Номер 4.145, страница 198 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.145. а) $\frac{25}{28} - \frac{18}{35}$

б) $\frac{40}{63} - \frac{35}{72}$

в) $\frac{22}{21} - \frac{21}{22}$

г) $\frac{40}{143} - \frac{41}{156}$

д) $\frac{43}{126} - \frac{41}{135}$

е) $\frac{239}{240} - \frac{229}{288}$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{25}{28} - \frac{18}{35} $, их необходимо привести к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 28 и 35.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 28 = 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 $
$ 35 = 5 \cdot 7 $
НОК(28, 35) будет произведением всех простых множителей, взятых в наибольшей степени: $ 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140 $.
Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 140:
$ \frac{25}{28} = \frac{25 \cdot (140 \div 28)}{140} = \frac{25 \cdot 5}{140} = \frac{125}{140} $
$ \frac{18}{35} = \frac{18 \cdot (140 \div 35)}{140} = \frac{18 \cdot 4}{140} = \frac{72}{140} $
Выполним вычитание:
$ \frac{125}{140} - \frac{72}{140} = \frac{125 - 72}{140} = \frac{53}{140} $
Число 53 является простым, а 140 на 53 не делится, значит, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{53}{140} $

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{40}{63} - \frac{35}{72} $, найдем наименьший общий знаменатель.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7 $
$ 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 $
НОК(63, 72) = $ 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504 $.
Приведем дроби к знаменателю 504:
$ \frac{40}{63} = \frac{40 \cdot (504 \div 63)}{504} = \frac{40 \cdot 8}{504} = \frac{320}{504} $
$ \frac{35}{72} = \frac{35 \cdot (504 \div 72)}{504} = \frac{35 \cdot 7}{504} = \frac{245}{504} $
Выполним вычитание:
$ \frac{320}{504} - \frac{245}{504} = \frac{320 - 245}{504} = \frac{75}{504} $
Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя $ 7+5=12 $, делится на 3. Сумма цифр знаменателя $ 5+0+4=9 $, делится на 3. Значит, дробь можно сократить на 3.
$ \frac{75 \div 3}{504 \div 3} = \frac{25}{168} $
Дробь $ \frac{25}{168} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{25}{168} $

в) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{22}{21} - \frac{21}{22} $, найдем общий знаменатель. Знаменатели 21 и 22 являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1), поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению.
НОК(21, 22) = $ 21 \cdot 22 = 462 $.
Приведем дроби к знаменателю 462:
$ \frac{22}{21} = \frac{22 \cdot 22}{21 \cdot 22} = \frac{484}{462} $
$ \frac{21}{22} = \frac{21 \cdot 21}{22 \cdot 21} = \frac{441}{462} $
Выполним вычитание:
$ \frac{484}{462} - \frac{441}{462} = \frac{484 - 441}{462} = \frac{43}{462} $
Число 43 является простым, а 462 на 43 не делится, значит, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{43}{462} $

г) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{40}{143} - \frac{41}{156} $, найдем наименьший общий знаменатель.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 143 = 11 \cdot 13 $
$ 156 = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 2 \cdot 39 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 $
НОК(143, 156) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13 = 1716 $.
Приведем дроби к знаменателю 1716:
$ \frac{40}{143} = \frac{40 \cdot (1716 \div 143)}{1716} = \frac{40 \cdot 12}{1716} = \frac{480}{1716} $
$ \frac{41}{156} = \frac{41 \cdot (1716 \div 156)}{1716} = \frac{41 \cdot 11}{1716} = \frac{451}{1716} $
Выполним вычитание:
$ \frac{480}{1716} - \frac{451}{1716} = \frac{480 - 451}{1716} = \frac{29}{1716} $
Число 29 является простым, а 1716 на 29 не делится, значит, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{29}{1716} $

д) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{43}{126} - \frac{41}{135} $, найдем наименьший общий знаменатель.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 $
$ 135 = 5 \cdot 27 = 5 \cdot 3^3 $
НОК(126, 135) = $ 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 27 \cdot 5 \cdot 7 = 1890 $.
Приведем дроби к знаменателю 1890:
$ \frac{43}{126} = \frac{43 \cdot (1890 \div 126)}{1890} = \frac{43 \cdot 15}{1890} = \frac{645}{1890} $
$ \frac{41}{135} = \frac{41 \cdot (1890 \div 135)}{1890} = \frac{41 \cdot 14}{1890} = \frac{574}{1890} $
Выполним вычитание:
$ \frac{645}{1890} - \frac{574}{1890} = \frac{645 - 574}{1890} = \frac{71}{1890} $
Число 71 является простым, а 1890 на 71 не делится, значит, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{71}{1890} $

е) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{239}{240} - \frac{229}{288} $, найдем наименьший общий знаменатель.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 240 = 24 \cdot 10 = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 $
$ 288 = 2 \cdot 144 = 2 \cdot 12^2 = 2 \cdot (2^2 \cdot 3)^2 = 2 \cdot (2^4 \cdot 3^2) = 2^5 \cdot 3^2 $
НОК(240, 288) = $ 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 = 32 \cdot 9 \cdot 5 = 1440 $.
Приведем дроби к знаменателю 1440:
$ \frac{239}{240} = \frac{239 \cdot (1440 \div 240)}{1440} = \frac{239 \cdot 6}{1440} = \frac{1434}{1440} $
$ \frac{229}{288} = \frac{229 \cdot (1440 \div 288)}{1440} = \frac{229 \cdot 5}{1440} = \frac{1145}{1440} $
Выполним вычитание:
$ \frac{1434}{1440} - \frac{1145}{1440} = \frac{1434 - 1145}{1440} = \frac{289}{1440} $
Проверим, можно ли сократить дробь. Числитель $ 289 = 17^2 $. Знаменатель 1440 не делится на 17. Следовательно, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{289}{1440} $