Страница 203 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.170. а) $ \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{3}; $

б) $ \frac{2}{5} \cdot 2; $

в) $ \frac{2}{7} \cdot 2; $

г) $ \frac{3}{16} \cdot 5; $

д) $ \frac{11}{20} \cdot 3; $

е) $ \frac{1}{12} \cdot 2; $

ж) $ \frac{2}{9} \cdot 3; $

з) $ \frac{7}{25} \cdot 5; $

и) $ 6 \cdot \frac{5}{12}. $

б) Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

$\frac{2}{5} \cdot 2 = \frac{2 \cdot 2}{5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

в) Умножаем числитель дроби на целое число, а знаменатель оставляем прежним.

$\frac{2}{7} \cdot 2 = \frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{4}{7}$

Ответ: $\frac{4}{7}$

г) Умножаем числитель дроби на целое число.

$\frac{3}{16} \cdot 5 = \frac{3 \cdot 5}{16} = \frac{15}{16}$

Ответ: $\frac{15}{16}$

д) Умножаем числитель дроби на целое число.

$\frac{11}{20} \cdot 3 = \frac{11 \cdot 3}{20} = \frac{33}{20}$

Полученная дробь — неправильная, так как ее числитель больше знаменателя. Выделим целую часть.

$\frac{33}{20} = 1\frac{13}{20}$

Ответ: $1\frac{13}{20}$

е) Умножаем числитель дроби на целое число.

$\frac{1}{12} \cdot 2 = \frac{1 \cdot 2}{12} = \frac{2}{12}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель $2$.

$\frac{2}{12} = \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

ж) Умножаем числитель дроби на целое число.

$\frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{9} = \frac{6}{9}$

Сократим полученную дробь на $3$.

$\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

з) Умножаем числитель дроби на целое число.

$\frac{7}{25} \cdot 5 = \frac{7 \cdot 5}{25} = \frac{35}{25}$

Сократим полученную дробь на $5$.

$\frac{35}{25} = \frac{35 \div 5}{25 \div 5} = \frac{7}{5}$

Это неправильная дробь. Выделим из нее целую часть.

$\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$

Ответ: $1\frac{2}{5}$

и) Чтобы умножить натуральное число на дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить прежним.

$6 \cdot \frac{5}{12} = \frac{6 \cdot 5}{12} = \frac{30}{12}$

Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель $6$.

$\frac{30}{12} = \frac{30 \div 6}{12 \div 6} = \frac{5}{2}$

Так как дробь неправильная, выделим целую часть.

$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $2\frac{1}{2}$

4.171. а) $ \frac{1}{4} \cdot 3$;

б) $ 2 \cdot \frac{7}{15}$;

в) $ \frac{7}{18} \cdot 2$;

г) $ 7 \cdot \frac{1}{8}$;

д) $ \frac{1}{9} \cdot 2$;

е) $ 2 \cdot \frac{13}{20}$;

ж) $ \frac{1}{30} \cdot 3$;

з) $ 3 \cdot \frac{7}{24}$.

а) Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
$ \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{1 \cdot 3}{4} = \frac{3}{4} $
Ответ: $ \frac{3}{4} $

б) Умножим натуральное число на числитель дроби, а знаменатель оставим прежним.
$ 2 \cdot \frac{7}{15} = \frac{2 \cdot 7}{15} = \frac{14}{15} $
Ответ: $ \frac{14}{15} $

в) Умножим числитель дроби на число и выполним сокращение полученной дроби.
$ \frac{7}{18} \cdot 2 = \frac{7 \cdot 2}{18} = \frac{14}{18} $
Сократим числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$ \frac{14 \div 2}{18 \div 2} = \frac{7}{9} $
Ответ: $ \frac{7}{9} $

г) Умножим число на числитель дроби.
$ 7 \cdot \frac{1}{8} = \frac{7 \cdot 1}{8} = \frac{7}{8} $
Ответ: $ \frac{7}{8} $

д) Умножим числитель дроби на натуральное число.
$ \frac{1}{9} \cdot 2 = \frac{1 \cdot 2}{9} = \frac{2}{9} $
Ответ: $ \frac{2}{9} $

е) Умножим число на числитель дроби, а затем сократим полученную дробь.
$ 2 \cdot \frac{13}{20} = \frac{2 \cdot 13}{20} = \frac{26}{20} $
Сократим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{26 \div 2}{20 \div 2} = \frac{13}{10} $
Ответ: $ \frac{13}{10} $

ж) Умножим числитель дроби на число и выполним сокращение.
$ \frac{1}{30} \cdot 3 = \frac{1 \cdot 3}{30} = \frac{3}{30} $
Сократим числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{3 \div 3}{30 \div 3} = \frac{1}{10} $
Ответ: $ \frac{1}{10} $

з) Умножим натуральное число на числитель дроби и сократим результат.
$ 3 \cdot \frac{7}{24} = \frac{3 \cdot 7}{24} = \frac{21}{24} $
Сократим числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$ \frac{21 \div 3}{24 \div 3} = \frac{7}{8} $
Ответ: $ \frac{7}{8} $

4.172. а) $\frac{15}{49} \cdot 14;$

б) $\frac{11}{36} \cdot 27;$

в) $18 \cdot \frac{13}{48};$

г) $24 \cdot \frac{35}{56};$

д) $25 \cdot \frac{7}{30};$

е) $32 \cdot \frac{11}{48};$

ж) $\frac{13}{15} \cdot 6;$

з) $\frac{7}{20} \cdot 15.$

а) Чтобы умножить дробь на натуральное число, представим это число в виде дроби со знаменателем 1 и выполним умножение дробей. Или, что то же самое, умножим числитель дроби на это число, а знаменатель оставим без изменения. Перед вычислением сократим множители в числителе и знаменателе на их общие делители.
$ \frac{15}{49} \cdot 14 = \frac{15 \cdot 14}{49} $
Сокращаем 14 и 49 на их общий делитель 7:
$ \frac{15 \cdot (14:7)}{(49:7)} = \frac{15 \cdot 2}{7} = \frac{30}{7} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:
$ 30 : 7 = 4 $ (ост. 2)
$ \frac{30}{7} = 4\frac{2}{7} $
Ответ: $ 4\frac{2}{7} $

б) Умножим числитель дроби на натуральное число, а знаменатель оставим прежним. Перед вычислением сократим.
$ \frac{11}{36} \cdot 27 = \frac{11 \cdot 27}{36} $
Сокращаем 27 и 36 на их наибольший общий делитель 9:
$ \frac{11 \cdot (27:9)}{(36:9)} = \frac{11 \cdot 3}{4} = \frac{33}{4} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ 33 : 4 = 8 $ (ост. 1)
$ \frac{33}{4} = 8\frac{1}{4} $
Ответ: $ 8\frac{1}{4} $

в) Чтобы умножить натуральное число на дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменения.
$ 18 \cdot \frac{13}{48} = \frac{18 \cdot 13}{48} $
Сокращаем 18 и 48 на их наибольший общий делитель 6:
$ \frac{(18:6) \cdot 13}{(48:6)} = \frac{3 \cdot 13}{8} = \frac{39}{8} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ 39 : 8 = 4 $ (ост. 7)
$ \frac{39}{8} = 4\frac{7}{8} $
Ответ: $ 4\frac{7}{8} $

г) Умножим число на числитель, а знаменатель оставим прежним. Сократим полученную дробь.
$ 24 \cdot \frac{35}{56} = \frac{24 \cdot 35}{56} $
Сократим 24 и 56 на их наибольший общий делитель 8:
$ \frac{(24:8) \cdot 35}{(56:8)} = \frac{3 \cdot 35}{7} $
Теперь сократим 35 и 7 на 7:
$ \frac{3 \cdot (35:7)}{(7:7)} = \frac{3 \cdot 5}{1} = 15 $
Ответ: 15

д) Умножим натуральное число на числитель дроби, а знаменатель оставим без изменения.
$ 25 \cdot \frac{7}{30} = \frac{25 \cdot 7}{30} $
Сокращаем 25 и 30 на их наибольший общий делитель 5:
$ \frac{(25:5) \cdot 7}{(30:5)} = \frac{5 \cdot 7}{6} = \frac{35}{6} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ 35 : 6 = 5 $ (ост. 5)
$ \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6} $
Ответ: $ 5\frac{5}{6} $

е) Умножим число на числитель, а знаменатель оставим прежним. Сократим полученную дробь.
$ 32 \cdot \frac{11}{48} = \frac{32 \cdot 11}{48} $
Сокращаем 32 и 48 на их наибольший общий делитель 16:
$ \frac{(32:16) \cdot 11}{(48:16)} = \frac{2 \cdot 11}{3} = \frac{22}{3} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ 22 : 3 = 7 $ (ост. 1)
$ \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3} $
Ответ: $ 7\frac{1}{3} $

ж) Умножим числитель дроби на натуральное число, а знаменатель оставим прежним.
$ \frac{13}{15} \cdot 6 = \frac{13 \cdot 6}{15} $
Сокращаем 6 и 15 на их общий делитель 3:
$ \frac{13 \cdot (6:3)}{(15:3)} = \frac{13 \cdot 2}{5} = \frac{26}{5} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ 26 : 5 = 5 $ (ост. 1)
$ \frac{26}{5} = 5\frac{1}{5} $
Ответ: $ 5\frac{1}{5} $

з) Умножим числитель дроби на натуральное число, а знаменатель оставим без изменения.
$ \frac{7}{20} \cdot 15 = \frac{7 \cdot 15}{20} $
Сокращаем 15 и 20 на их наибольший общий делитель 5:
$ \frac{7 \cdot (15:5)}{(20:5)} = \frac{7 \cdot 3}{4} = \frac{21}{4} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ 21 : 4 = 5 $ (ост. 1)
$ \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} $
Ответ: $ 5\frac{1}{4} $

4.173. Запишите произведение в виде суммы:

а) $3 \cdot \frac{1}{2}$;

б) $5 \cdot \frac{2}{3}$;

в) $\frac{7}{10} \cdot 4$;

г) $\frac{7}{9} \cdot 6$.

Чтобы записать произведение натурального числа и дроби в виде суммы, необходимо вспомнить определение умножения. Умножение числа a на натуральное число b означает, что число a нужно взять в качестве слагаемого b раз. Это правило применяется и к дробям.

а) Произведение $3 \cdot \frac{1}{2}$ означает, что дробь $\frac{1}{2}$ нужно сложить саму с собой 3 раза.

$3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$.

б) Произведение $5 \cdot \frac{2}{3}$ означает, что дробь $\frac{2}{3}$ нужно сложить саму с собой 5 раз.

$5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$.

в) Произведение $\frac{7}{10} \cdot 4$ благодаря переместительному свойству умножения ($a \cdot b = b \cdot a$) можно записать как $4 \cdot \frac{7}{10}$. Это означает, что дробь $\frac{7}{10}$ нужно сложить саму с собой 4 раза.

$\frac{7}{10} \cdot 4 = \frac{7}{10} + \frac{7}{10} + \frac{7}{10} + \frac{7}{10}$

Ответ: $\frac{7}{10} + \frac{7}{10} + \frac{7}{10} + \frac{7}{10}$.

г) Произведение $\frac{7}{9} \cdot 6$ означает, что дробь $\frac{7}{9}$ нужно сложить саму с собой 6 раз.

$\frac{7}{9} \cdot 6 = \frac{7}{9} + \frac{7}{9} + \frac{7}{9} + \frac{7}{9} + \frac{7}{9} + \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9} + \frac{7}{9} + \frac{7}{9} + \frac{7}{9} + \frac{7}{9} + \frac{7}{9}$.

4.174. Запишите сумму в виде произведения:

а) $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} $;

б) $ \frac{7}{3} + \frac{7}{3} + \frac{7}{3} + \frac{7}{3} $;

в) $ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} $;

г) $ \frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} $.

а) Сумма $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ представляет собой сложение трех одинаковых слагаемых. Сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением. В данном случае мы складываем число $\frac{1}{2}$ три раза. Следовательно, эту сумму можно записать в виде произведения числа слагаемых на само слагаемое: $3 \cdot \frac{1}{2}$.

Ответ: $3 \cdot \frac{1}{2}$

б) Сумма $\frac{7}{3} + \frac{7}{3} + \frac{7}{3} + \frac{7}{3}$ состоит из четырех одинаковых слагаемых. Каждое слагаемое равно $\frac{7}{3}$. Чтобы представить эту сумму в виде произведения, нужно умножить слагаемое на количество раз, которое оно повторяется. Таким образом, получаем: $4 \cdot \frac{7}{3}$.

Ответ: $4 \cdot \frac{7}{3}$

в) В выражении $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ мы видим сумму пяти одинаковых дробей. Чтобы записать эту сумму как произведение, мы умножаем значение дроби $\frac{1}{3}$ на количество слагаемых, то есть на 5. Получаем произведение: $5 \cdot \frac{1}{3}$.

Ответ: $5 \cdot \frac{1}{3}$

г) Сумма $\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}$ содержит шесть одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $\frac{2}{5}$. По определению умножения, эту сумму можно заменить произведением числа слагаемых (6) на величину слагаемого ($\frac{2}{5}$). Записываем в виде произведения: $6 \cdot \frac{2}{5}$.

Ответ: $6 \cdot \frac{2}{5}$

4.175. Упростите числовое выражение:

а) $6 : (\frac{1}{2} + \frac{1}{2});$

б) $12 : (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2});$

В) $(\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}) \cdot \frac{1}{3};$

Г) $(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7}) \cdot \frac{21}{8}.$

а) Выполним сложение в скобках:
$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
Теперь выполним деление:
$ 6 : 1 = 6 $
Ответ: 6

б) Сначала найдем сумму дробей в скобках:
$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+1+1+1}{2} = \frac{4}{2} = 2 $
Теперь выполним деление:
$ 12 : 2 = 6 $
Ответ: 6

в) Сначала выполним сложение в скобках:
$ \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1+1+1}{5} = \frac{3}{5} $
Теперь выполним умножение. Сократим множитель 3 в числителе и знаменателе:
$ \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{\cancel{3}}{\cancel{3}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} $
Ответ: $ \frac{1}{5} $

г) Сначала найдем сумму дробей в скобках:
$ \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{2+2+2+2}{7} = \frac{8}{7} $
Теперь выполним умножение. Сократим множитель 8 в числителе и знаменателе, а также 21 и 7:
$ \frac{8}{7} \cdot \frac{21}{8} = \frac{8 \cdot 21}{7 \cdot 8} = \frac{\cancel{8} \cdot \cancel{21}^3}{\cancel{7}_1 \cdot \cancel{8}} = \frac{3}{1} = 3 $
Ответ: 3

4.176. Укажите числа, обратные данным:

а) $ \frac{1}{2} $; $ \frac{1}{3} $; $ \frac{2}{5} $; $ \frac{5}{3} $;

б) $ \frac{5}{6} $; $ \frac{6}{5} $; $ \frac{3}{1} $; $ \frac{8}{1} $;

в) 2; 3; 4; 1.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти число, обратное данному, нужно 1 разделить на это число. Для обыкновенной дроби $ \frac{a}{b} $ обратным числом является дробь $ \frac{b}{a} $. Для натурального числа $n$ обратным числом является дробь $ \frac{1}{n} $, так как любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $ n = \frac{n}{1} $.

а)

Для числа $ \frac{1}{2} $ обратным является $ \frac{2}{1} = 2 $.
Для числа $ \frac{1}{3} $ обратным является $ \frac{3}{1} = 3 $.
Для числа $ \frac{2}{5} $ обратным является $ \frac{5}{2} $.
Для числа $ \frac{5}{3} $ обратным является $ \frac{3}{5} $.
Ответ: $2$; $3$; $\frac{5}{2}$; $\frac{3}{5}$.

б)

Для числа $ \frac{5}{6} $ обратным является $ \frac{6}{5} $.
Для числа $ \frac{6}{5} $ обратным является $ \frac{5}{6} $.
Для числа $ \frac{3}{1} $ (или 3) обратным является $ \frac{1}{3} $.
Для числа $ \frac{8}{1} $ (или 8) обратным является $ \frac{1}{8} $.
Ответ: $\frac{6}{5}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{8}$.

в)

Для числа $2$ (которое можно записать как $ \frac{2}{1} $) обратным является $ \frac{1}{2} $.
Для числа $3$ (которое можно записать как $ \frac{3}{1} $) обратным является $ \frac{1}{3} $.
Для числа $4$ (которое можно записать как $ \frac{4}{1} $) обратным является $ \frac{1}{4} $.
Для числа $1$ (которое можно записать как $ \frac{1}{1} $) обратным является $ \frac{1}{1} = 1 $.
Ответ: $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $1$.

4.177. Являются ли числа $\frac{2}{7}$ и $\frac{63}{18}$ взаимно обратными? Ответ обоснуйте.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы проверить, являются ли числа $\frac{2}{7}$ и $\frac{63}{18}$ взаимно обратными, нужно найти их произведение и проверить, равно ли оно единице.

Вычислим произведение:

$\frac{2}{7} \cdot \frac{63}{18}$

Перед умножением можно сократить дроби, чтобы упростить вычисления. Сократим 2 и 18 на 2, а 63 и 7 на 7:

$\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{7}^1} \cdot \frac{\cancel{63}^9}{\cancel{18}^9} = \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9} = 1 \cdot 1 = 1$

Поскольку произведение чисел $\frac{2}{7}$ и $\frac{63}{18}$ равно 1, эти числа являются взаимно обратными.

Другой способ обоснования — найти число, обратное к $\frac{2}{7}$, и сравнить его с числом $\frac{63}{18}$. Обратным к $\frac{2}{7}$ является число $\frac{7}{2}$. Теперь сократим дробь $\frac{63}{18}$, разделив её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 9:

$\frac{63}{18} = \frac{63 \div 9}{18 \div 9} = \frac{7}{2}$

Так как $\frac{63}{18} = \frac{7}{2}$, а $\frac{7}{2}$ является обратным к $\frac{2}{7}$, то исходные числа взаимно обратные.

Ответ: да, числа являются взаимно обратными, так как их произведение равно 1.

4.178. а) Вычислите произведение $ \frac{1}{2} $ и числа, обратного числу 3.

б) Вычислите произведение 7 и числа, обратного числу $ \frac{1}{3} $.

а)

Чтобы вычислить произведение числа $\frac{1}{2}$ и числа, обратного числу 3, нужно сначала найти число, обратное 3.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Для любого числа $a$ (кроме 0) обратным ему является число $\frac{1}{a}$.

Следовательно, число, обратное числу 3, это $\frac{1}{3}$.

Теперь найдем произведение чисел $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б)

Чтобы вычислить произведение числа 7 и числа, обратного числу $\frac{1}{3}$, нужно сначала найти число, обратное $\frac{1}{3}$.

Для дроби $\frac{a}{b}$ обратной является дробь $\frac{b}{a}$.

Следовательно, число, обратное дроби $\frac{1}{3}$, это дробь $\frac{3}{1}$, что равно 3.

Теперь найдем произведение чисел 7 и 3:

$7 \cdot 3 = 21$

Ответ: 21.