}$ к знаменателю 121. Для этого найдем дополнительный множитель:
$121 \div 11 = 11$
Умножим числитель дроби $\frac{5}{11}$ на 11:
$x = 5 \cdot 11 = 55$
Поскольку $x = 55$ является натуральным числом, то такую дробь найти можно. Это дробь $\frac{55}{121}$.
Ответ: Да, можно.

г) Нужно определить, можно ли найти дробь, знаменатель которой — натуральное число, а числитель — 144, равную дроби $\frac{35}{48}$.
Пусть искомый знаменатель равен $y$. Составим уравнение:
$\frac{144}{y} = \frac{35}{48}$
Из этого равенства, используя основное свойство пропорции, можно выразить $y$:
$144 \cdot 48 = 35 \cdot y$
$y = \frac{144 \cdot 48}{35}$
Чтобы $y$ было натуральным числом, произведение $144 \cdot 48$ должно делиться нацело на 35. Разложим знаменатель 35 на простые множители: $35 = 5 \cdot 7$. Проверим, делится ли числитель $144 \cdot 48$ на 5 и на 7.
Число 144 не делится на 5 (так как не оканчивается на 0 или 5). Число 48 не делится на 5. Следовательно, произведение $144 \cdot 48$ не делится на 5.
Так как числитель не делится на 5, то он не может делиться и на 35. Значит, $y$ не является целым числом, а следовательно, и не натуральным.
Ответ: Нет, нельзя.

4.43. Сократите дробь:

а) $\frac{75}{100}$; б) $\frac{42}{63}$; в) $\frac{56}{60}$; г) $\frac{81}{420}$; д) $\frac{72}{24}$;

е) $\frac{75}{25}$; ж) $\frac{35}{42}$; з) $\frac{36}{32}$; и) $\frac{42}{49}$; к) $\frac{32}{60}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{75}{100}$, нужно разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Для чисел 75 и 100 НОД равен 25. Выполним деление: $\frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$. Ответ: $\frac{3}{4}$

б) Для дроби $\frac{42}{63}$ найдем НОД чисел 42 и 63. Оба числа делятся на 21. Разделим числитель и знаменатель на 21: $\frac{42}{63} = \frac{42 \div 21}{63 \div 21} = \frac{2}{3}$. Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Для дроби $\frac{56}{60}$ НОД числителя 56 и знаменателя 60 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $\frac{56}{60} = \frac{56 \div 4}{60 \div 4} = \frac{14}{15}$. Ответ: $\frac{14}{15}$

г) Для дроби $\frac{81}{420}$ найдем НОД чисел 81 и 420. Сумма цифр числа 81 ($8+1=9$) делится на 3, и сумма цифр числа 420 ($4+2+0=6$) делится на 3, значит оба числа делятся на 3. Это их НОД. Разделим числитель и знаменатель на 3: $\frac{81}{420} = \frac{81 \div 3}{420 \div 3} = \frac{27}{140}$. Ответ: $\frac{27}{140}$

д) В дроби $\frac{72}{24}$ числитель 72 делится нацело на знаменатель 24. $72 \div 24 = 3$. Таким образом, сокращаем дробь на 24: $\frac{72}{24} = \frac{72 \div 24}{24 \div 24} = \frac{3}{1} = 3$. Ответ: $3$

е) В дроби $\frac{75}{25}$ числитель 75 делится нацело на знаменатель 25. $75 \div 25 = 3$. Сокращаем дробь на 25: $\frac{75}{25} = \frac{75 \div 25}{25 \div 25} = \frac{3}{1} = 3$. Ответ: $3$

ж) Для дроби $\frac{35}{42}$ НОД числителя 35 и знаменателя 42 равен 7. Разделим числитель и знаменатель на 7: $\frac{35}{42} = \frac{35 \div 7}{42 \div 7} = \frac{5}{6}$. Ответ: $\frac{5}{6}$

з) Для дроби $\frac{36}{32}$ НОД числителя 36 и знаменателя 32 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $\frac{36}{32} = \frac{36 \div 4}{32 \div 4} = \frac{9}{8}$. Ответ: $\frac{9}{8}$

и) Для дроби $\frac{42}{49}$ НОД числителя 42 и знаменателя 49 равен 7. Разделим числитель и знаменатель на 7: $\frac{42}{49} = \frac{42 \div 7}{49 \div 7} = \frac{6}{7}$. Ответ: $\frac{6}{7}$

к) Для дроби $\frac{32}{60}$ НОД числителя 32 и знаменателя 60 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $\frac{32}{60} = \frac{32 \div 4}{60 \div 4} = \frac{8}{15}$. Ответ: $\frac{8}{15}$

4.44. Найдите несократимую дробь, равную дроби:

а) $\frac{25}{100}$;

б) $\frac{48}{56}$;

в) $\frac{75}{125}$;

г) $\frac{108}{144}$;

д) $\frac{600}{720}$;

е) $\frac{100}{1000}$;

ж) $\frac{350}{1000}$;

з) $\frac{250}{1000}$;

и) $\frac{320}{6400}$;

к) $\frac{800}{1000}$.

а) Чтобы найти несократимую дробь, равную дроби $\frac{25}{100}$, нужно разделить её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Наибольший общий делитель для 25 и 100 равен 25.
$\frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Чтобы найти несократимую дробь, равную дроби $\frac{48}{56}$, найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Разложим числа 48 и 56 на простые множители:
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
$56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
НОД(48, 56) = $2^3 = 8$.
Теперь разделим числитель и знаменатель на 8:
$\frac{48}{56} = \frac{48 \div 8}{56 \div 8} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

в) Сократим дробь $\frac{75}{125}$. Наибольший общий делитель для 75 и 125 равен 25, так как $75 = 3 \cdot 25$ и $125 = 5 \cdot 25$.
Разделим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{75}{125} = \frac{75 \div 25}{125 \div 25} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

г) Сократим дробь $\frac{108}{144}$. Найдем НОД для 108 и 144.
$108 = 2^2 \cdot 3^3$
$144 = 2^4 \cdot 3^2$
НОД(108, 144) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Разделим числитель и знаменатель на 36:
$\frac{108}{144} = \frac{108 \div 36}{144 \div 36} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

д) Сократим дробь $\frac{600}{720}$. Сначала можно разделить числитель и знаменатель на 10: $\frac{60}{72}$.
Теперь найдем НОД для 60 и 72. Оба числа делятся на 12 ($60 = 5 \cdot 12$, $72 = 6 \cdot 12$).
Разделим числитель и знаменатель на 12:
$\frac{60}{72} = \frac{60 \div 12}{72 \div 12} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

е) Сократим дробь $\frac{100}{1000}$. Наибольший общий делитель для 100 и 1000 равен 100.
Разделим числитель и знаменатель на 100:
$\frac{100}{1000} = \frac{100 \div 100}{1000 \div 100} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

ж) Сократим дробь $\frac{350}{1000}$. Сначала разделим на 10: $\frac{35}{100}$.
Теперь найдем НОД для 35 и 100. $35 = 5 \cdot 7$, $100 = 20 \cdot 5$. НОД(35, 100) = 5.
Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{35}{100} = \frac{35 \div 5}{100 \div 5} = \frac{7}{20}$.
Ответ: $\frac{7}{20}$.

з) Сократим дробь $\frac{250}{1000}$. Сначала разделим на 10: $\frac{25}{100}$.
НОД(25, 100) = 25.
Разделим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

и) Сократим дробь $\frac{320}{6400}$. Сначала разделим на 10: $\frac{32}{640}$.
Заметим, что $640 = 20 \cdot 32$, поэтому НОД(32, 640) = 32.
Разделим числитель и знаменатель на 32:
$\frac{32}{640} = \frac{32 \div 32}{640 \div 32} = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$.

к) Сократим дробь $\frac{800}{1000}$. Сначала разделим на 100: $\frac{8}{10}$.
Теперь сократим дробь $\frac{8}{10}$, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.