Страница 191 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.105. Сложите дроби:

а) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$;

б) $\frac{1}{2} + \frac{1}{5}$;

в) $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$;

г) $\frac{1}{4} + \frac{1}{5}$;

д) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$;

е) $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$;

ж) $\frac{1}{2} + \frac{1}{6}$;

з) $\frac{1}{4} + \frac{1}{8}$.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ наименьшим общим знаменателем будет 6, так как это наименьшее общее кратное чисел 2 и 3. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 2:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

б) Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{5}$. Наименьшее общее кратное для 2 и 5 — это 10. Приведем дроби к знаменателю 10:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5+2}{10} = \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{10}$

в) Для сложения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$ найдем их общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для 3 и 4 — это 12.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{7}{12}$

г) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{5}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 — это 20.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{5+4}{20} = \frac{9}{20}$.
Ответ: $\frac{9}{20}$

д) Для сложения дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$ найдем общий знаменатель. Заметим, что 4 делится на 2, поэтому наименьший общий знаменатель — 4. Приведем первую дробь к знаменателю 4:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

е) Общим знаменателем для дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{6}$ является 6, так как 6 делится на 3. Приведем первую дробь к знаменателю 6:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6}$.
Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

ж) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{6}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 6 — это 6.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6}$.
Сократим полученную дробь на 2: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

з) Для сложения дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{8}$ общим знаменателем будет 8, так как 8 делится на 4. Приведем первую дробь к знаменателю 8:
$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2+1}{8} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$

Вычислите (4.106–4.109):

4.106. а) $\frac{1}{10} + \frac{7}{100};$

б) $\frac{21}{100} + \frac{1}{10};$

В) $\frac{3}{5} + \frac{9}{10};$

Г) $\frac{2}{3} + \frac{5}{6};$

Д) $\frac{15}{24} + \frac{3}{8};$

Е) $\frac{7}{6} + \frac{16}{18};$

Ж) $\frac{1}{12} + \frac{1}{6};$

З) $\frac{1}{2} + \frac{3}{10}.$

а) $\frac{1}{10} + \frac{7}{100}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 100 — это 100. Для первой дроби ($\frac{1}{10}$) дополнительный множитель равен $100 \div 10 = 10$.

$\frac{1}{10} + \frac{7}{100} = \frac{1 \cdot 10}{10 \cdot 10} + \frac{7}{100} = \frac{10}{100} + \frac{7}{100} = \frac{10 + 7}{100} = \frac{17}{100}$

Ответ: $\frac{17}{100}$

б) $\frac{21}{100} + \frac{1}{10}$

Наименьший общий знаменатель для 100 и 10 — это 100. Для второй дроби ($\frac{1}{10}$) дополнительный множитель равен $100 \div 10 = 10$.

$\frac{21}{100} + \frac{1}{10} = \frac{21}{100} + \frac{1 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{21}{100} + \frac{10}{100} = \frac{21 + 10}{100} = \frac{31}{100}$

Ответ: $\frac{31}{100}$

в) $\frac{3}{5} + \frac{9}{10}$

Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 — это 10. Для первой дроби ($\frac{3}{5}$) дополнительный множитель равен $10 \div 5 = 2$.

$\frac{3}{5} + \frac{9}{10} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{9}{10} = \frac{6}{10} + \frac{9}{10} = \frac{6 + 9}{10} = \frac{15}{10}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{15}{10} = \frac{15 \div 5}{10 \div 5} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

г) $\frac{2}{3} + \frac{5}{6}$

Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 — это 6. Для первой дроби ($\frac{2}{3}$) дополнительный множитель равен $6 \div 3 = 2$.

$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4 + 5}{6} = \frac{9}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{9}{6} = \frac{9 \div 3}{6 \div 3} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

д) $\frac{15}{24} + \frac{3}{8}$

Наименьший общий знаменатель для 24 и 8 — это 24. Для второй дроби ($\frac{3}{8}$) дополнительный множитель равен $24 \div 8 = 3$.

$\frac{15}{24} + \frac{3}{8} = \frac{15}{24} + \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} + \frac{9}{24} = \frac{15 + 9}{24} = \frac{24}{24} = 1$

Ответ: $1$

е) $\frac{7}{6} + \frac{16}{18}$

Наименьший общий знаменатель для 6 и 18 — это 18. Для первой дроби ($\frac{7}{6}$) дополнительный множитель равен $18 \div 6 = 3$.

$\frac{7}{6} + \frac{16}{18} = \frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{16}{18} = \frac{21}{18} + \frac{16}{18} = \frac{21 + 16}{18} = \frac{37}{18}$

Дробь является несократимой, так как числитель 37 — простое число.

Ответ: $\frac{37}{18}$

ж) $\frac{1}{12} + \frac{1}{6}$

Наименьший общий знаменатель для 12 и 6 — это 12. Для второй дроби ($\frac{1}{6}$) дополнительный множитель равен $12 \div 6 = 2$.

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{1 + 2}{12} = \frac{3}{12}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

з) $\frac{1}{2} + \frac{3}{10}$

Наименьший общий знаменатель для 2 и 10 — это 10. Для первой дроби ($\frac{1}{2}$) дополнительный множитель равен $10 \div 2 = 5$.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{3}{10} = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{5 + 3}{10} = \frac{8}{10}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

4.107. а) $\frac{3}{36} + \frac{7}{9}$;

б) $\frac{2}{5} + \frac{3}{20}$;

в) $\frac{1}{6} + \frac{5}{12}$;

г) $\frac{11}{49} + \frac{6}{7}$;

д) $\frac{13}{24} + \frac{5}{8}$;

е) $\frac{3}{8} + \frac{6}{32}$;

ж) $\frac{6}{120} + \frac{3}{20}$;

з) $\frac{9}{16} + \frac{50}{100}$.

а) $\frac{3}{36} + \frac{7}{9}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 36 и 9 равен 36, так как 36 делится на 9 без остатка. Первая дробь уже имеет знаменатель 36. Для второй дроби найдем дополнительный множитель: $36 \div 9 = 4$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель:

$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 4}{9 \times 4} = \frac{28}{36}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3}{36} + \frac{28}{36} = \frac{3 + 28}{36} = \frac{31}{36}$

Ответ: $\frac{31}{36}$

б) $\frac{2}{5} + \frac{3}{20}$

Наименьший общий знаменатель для 5 и 20 - это 20. Дополнительный множитель для первой дроби равен $20 \div 5 = 4$.

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20}$

Складываем дроби:

$\frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{8 + 3}{20} = \frac{11}{20}$

Ответ: $\frac{11}{20}$

в) $\frac{1}{6} + \frac{5}{12}$

Наименьший общий знаменатель для 6 и 12 - это 12. Дополнительный множитель для первой дроби: $12 \div 6 = 2$.

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$

Выполним сложение:

$\frac{2}{12} + \frac{5}{12} = \frac{2 + 5}{12} = \frac{7}{12}$

Ответ: $\frac{7}{12}$

г) $\frac{11}{49} + \frac{6}{7}$

Общий знаменатель для 49 и 7 - это 49. Дополнительный множитель для второй дроби: $49 \div 7 = 7$.

$\frac{6}{7} = \frac{6 \times 7}{7 \times 7} = \frac{42}{49}$

Сложим дроби:

$\frac{11}{49} + \frac{42}{49} = \frac{11 + 42}{49} = \frac{53}{49}$

Ответ: $\frac{53}{49}$

д) $\frac{13}{24} + \frac{5}{8}$

Наименьший общий знаменатель для 24 и 8 - это 24. Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 8 = 3$.

$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{13}{24} + \frac{15}{24} = \frac{13 + 15}{24} = \frac{28}{24}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 28 и 24 - это 4.

$\frac{28}{24} = \frac{28 \div 4}{24 \div 4} = \frac{7}{6}$

Ответ: $\frac{7}{6}$

е) $\frac{3}{8} + \frac{6}{32}$

Наименьший общий знаменатель для 8 и 32 - это 32. Дополнительный множитель для первой дроби: $32 \div 8 = 4$.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \times 4}{8 \times 4} = \frac{12}{32}$

Сложим дроби:

$\frac{12}{32} + \frac{6}{32} = \frac{12 + 6}{32} = \frac{18}{32}$

Сократим результат, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2.

$\frac{18}{32} = \frac{18 \div 2}{32 \div 2} = \frac{9}{16}$

Ответ: $\frac{9}{16}$

ж) $\frac{6}{120} + \frac{3}{20}$

Наименьший общий знаменатель для 120 и 20 - это 120. Дополнительный множитель для второй дроби: $120 \div 20 = 6$.

$\frac{3}{20} = \frac{3 \times 6}{20 \times 6} = \frac{18}{120}$

Выполним сложение:

$\frac{6}{120} + \frac{18}{120} = \frac{6 + 18}{120} = \frac{24}{120}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 24 и 120 - это 24.

$\frac{24}{120} = \frac{24 \div 24}{120 \div 24} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

з) $\frac{9}{16} + \frac{50}{100}$

Сначала упростим вторую дробь, сократив ее на 50: $\frac{50}{100} = \frac{50 \div 50}{100 \div 50} = \frac{1}{2}$.

Получим выражение: $\frac{9}{16} + \frac{1}{2}$.

Наименьший общий знаменатель для 16 и 2 - это 16. Дополнительный множитель для второй дроби: $16 \div 2 = 8$.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 8}{2 \times 8} = \frac{8}{16}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{9}{16} + \frac{8}{16} = \frac{9 + 8}{16} = \frac{17}{16}$

Ответ: $\frac{17}{16}$

4.108. a) $ \frac{1}{6} + \frac{1}{9}; $

б) $ \frac{2}{9} + \frac{5}{6}; $

в) $ \frac{2}{9} + \frac{3}{8}; $

г) $ \frac{2}{10} + \frac{6}{15}; $

д) $ \frac{3}{10} + \frac{2}{12}; $

е) $ \frac{5}{12} + \frac{4}{15}; $

ж) $ \frac{3}{4} + \frac{5}{18}; $

з) $ \frac{2}{26} + \frac{3}{39}; $

и) $ \frac{7}{34} + \frac{5}{51}; $

к) $ \frac{4}{210} + \frac{5}{140}; $

л) $ \frac{7}{450} + \frac{8}{180}; $

м) $ \frac{9}{180} + \frac{7}{120}. $

а) $ \frac{1}{6} + \frac{1}{9} $. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведем их к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для чисел 6 и 9 НОЗ равен 18. Дополнительный множитель для первой дроби - $18 \div 6 = 3$, для второй - $18 \div 9 = 2$. Получаем: $ \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{3+2}{18} = \frac{5}{18} $. Ответ: $ \frac{5}{18} $

б) $ \frac{2}{9} + \frac{5}{6} $. Наименьший общий знаменатель для 9 и 6 равен 18. Дополнительный множитель для первой дроби - $18 \div 9 = 2$, для второй - $18 \div 6 = 3$. Получаем: $ \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{4}{18} + \frac{15}{18} = \frac{4+15}{18} = \frac{19}{18} $. Выделим целую часть: $ \frac{19}{18} = 1\frac{1}{18} $. Ответ: $ 1\frac{1}{18} $

в) $ \frac{2}{9} + \frac{3}{8} $. Так как числа 9 и 8 взаимно простые, их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $9 \cdot 8 = 72$. Дополнительный множитель для первой дроби - 8, для второй - 9. Получаем: $ \frac{2 \cdot 8}{9 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{16}{72} + \frac{27}{72} = \frac{16+27}{72} = \frac{43}{72} $. Ответ: $ \frac{43}{72} $

г) $ \frac{2}{10} + \frac{6}{15} $. Сначала сократим дроби: $ \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $ и $ \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $. Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5} $. Ответ: $ \frac{3}{5} $

д) $ \frac{3}{10} + \frac{2}{12} $. Сократим вторую дробь: $ \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $. Теперь найдем сумму $ \frac{3}{10} + \frac{1}{6} $. Наименьший общий знаменатель для 10 и 6 равен 30. Дополнительные множители: $30 \div 10 = 3$ и $30 \div 6 = 5$. Получаем: $ \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{9}{30} + \frac{5}{30} = \frac{9+5}{30} = \frac{14}{30} $. Сократим полученную дробь: $ \frac{14}{30} = \frac{7}{15} $. Ответ: $ \frac{7}{15} $

е) $ \frac{5}{12} + \frac{4}{15} $. Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 15. Разложим на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. НОЗ$(12, 15) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$. Дополнительные множители: $60 \div 12 = 5$ и $60 \div 15 = 4$. Получаем: $ \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{25}{60} + \frac{16}{60} = \frac{25+16}{60} = \frac{41}{60} $. Ответ: $ \frac{41}{60} $

ж) $ \frac{3}{4} + \frac{5}{18} $. Наименьший общий знаменатель для 4 и 18 равен 36. Дополнительные множители: $36 \div 4 = 9$ и $36 \div 18 = 2$. Получаем: $ \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{27}{36} + \frac{10}{36} = \frac{27+10}{36} = \frac{37}{36} $. Выделим целую часть: $ \frac{37}{36} = 1\frac{1}{36} $. Ответ: $ 1\frac{1}{36} $

з) $ \frac{2}{26} + \frac{3}{39} $. Сначала сократим дроби: $ \frac{2}{26} = \frac{1}{13} $ и $ \frac{3}{39} = \frac{1}{13} $. Теперь сложим дроби: $ \frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{1+1}{13} = \frac{2}{13} $. Ответ: $ \frac{2}{13} $

и) $ \frac{7}{34} + \frac{5}{51} $. Найдем наименьший общий знаменатель для 34 и 51. Разложим на простые множители: $34 = 2 \cdot 17$, $51 = 3 \cdot 17$. НОЗ$(34, 51) = 2 \cdot 3 \cdot 17 = 102$. Дополнительные множители: $102 \div 34 = 3$ и $102 \div 51 = 2$. Получаем: $ \frac{7 \cdot 3}{34 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{51 \cdot 2} = \frac{21}{102} + \frac{10}{102} = \frac{21+10}{102} = \frac{31}{102} $. Ответ: $ \frac{31}{102} $

к) $ \frac{4}{210} + \frac{5}{140} $. Найдем наименьший общий знаменатель для 210 и 140. Разложим на простые множители: $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$, $140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$. НОЗ$(210, 140) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$. Дополнительные множители: $420 \div 210 = 2$ и $420 \div 140 = 3$. Получаем: $ \frac{4 \cdot 2}{210 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{140 \cdot 3} = \frac{8}{420} + \frac{15}{420} = \frac{8+15}{420} = \frac{23}{420} $. Ответ: $ \frac{23}{420} $

л) $ \frac{7}{450} + \frac{8}{180} $. Сначала сократим вторую дробь: $ \frac{8}{180} = \frac{2}{45} $. Теперь найдем сумму $ \frac{7}{450} + \frac{2}{45} $. Наименьший общий знаменатель для 450 и 45 равен 450. Дополнительный множитель для второй дроби - $450 \div 45 = 10$. Получаем: $ \frac{7}{450} + \frac{2 \cdot 10}{45 \cdot 10} = \frac{7}{450} + \frac{20}{450} = \frac{7+20}{450} = \frac{27}{450} $. Сократим полученную дробь на 9: $ \frac{27 \div 9}{450 \div 9} = \frac{3}{50} $. Ответ: $ \frac{3}{50} $

м) $ \frac{9}{180} + \frac{7}{120} $. Сначала сократим первую дробь: $ \frac{9}{180} = \frac{1}{20} $. Теперь найдем сумму $ \frac{1}{20} + \frac{7}{120} $. Наименьший общий знаменатель для 20 и 120 равен 120. Дополнительный множитель для первой дроби - $120 \div 20 = 6$. Получаем: $ \frac{1 \cdot 6}{20 \cdot 6} + \frac{7}{120} = \frac{6}{120} + \frac{7}{120} = \frac{6+7}{120} = \frac{13}{120} $. Ответ: $ \frac{13}{120} $

4.109. a) $\frac{1}{4} + \frac{4}{7} + \frac{9}{28}$;

б) $\frac{1}{5} + \frac{3}{10} + \frac{7}{20}$;

в) $\frac{3}{20} + \frac{7}{30} + \frac{2}{40}$;

г) $\frac{17}{20} + \frac{23}{30} + \frac{11}{60}$;

д) $\frac{3}{20} + \frac{7}{30} + \frac{9}{50}$;

е) $\frac{7}{40} + \frac{11}{70} + \frac{13}{30}$.

а)

Чтобы найти сумму дробей $ \frac{1}{4} + \frac{4}{7} + \frac{9}{28} $, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 4, 7 и 28 является 28.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для $ \frac{1}{4} $ дополнительный множитель: $ 28 \div 4 = 7 $.

Для $ \frac{4}{7} $ дополнительный множитель: $ 28 \div 7 = 4 $.

Дробь $ \frac{9}{28} $ уже имеет нужный знаменатель.

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$ \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} + \frac{9}{28} = \frac{7}{28} + \frac{16}{28} + \frac{9}{28} = \frac{7 + 16 + 9}{28} = \frac{32}{28} $.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{32 \div 4}{28 \div 4} = \frac{8}{7} $.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} $.

Ответ: $ 1\frac{1}{7} $.

б)

Чтобы найти сумму дробей $ \frac{1}{5} + \frac{3}{10} + \frac{7}{20} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 5, 10 и 20 является 20.

Приведем дроби к знаменателю 20:

$ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20} $

$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{6}{20} $

Сложим полученные дроби:

$ \frac{4}{20} + \frac{6}{20} + \frac{7}{20} = \frac{4 + 6 + 7}{20} = \frac{17}{20} $.

Дробь $ \frac{17}{20} $ является несократимой.

Ответ: $ \frac{17}{20} $.

в)

Чтобы найти сумму дробей $ \frac{3}{20} + \frac{7}{30} + \frac{2}{40} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 20, 30 и 40 равно 120.

Найдем дополнительные множители:

Для $ \frac{3}{20} $: $ 120 \div 20 = 6 $.

Для $ \frac{7}{30} $: $ 120 \div 30 = 4 $.

Для $ \frac{2}{40} $: $ 120 \div 40 = 3 $.

Выполним сложение:

$ \frac{3 \cdot 6}{20 \cdot 6} + \frac{7 \cdot 4}{30 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 3}{40 \cdot 3} = \frac{18}{120} + \frac{28}{120} + \frac{6}{120} = \frac{18 + 28 + 6}{120} = \frac{52}{120} $.

Сократим полученную дробь на 4:

$ \frac{52 \div 4}{120 \div 4} = \frac{13}{30} $.

Ответ: $ \frac{13}{30} $.

г)

Чтобы найти сумму дробей $ \frac{17}{20} + \frac{23}{30} + \frac{11}{60} $, приведем их к общему знаменателю, который равен 60.

Приведем дроби к знаменателю 60:

$ \frac{17}{20} = \frac{17 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{51}{60} $

$ \frac{23}{30} = \frac{23 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{46}{60} $

Сложим дроби:

$ \frac{51}{60} + \frac{46}{60} + \frac{11}{60} = \frac{51 + 46 + 11}{60} = \frac{108}{60} $.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:

$ \frac{108 \div 12}{60 \div 12} = \frac{9}{5} $.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} $.

Ответ: $ 1\frac{4}{5} $.

д)

Чтобы найти сумму дробей $ \frac{3}{20} + \frac{7}{30} + \frac{9}{50} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 20, 30 и 50 равно 300.

Найдем дополнительные множители:

Для $ \frac{3}{20} $: $ 300 \div 20 = 15 $.

Для $ \frac{7}{30} $: $ 300 \div 30 = 10 $.

Для $ \frac{9}{50} $: $ 300 \div 50 = 6 $.

Выполним сложение:

$ \frac{3 \cdot 15}{20 \cdot 15} + \frac{7 \cdot 10}{30 \cdot 10} + \frac{9 \cdot 6}{50 \cdot 6} = \frac{45}{300} + \frac{70}{300} + \frac{54}{300} = \frac{45 + 70 + 54}{300} = \frac{169}{300} $.

Дробь $ \frac{169}{300} $ является несократимой.

Ответ: $ \frac{169}{300} $.

е)

Чтобы найти сумму дробей $ \frac{7}{40} + \frac{11}{70} + \frac{13}{30} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 40, 70 и 30 равно 840.

Найдем дополнительные множители:

Для $ \frac{7}{40} $: $ 840 \div 40 = 21 $.

Для $ \frac{11}{70} $: $ 840 \div 70 = 12 $.

Для $ \frac{13}{30} $: $ 840 \div 30 = 28 $.

Выполним сложение:

$ \frac{7 \cdot 21}{40 \cdot 21} + \frac{11 \cdot 12}{70 \cdot 12} + \frac{13 \cdot 28}{30 \cdot 28} = \frac{147}{840} + \frac{132}{840} + \frac{364}{840} = \frac{147 + 132 + 364}{840} = \frac{643}{840} $.

Дробь $ \frac{643}{840} $ является несократимой.

Ответ: $ \frac{643}{840} $.

4.110. Запишите дробь в виде суммы двух дробей:

a) $\frac{3}{5}$;

б) $\frac{7}{9}$;

в) $\frac{5}{7}$;

г) $\frac{3}{10}$.

а)

Чтобы представить дробь в виде суммы двух дробей, можно разложить ее числитель на два слагаемых, оставив знаменатель прежним. Для дроби $\frac{3}{5}$ представим числитель 3 в виде суммы, например, $3 = 1 + 2$.

Тогда получим:

$\frac{3}{5} = \frac{1+2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}$

Это одно из возможных решений. Проверим его: $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}$.

б)

Для дроби $\frac{7}{9}$ представим ее числитель 7 в виде суммы двух слагаемых. Существует несколько способов, например: $7 = 1+6$, $7 = 2+5$, $7 = 3+4$. Выберем один из них, например, $7 = 3+4$.

Тогда можем записать:

$\frac{7}{9} = \frac{3+4}{9} = \frac{3}{9} + \frac{4}{9}$

Проверим сложение: $\frac{3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{3+4}{9} = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9} = \frac{3}{9} + \frac{4}{9}$.

в)

Для дроби $\frac{5}{7}$ представим числитель 5 в виде суммы двух чисел. Например, $5 = 1+4$ или $5 = 2+3$. Воспользуемся вариантом $5 = 2+3$.

Запишем дробь в виде суммы:

$\frac{5}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{2}{7} + \frac{3}{7}$

Проверка: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7} = \frac{2}{7} + \frac{3}{7}$.

г)

Для дроби $\frac{3}{10}$ представим ее числитель 3 в виде суммы двух слагаемых: $3 = 1+2$.

Теперь запишем исходную дробь как сумму двух дробей с тем же знаменателем:

$\frac{3}{10} = \frac{1+2}{10} = \frac{1}{10} + \frac{2}{10}$

Проверим правильность разложения: $\frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1+2}{10} = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10} = \frac{1}{10} + \frac{2}{10}$.

4.111. Подберите дробь, которая в сумме с данной дробью дает 1:

а) $\frac{1}{3}$;

б) $\frac{2}{7}$;

В) $\frac{5}{9}$;

Г) $\frac{8}{13}$;

Д) $\frac{5}{41}$;

е) $\frac{13}{27}$.

а) Чтобы найти дробь, которая в сумме с данной дробью $\frac{1}{3}$ дает 1, нужно из 1 вычесть данную дробь. Представим 1 в виде дроби со знаменателем 3: $1 = \frac{3}{3}$. Тогда:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Найдем разность между 1 и дробью $\frac{2}{7}$. Представим 1 в виде дроби $\frac{7}{7}$:
$1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{7-2}{7} = \frac{5}{7}$.
Ответ: $\frac{5}{7}$.

в) Найдем разность между 1 и дробью $\frac{5}{9}$. Представим 1 в виде дроби $\frac{9}{9}$:
$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{9-5}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

г) Найдем разность между 1 и дробью $\frac{8}{13}$. Представим 1 в виде дроби $\frac{13}{13}$:
$1 - \frac{8}{13} = \frac{13}{13} - \frac{8}{13} = \frac{13-8}{13} = \frac{5}{13}$.
Ответ: $\frac{5}{13}$.

д) Найдем разность между 1 и дробью $\frac{5}{41}$. Представим 1 в виде дроби $\frac{41}{41}$:
$1 - \frac{5}{41} = \frac{41}{41} - \frac{5}{41} = \frac{41-5}{41} = \frac{36}{41}$.
Ответ: $\frac{36}{41}$.

е) Найдем разность между 1 и дробью $\frac{13}{27}$. Представим 1 в виде дроби $\frac{27}{27}$:
$1 - \frac{13}{27} = \frac{27}{27} - \frac{13}{27} = \frac{27-13}{27} = \frac{14}{27}$.
Ответ: $\frac{14}{27}$.

4.112. Сложите дроби, предварительно сократив их:

а) $\frac{6}{15} + \frac{5}{25} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$;

б) $\frac{10}{16} + \frac{3}{24}$;

в) $\frac{30}{45} + \frac{8}{36}$;

г) $\frac{60}{120} + \frac{75}{150}$;

д) $\frac{24}{360} + \frac{16}{480}$.

б) $\frac{10}{16} + \frac{3}{24}$

Сначала сократим каждую дробь.
Первая дробь: $ \frac{10}{16} $. Наибольший общий делитель для числителя 10 и знаменателя 16 это 2.
$ \frac{10}{16} = \frac{10 \div 2}{16 \div 2} = \frac{5}{8} $.
Вторая дробь: $ \frac{3}{24} $. Наибольший общий делитель для 3 и 24 это 3.
$ \frac{3}{24} = \frac{3 \div 3}{24 \div 3} = \frac{1}{8} $.
Теперь сложим сокращенные дроби. Так как у них одинаковый знаменатель, сложим числители:
$ \frac{5}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5+1}{8} = \frac{6}{8} $.
Полученную дробь можно снова сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} $.

в) $\frac{30}{45} + \frac{8}{36}$

Сократим дроби перед сложением.
Первая дробь: $ \frac{30}{45} $. Наибольший общий делитель для 30 и 45 это 15.
$ \frac{30}{45} = \frac{30 \div 15}{45 \div 15} = \frac{2}{3} $.
Вторая дробь: $ \frac{8}{36} $. Наибольший общий делитель для 8 и 36 это 4.
$ \frac{8}{36} = \frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9} $.
Теперь сложим сокращенные дроби: $ \frac{2}{3} + \frac{2}{9} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 9 это 9. Дополнительный множитель для первой дроби: $ 9 \div 3 = 3 $.
$ \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} + \frac{2}{9} = \frac{6+2}{9} = \frac{8}{9} $.
Дробь $ \frac{8}{9} $ несократимая.
Ответ: $ \frac{8}{9} $.

г) $\frac{60}{120} + \frac{75}{150}$

Сократим каждую дробь.
Первая дробь: $ \frac{60}{120} $. Разделим числитель и знаменатель на 60.
$ \frac{60}{120} = \frac{60 \div 60}{120 \div 60} = \frac{1}{2} $.
Вторая дробь: $ \frac{75}{150} $. Разделим числитель и знаменатель на 75.
$ \frac{75}{150} = \frac{75 \div 75}{150 \div 75} = \frac{1}{2} $.
Сложим полученные дроби:
$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

д) $\frac{24}{360} + \frac{16}{480}$

Сократим дроби перед сложением.
Первая дробь: $ \frac{24}{360} $. Наибольший общий делитель для 24 и 360 это 24 ($360 = 24 \cdot 15$).
$ \frac{24}{360} = \frac{24 \div 24}{360 \div 24} = \frac{1}{15} $.
Вторая дробь: $ \frac{16}{480} $. Наибольший общий делитель для 16 и 480 это 16 ($480 = 16 \cdot 30$).
$ \frac{16}{480} = \frac{16 \div 16}{480 \div 16} = \frac{1}{30} $.
Теперь сложим сокращенные дроби: $ \frac{1}{15} + \frac{1}{30} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 30 это 30. Дополнительный множитель для первой дроби: $ 30 \div 15 = 2 $.
$ \frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2+1}{30} = \frac{3}{30} $.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{3}{30} = \frac{3 \div 3}{30 \div 3} = \frac{1}{10} $.
Ответ: $ \frac{1}{10} $.