Страница 198 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.143. Найдите число x, для которого верно равенство:

а) $x + \frac{1}{8} = \frac{3}{5}$;

б) $\frac{1}{3} + x = \frac{5}{12}$;

в) $x - \frac{3}{20} = \frac{1}{5}$;

г) $x - \frac{3}{7} = \frac{4}{21}$;

д) $\frac{4}{5} - x = \frac{1}{6}$;

е) $\frac{5}{8} - x = \frac{1}{3}.$

а)

Дано равенство: $x + \frac{1}{8} = \frac{3}{5}$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = \frac{3}{5} - \frac{1}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 5 и 8 равно 40.
$x = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} - \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{24}{40} - \frac{5}{40}$
$x = \frac{24 - 5}{40} = \frac{19}{40}$
Ответ: $\frac{19}{40}$

б)

Дано равенство: $\frac{1}{3} + x = \frac{5}{12}$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = \frac{5}{12} - \frac{1}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12.
$x = \frac{5}{12} - \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{5}{12} - \frac{4}{12}$
$x = \frac{5 - 4}{12} = \frac{1}{12}$
Ответ: $\frac{1}{12}$

в)

Дано равенство: $x - \frac{3}{20} = \frac{1}{5}$.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = \frac{1}{5} + \frac{3}{20}$
Приведем дроби к общему знаменателю 20.
$x = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{3}{20} = \frac{4}{20} + \frac{3}{20}$
$x = \frac{4 + 3}{20} = \frac{7}{20}$
Ответ: $\frac{7}{20}$

г)

Дано равенство: $x - \frac{3}{7} = \frac{4}{21}$.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = \frac{4}{21} + \frac{3}{7}$
Приведем дроби к общему знаменателю 21.
$x = \frac{4}{21} + \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{4}{21} + \frac{9}{21}$
$x = \frac{4 + 9}{21} = \frac{13}{21}$
Ответ: $\frac{13}{21}$

д)

Дано равенство: $\frac{4}{5} - x = \frac{1}{6}$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = \frac{4}{5} - \frac{1}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 5 и 6 равно 30.
$x = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} - \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{24}{30} - \frac{5}{30}$
$x = \frac{24 - 5}{30} = \frac{19}{30}$
Ответ: $\frac{19}{30}$

е)

Дано равенство: $\frac{5}{8} - x = \frac{1}{3}$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = \frac{5}{8} - \frac{1}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 8 и 3 равно 24.
$x = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{15}{24} - \frac{8}{24}$
$x = \frac{15 - 8}{24} = \frac{7}{24}$
Ответ: $\frac{7}{24}$

Вычислите (4.144–4.145):

4.144 а) $\frac{8}{18} - \frac{8}{27}$;

б) $\frac{7}{16} - \frac{5}{24}$;

в) $\frac{2}{11} - \frac{1}{12}$;

г) $\frac{12}{13} - \frac{15}{26}$;

д) $\frac{9}{28} - \frac{11}{35}$;

е) $\frac{39}{40} - \frac{19}{28}$.

а) Для того чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. В данном случае сначала можно сократить первую дробь:
$ \frac{8}{18} = \frac{8 \div 2}{18 \div 2} = \frac{4}{9} $
Теперь пример выглядит так: $ \frac{4}{9} - \frac{8}{27} $.
Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 9 и 27 равно 27. Приведем первую дробь к знаменателю 27, домножив числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{12}{27} $
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{12}{27} - \frac{8}{27} = \frac{12 - 8}{27} = \frac{4}{27} $
Ответ: $ \frac{4}{27} $

б) Необходимо вычислить разность $ \frac{7}{16} - \frac{5}{24} $.
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 16 и 24.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 $
$ 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 $
НОК(16, 24) = $ 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48 $.
Приведем дроби к общему знаменателю 48. Дополнительный множитель для первой дроби: $48 \div 16 = 3$. Для второй: $48 \div 24 = 2$.
$ \frac{7}{16} = \frac{7 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{21}{48} $
$ \frac{5}{24} = \frac{5 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{10}{48} $
Выполним вычитание:
$ \frac{21}{48} - \frac{10}{48} = \frac{21 - 10}{48} = \frac{11}{48} $
Ответ: $ \frac{11}{48} $

в) Необходимо вычислить разность $ \frac{2}{11} - \frac{1}{12} $.
Знаменатели 11 и 12 являются взаимно простыми числами (не имеют общих делителей, кроме 1). Поэтому их наименьший общий знаменатель равен их произведению:
НОК(11, 12) = $ 11 \cdot 12 = 132 $.
Приведем дроби к общему знаменателю 132:
$ \frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 12}{11 \cdot 12} = \frac{24}{132} $
$ \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 11}{12 \cdot 11} = \frac{11}{132} $
Выполним вычитание:
$ \frac{24}{132} - \frac{11}{132} = \frac{24 - 11}{132} = \frac{13}{132} $
Ответ: $ \frac{13}{132} $

г) Необходимо вычислить разность $ \frac{12}{13} - \frac{15}{26} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 13 и 26. Так как 26 делится на 13 без остатка ($ 26 = 13 \cdot 2 $), то НОК(13, 26) = 26.
Приведем первую дробь к знаменателю 26:
$ \frac{12}{13} = \frac{12 \cdot 2}{13 \cdot 2} = \frac{24}{26} $
Выполним вычитание:
$ \frac{24}{26} - \frac{15}{26} = \frac{24 - 15}{26} = \frac{9}{26} $
Ответ: $ \frac{9}{26} $

д) Необходимо вычислить разность $ \frac{9}{28} - \frac{11}{35} $.
Найдем НОК знаменателей 28 и 35. Разложим их на простые множители:
$ 28 = 2^2 \cdot 7 $
$ 35 = 5 \cdot 7 $
НОК(28, 35) = $ 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140 $.
Приведем дроби к общему знаменателю 140. Дополнительный множитель для первой дроби: $140 \div 28 = 5$. Для второй: $140 \div 35 = 4$.
$ \frac{9}{28} = \frac{9 \cdot 5}{28 \cdot 5} = \frac{45}{140} $
$ \frac{11}{35} = \frac{11 \cdot 4}{35 \cdot 4} = \frac{44}{140} $
Выполним вычитание:
$ \frac{45}{140} - \frac{44}{140} = \frac{45 - 44}{140} = \frac{1}{140} $
Ответ: $ \frac{1}{140} $

е) Необходимо вычислить разность $ \frac{39}{40} - \frac{19}{28} $.
Найдем НОК знаменателей 40 и 28. Разложим их на простые множители:
$ 40 = 2^3 \cdot 5 $
$ 28 = 2^2 \cdot 7 $
НОК(40, 28) = $ 2^3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 5 \cdot 7 = 280 $.
Приведем дроби к общему знаменателю 280. Дополнительный множитель для первой дроби: $280 \div 40 = 7$. Для второй: $280 \div 28 = 10$.
$ \frac{39}{40} = \frac{39 \cdot 7}{40 \cdot 7} = \frac{273}{280} $
$ \frac{19}{28} = \frac{19 \cdot 10}{28 \cdot 10} = \frac{190}{280} $
Выполним вычитание:
$ \frac{273}{280} - \frac{190}{280} = \frac{273 - 190}{280} = \frac{83}{280} $
Ответ: $ \frac{83}{280} $

4.145. а) $\frac{25}{28} - \frac{18}{35}$

б) $\frac{40}{63} - \frac{35}{72}$

в) $\frac{22}{21} - \frac{21}{22}$

г) $\frac{40}{143} - \frac{41}{156}$

д) $\frac{43}{126} - \frac{41}{135}$

е) $\frac{239}{240} - \frac{229}{288}$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{25}{28} - \frac{18}{35} $, их необходимо привести к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 28 и 35.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 28 = 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 $
$ 35 = 5 \cdot 7 $
НОК(28, 35) будет произведением всех простых множителей, взятых в наибольшей степени: $ 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140 $.
Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 140:
$ \frac{25}{28} = \frac{25 \cdot (140 \div 28)}{140} = \frac{25 \cdot 5}{140} = \frac{125}{140} $
$ \frac{18}{35} = \frac{18 \cdot (140 \div 35)}{140} = \frac{18 \cdot 4}{140} = \frac{72}{140} $
Выполним вычитание:
$ \frac{125}{140} - \frac{72}{140} = \frac{125 - 72}{140} = \frac{53}{140} $
Число 53 является простым, а 140 на 53 не делится, значит, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{53}{140} $

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{40}{63} - \frac{35}{72} $, найдем наименьший общий знаменатель.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7 $
$ 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 $
НОК(63, 72) = $ 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504 $.
Приведем дроби к знаменателю 504:
$ \frac{40}{63} = \frac{40 \cdot (504 \div 63)}{504} = \frac{40 \cdot 8}{504} = \frac{320}{504} $
$ \frac{35}{72} = \frac{35 \cdot (504 \div 72)}{504} = \frac{35 \cdot 7}{504} = \frac{245}{504} $
Выполним вычитание:
$ \frac{320}{504} - \frac{245}{504} = \frac{320 - 245}{504} = \frac{75}{504} $
Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя $ 7+5=12 $, делится на 3. Сумма цифр знаменателя $ 5+0+4=9 $, делится на 3. Значит, дробь можно сократить на 3.
$ \frac{75 \div 3}{504 \div 3} = \frac{25}{168} $
Дробь $ \frac{25}{168} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{25}{168} $

в) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{22}{21} - \frac{21}{22} $, найдем общий знаменатель. Знаменатели 21 и 22 являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1), поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению.
НОК(21, 22) = $ 21 \cdot 22 = 462 $.
Приведем дроби к знаменателю 462:
$ \frac{22}{21} = \frac{22 \cdot 22}{21 \cdot 22} = \frac{484}{462} $
$ \frac{21}{22} = \frac{21 \cdot 21}{22 \cdot 21} = \frac{441}{462} $
Выполним вычитание:
$ \frac{484}{462} - \frac{441}{462} = \frac{484 - 441}{462} = \frac{43}{462} $
Число 43 является простым, а 462 на 43 не делится, значит, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{43}{462} $

г) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{40}{143} - \frac{41}{156} $, найдем наименьший общий знаменатель.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 143 = 11 \cdot 13 $
$ 156 = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 2 \cdot 39 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 $
НОК(143, 156) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13 = 1716 $.
Приведем дроби к знаменателю 1716:
$ \frac{40}{143} = \frac{40 \cdot (1716 \div 143)}{1716} = \frac{40 \cdot 12}{1716} = \frac{480}{1716} $
$ \frac{41}{156} = \frac{41 \cdot (1716 \div 156)}{1716} = \frac{41 \cdot 11}{1716} = \frac{451}{1716} $
Выполним вычитание:
$ \frac{480}{1716} - \frac{451}{1716} = \frac{480 - 451}{1716} = \frac{29}{1716} $
Число 29 является простым, а 1716 на 29 не делится, значит, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{29}{1716} $

д) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{43}{126} - \frac{41}{135} $, найдем наименьший общий знаменатель.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 $
$ 135 = 5 \cdot 27 = 5 \cdot 3^3 $
НОК(126, 135) = $ 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 27 \cdot 5 \cdot 7 = 1890 $.
Приведем дроби к знаменателю 1890:
$ \frac{43}{126} = \frac{43 \cdot (1890 \div 126)}{1890} = \frac{43 \cdot 15}{1890} = \frac{645}{1890} $
$ \frac{41}{135} = \frac{41 \cdot (1890 \div 135)}{1890} = \frac{41 \cdot 14}{1890} = \frac{574}{1890} $
Выполним вычитание:
$ \frac{645}{1890} - \frac{574}{1890} = \frac{645 - 574}{1890} = \frac{71}{1890} $
Число 71 является простым, а 1890 на 71 не делится, значит, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{71}{1890} $

е) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{239}{240} - \frac{229}{288} $, найдем наименьший общий знаменатель.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 240 = 24 \cdot 10 = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 $
$ 288 = 2 \cdot 144 = 2 \cdot 12^2 = 2 \cdot (2^2 \cdot 3)^2 = 2 \cdot (2^4 \cdot 3^2) = 2^5 \cdot 3^2 $
НОК(240, 288) = $ 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 = 32 \cdot 9 \cdot 5 = 1440 $.
Приведем дроби к знаменателю 1440:
$ \frac{239}{240} = \frac{239 \cdot (1440 \div 240)}{1440} = \frac{239 \cdot 6}{1440} = \frac{1434}{1440} $
$ \frac{229}{288} = \frac{229 \cdot (1440 \div 288)}{1440} = \frac{229 \cdot 5}{1440} = \frac{1145}{1440} $
Выполним вычитание:
$ \frac{1434}{1440} - \frac{1145}{1440} = \frac{1434 - 1145}{1440} = \frac{289}{1440} $
Проверим, можно ли сократить дробь. Числитель $ 289 = 17^2 $. Знаменатель 1440 не делится на 17. Следовательно, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{289}{1440} $

4.146. Придумайте две дроби, разность которых равна

а) $ \frac{1}{8} $;

б) $ \frac{3}{10} $;

в) $ \frac{5}{9} $;

г) $ \frac{5}{7} $;

д) $ \frac{2}{3} $;

е) $ \frac{3}{2} $.

Чтобы найти две дроби, разность которых равна $\frac{1}{8}$, можно представить эту дробь как разность двух дробей с таким же знаменателем. Пусть искомые дроби — это $\frac{a}{8}$ и $\frac{b}{8}$. Тогда их разность равна $\frac{a}{8} - \frac{b}{8} = \frac{a-b}{8}$. Нам нужно, чтобы эта разность была равна $\frac{1}{8}$, следовательно, числители должны удовлетворять условию $a-b=1$. Можно выбрать множество пар чисел $a$ и $b$, удовлетворяющих этому условию. Например, возьмем $a=3$ и $b=2$. Тогда искомые дроби — это $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{8}$. Проверим: $\frac{3}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3-2}{8} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{8}$.

Найдем две дроби со знаменателем 10, разность которых равна $\frac{3}{10}$. Пусть искомые дроби — это $\frac{a}{10}$ и $\frac{b}{10}$. Их разность: $\frac{a}{10} - \frac{b}{10} = \frac{a-b}{10}$. Нам нужно, чтобы $\frac{a-b}{10} = \frac{3}{10}$, значит, $a-b=3$. Выберем простую пару чисел, например, $a=5$ и $b=2$. Тогда искомые дроби — это $\frac{5}{10}$ и $\frac{2}{10}$. Проверим: $\frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{5-2}{10} = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{5}{10}$ и $\frac{2}{10}$.

Найдем две дроби со знаменателем 9, разность которых равна $\frac{5}{9}$. Пусть искомые дроби — это $\frac{a}{9}$ и $\frac{b}{9}$. Их разность: $\frac{a}{9} - \frac{b}{9} = \frac{a-b}{9}$. Нам нужно, чтобы $\frac{a-b}{9} = \frac{5}{9}$, значит, $a-b=5$. Выберем, например, $a=6$ и $b=1$. Тогда искомые дроби — это $\frac{6}{9}$ и $\frac{1}{9}$. Проверим: $\frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{6-1}{9} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{6}{9}$ и $\frac{1}{9}$.

Найдем две дроби со знаменателем 7, разность которых равна $\frac{5}{7}$. Пусть искомые дроби — это $\frac{a}{7}$ и $\frac{b}{7}$. Их разность: $\frac{a}{7} - \frac{b}{7} = \frac{a-b}{7}$. Нам нужно, чтобы $\frac{a-b}{7} = \frac{5}{7}$, значит, $a-b=5$. Выберем, например, $a=6$ и $b=1$. Тогда искомые дроби — это $\frac{6}{7}$ и $\frac{1}{7}$. Проверим: $\frac{6}{7} - \frac{1}{7} = \frac{6-1}{7} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$ и $\frac{1}{7}$.

Найдем две дроби, разность которых равна $\frac{2}{3}$. Можно привести дробь $\frac{2}{3}$ к другому знаменателю, например, 6. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$. Теперь найдем две дроби со знаменателем 6, разность которых равна $\frac{4}{6}$. Пусть это $\frac{a}{6}$ и $\frac{b}{6}$. Тогда их разность $\frac{a-b}{6} = \frac{4}{6}$, следовательно, $a-b=4$. Возьмем, например, $a=5$ и $b=1$. Искомые дроби — это $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{6}$. Проверим: $\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{6}$.

Найдем две дроби, разность которых равна неправильной дроби $\frac{3}{2}$. Будем искать две дроби со знаменателем 2. Пусть это $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$. Их разность: $\frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a-b}{2}$. Нам нужно, чтобы $\frac{a-b}{2} = \frac{3}{2}$, значит, $a-b=3$. Возьмем, например, $a=4$ и $b=1$. Тогда искомые дроби — это $\frac{4}{2}$ и $\frac{1}{2}$. Проверим: $\frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{4}{2}$ и $\frac{1}{2}$.

4.147. Тракторист должен вспахать $\frac{2}{5}$ поля. До обеда он вспахал $\frac{3}{20}$ поля. Какую часть поля ему осталось вспахать?

Чтобы найти, какую часть поля осталось вспахать, нужно из запланированной части ($ \frac{2}{5} $ поля) вычесть ту часть, которую тракторист уже вспахал ($ \frac{3}{20} $ поля).

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 20 — это 20. Приведём дробь $ \frac{2}{5} $ к знаменателю 20, умножив её числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{8 - 3}{20} = \frac{5}{20} $

Полученную дробь $ \frac{5}{20} $ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5:

$ \frac{5}{20} = \frac{5 \div 5}{20 \div 5} = \frac{1}{4} $

Таким образом, трактористу осталось вспахать $ \frac{1}{4} $ поля.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

4.148. Из двух сёл навстречу друг другу вышли два туриста. Через некоторое время они прошли $\frac{1}{2}$ всего пути, причём первый прошёл $\frac{3}{10}$ всего пути. Какую часть пути прошёл за это время второй турист?

По условию задачи, два туриста, двигаясь навстречу друг другу, вместе прошли $ \frac{1}{2} $ всего пути. Это их общее пройденное расстояние.

Известно, что первый турист прошёл $ \frac{3}{10} $ всего пути.

Чтобы найти, какую часть пути прошёл второй турист, нужно из общего расстояния, которое они прошли вместе, вычесть расстояние, которое прошёл первый турист.

Вычислим разность: $ \frac{1}{2} - \frac{3}{10} $.

Для вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 10 — это 10. Приведём дробь $ \frac{1}{2} $ к знаменателю 10, умножив её числитель и знаменатель на 5:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{5}{10} - \frac{3}{10} = \frac{5-3}{10} = \frac{2}{10} $

Полученную дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $

Следовательно, второй турист прошёл $ \frac{1}{5} $ всего пути.

Ответ: $ \frac{1}{5} $.

4.149. Два тракториста скосили $\frac{5}{9}$ луга, причём первый тракторист скосил $\frac{2}{9}$ луга. Какую часть луга скосил второй тракторист?

Чтобы найти, какую часть луга скосил второй тракторист, необходимо из общей части, которую скосили оба тракториста, вычесть часть, которую скосил первый тракторист.

Общая скошенная часть составляет $ \frac{5}{9} $ луга.

Часть, скошенная первым трактористом, составляет $ \frac{2}{9} $ луга.

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} $

Полученную дробь $ \frac{3}{9} $ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3} $

Следовательно, второй тракторист скосил $ \frac{1}{3} $ луга.

Ответ: $ \frac{1}{3} $ луга.

4.150. а) Взрослый человек спит примерно $\frac{1}{3}$ суток. Какую часть суток он бодрствует?

б) Туристы прошли $\frac{1}{7}$, потом ещё $\frac{3}{7}$ всего маршрута. Какую часть маршрута им осталось пройти?

а) Целые сутки можно представить как единицу, то есть $1$. Известно, что взрослый человек спит $\frac{1}{3}$ суток. Чтобы найти, какую часть суток он бодрствует, необходимо из целого вычесть ту часть, которую он спит.
Представим единицу в виде дроби со знаменателем 3: $1 = \frac{3}{3}$.
Теперь выполним вычитание:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, человек бодрствует $\frac{2}{3}$ суток.
Ответ: $\frac{2}{3}$ суток.

б) Весь маршрут принимаем за единицу, то есть $1$. Сначала найдем, какую общую часть маршрута туристы уже прошли. Для этого сложим пройденные ими части:
$\frac{1}{7} + \frac{3}{7} = \frac{1+3}{7} = \frac{4}{7}$.
Туристы прошли $\frac{4}{7}$ всего маршрута.
Чтобы найти, какая часть маршрута осталась, нужно из всего маршрута (1) вычесть пройденную часть ($\frac{4}{7}$).
Представим единицу в виде дроби со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$.
$1 - \frac{4}{7} = \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = \frac{7-4}{7} = \frac{3}{7}$.
Таким образом, туристам осталось пройти $\frac{3}{7}$ всего маршрута.
Ответ: $\frac{3}{7}$ маршрута.