Страница 209 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.195 a) Как разделить одну дробь на другую?

б) Как разделить дробь на натуральное число?

a) Как разделить одну дробь на другую?

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, необходимо выполнить следующие действия:

1. Первую дробь (делимое) оставить без изменений.
2. Знак деления заменить на знак умножения.
3. Вторую дробь (делитель) заменить на обратную ей (перевернуть, то есть поменять местами числитель и знаменатель).
4. Выполнить умножение дробей: перемножить числители и перемножить знаменатели.

В общем виде это правило можно записать формулой:

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Пример:

Разделим дробь $\frac{3}{5}$ на дробь $\frac{2}{7}$.

Для этого мы умножаем первую дробь $\frac{3}{5}$ на дробь, обратную второй, то есть на $\frac{7}{2}$.

$\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \frac{21}{10} = 2\frac{1}{10}$

Ответ: Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

б) Как разделить дробь на натуральное число?

Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель этой дроби умножить на данное натуральное число, а числитель оставить без изменений.

Это правило легко понять, если представить натуральное число $n$ в виде дроби со знаменателем 1, то есть $n = \frac{n}{1}$. Тогда деление дроби на натуральное число сводится к делению дроби на дробь, как в пункте а):

$\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \div \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot n} = \frac{a}{b \cdot n}$

Пример:

Разделим дробь $\frac{4}{9}$ на натуральное число 5.

Умножим знаменатель дроби (9) на число (5), а числитель (4) оставим без изменений.

$\frac{4}{9} \div 5 = \frac{4}{9 \cdot 5} = \frac{4}{45}$

Ответ: Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить прежним.

4.196. Можно ли делить:

а) нуль на дробь, отличную от нуля;

б) дробь на нуль;

в) натуральное число на натуральное число;

г) нуль на нуль?

а) нуль на дробь, отличную от нуля;
Да, делить нуль на любую дробь, не равную нулю, можно. Результатом такого деления всегда будет нуль. Это следует из определения операции деления: если $a \div b = c$, то это значит, что $c \times b = a$. В данном случае мы имеем $0 \div \frac{m}{n} = x$, где дробь $\frac{m}{n} \neq 0$. Это равенство эквивалентно уравнению $x \times \frac{m}{n} = 0$. Поскольку $\frac{m}{n}$ не равно нулю, единственным решением этого уравнения является $x=0$. Например, $0 \div \frac{3}{4} = 0$, так как $0 \times \frac{3}{4} = 0$.
Ответ: Да, можно.

б) дробь на нуль;
Нет, делить на нуль нельзя. Эта операция не определена в математике. Согласно определению деления, если $a \div b = c$, то должно выполняться равенство $c \times b = a$. Если мы попытаемся разделить дробь $\frac{p}{q}$ на 0, мы будем искать такое число $x$, что $x \times 0 = \frac{p}{q}$.
1. Если дробь $\frac{p}{q}$ не равна нулю, то такого числа $x$ не существует, так как произведение любого числа на нуль всегда равно нулю, а не ненулевому числу.
2. Если дробь $\frac{p}{q}$ равна нулю, то мы получаем случай $0 \div 0$, который является неопределенностью (рассмотрен в пункте г).
В любом случае, однозначно выполнить операцию деления на нуль невозможно.
Ответ: Нет, нельзя.

в) натуральное число на натуральное число;
Да, делить натуральное число на натуральное число можно. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$), поэтому делитель никогда не будет равен нулю. Следовательно, операция деления всегда выполнима. Результатом деления двух натуральных чисел является положительное рациональное число (дробь). Например, $6 \div 3 = 2$ (результат — натуральное число), а $7 \div 2 = 3,5$ или $\frac{7}{2}$ (результат — дробное число). В обоих случаях выполнить деление возможно.
Ответ: Да, можно.

г) нуль на нуль?
Нет, делить нуль на нуль нельзя. Эта операция считается неопределенной. Используя определение деления, для выражения $0 \div 0 = x$ мы должны найти такое число $x$, для которого выполняется равенство $x \times 0 = 0$. Однако этому равенству удовлетворяет абсолютно любое число, так как произведение любого числа на нуль равно нулю. Поскольку результат не является единственным и однозначно определенным, операция деления нуля на нуль не имеет смысла в стандартной арифметике.
Ответ: Нет, нельзя.