Страница 213 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.216. Что больше:

а) $\frac{3}{5}$ от 45 м или $\frac{4}{5}$ от 30 м;

б) $\frac{2}{3}$ от $\frac{3}{5}$ м или $\frac{3}{5}$ от $\frac{2}{3}$ м?

а)

Для того чтобы сравнить два значения, необходимо их вычислить. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

1. Вычислим первое значение: $\frac{3}{5}$ от 45 м.

$\frac{3}{5} \cdot 45 = \frac{3 \cdot 45}{5} = 3 \cdot \frac{45}{5} = 3 \cdot 9 = 27$ м.

2. Вычислим второе значение: $\frac{4}{5}$ от 30 м.

$\frac{4}{5} \cdot 30 = \frac{4 \cdot 30}{5} = 4 \cdot \frac{30}{5} = 4 \cdot 6 = 24$ м.

3. Теперь сравним полученные результаты:

$27$ м > $24$ м.

Следовательно, $\frac{3}{5}$ от 45 м больше, чем $\frac{4}{5}$ от 30 м.

Ответ: $\frac{3}{5}$ от 45 м.

б)

Чтобы найти дробь от дроби, нужно перемножить эти дроби.

1. Вычислим первое значение: $\frac{2}{3}$ от $\frac{3}{5}$ м.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ м.

2. Вычислим второе значение: $\frac{3}{5}$ от $\frac{2}{3}$ м.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ м.

3. Сравним полученные результаты:

$\frac{2}{5}$ м = $\frac{2}{5}$ м.

Значения равны. Это следует из переместительного свойства умножения, согласно которому от перестановки множителей произведение не меняется: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3}$.

Ответ: эти величины равны.

4.217. а) Уменьшите 900 р. на $\frac{1}{3}$ этой суммы.

б) Увеличьте 150 р. на $\frac{2}{5}$ этой суммы.

а) Чтобы уменьшить число 900 на $\frac{1}{3}$ от этого числа, необходимо сначала найти значение этой дроби, а затем вычесть его из исходного числа.

1. Найдём $\frac{1}{3}$ от 900 р.:

$900 \cdot \frac{1}{3} = \frac{900}{3} = 300$ р.

2. Уменьшим 900 р. на полученную сумму:

$900 - 300 = 600$ р.

Ответ: 600 р.

б) Чтобы увеличить число 150 на $\frac{2}{5}$ от этого числа, необходимо сначала найти значение этой дроби, а затем прибавить его к исходному числу.

1. Найдём $\frac{2}{5}$ от 150 р.:

$150 \cdot \frac{2}{5} = \frac{150 \cdot 2}{5} = \frac{300}{5} = 60$ р.

2. Увеличим 150 р. на полученную сумму:

$150 + 60 = 210$ р.

Ответ: 210 р.

4.218. Число 200 увеличили на $\frac{1}{10}$ этого числа, полученный результат уменьшили на его $\frac{1}{10}$. Получилось ли снова число 200? Проверьте.

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить вычисления в два этапа.

1. Увеличение числа 200 на $\frac{1}{10}$ этого числа.

Сначала вычислим, чему равна $\frac{1}{10}$ от числа 200:

$200 \cdot \frac{1}{10} = \frac{200}{10} = 20$

Затем увеличим число 200 на полученное значение:

$200 + 20 = 220$

Итак, после первого действия мы получили число 220.

2. Уменьшение полученного результата на его $\frac{1}{10}$.

Теперь необходимо уменьшить полученный результат, то есть число 220, на его $\frac{1}{10}$. Обратите внимание, что мы находим долю от нового числа (220), а не от исходного (200).

Вычислим $\frac{1}{10}$ от числа 220:

$220 \cdot \frac{1}{10} = \frac{220}{10} = 22$

Теперь уменьшим число 220 на это значение:

$220 - 22 = 198$

3. Проверка.

Итоговый результат равен 198. Сравним его с исходным числом 200.

$198 \neq 200$

Таким образом, после выполнения всех действий исходное число 200 не получилось. Это связано с тем, что $\frac{1}{10}$ в первом действии бралась от числа 200 (что равно 20), а во втором — от большего числа 220 (что равно 22). Поэтому мы сначала прибавили 20, а затем вычли 22.

Ответ: Нет, снова число 200 не получилось. В результате получилось число 198.

4.219. а) Найдите число, $\frac{2}{5}$ которого равны 60.

б) Найдите число, $\frac{3}{11}$ которого равны 99.

а) Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, необходимо значение этой части разделить на данную дробь. В этой задаче нам дано, что $\frac{2}{5}$ от некоторого числа равны 60. Обозначим искомое число как $x$. Тогда можно составить следующее уравнение:

$\frac{2}{5} \cdot x = 60$

Для того чтобы найти $x$, разделим 60 на дробь $\frac{2}{5}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь (в данном случае на $\frac{5}{2}$):

$x = 60 \div \frac{2}{5} = 60 \cdot \frac{5}{2}$

Выполним вычисления:

$x = \frac{60 \cdot 5}{2} = 30 \cdot 5 = 150$

Таким образом, искомое число равно 150.

Ответ: 150

б) Решим вторую задачу, используя тот же принцип. Нам необходимо найти число, $\frac{3}{11}$ которого равны 99. Обозначим это число как $y$. Составим уравнение:

$\frac{3}{11} \cdot y = 99$

Чтобы найти $y$, разделим 99 на дробь $\frac{3}{11}$. Это то же самое, что умножить 99 на обратную дробь $\frac{11}{3}$:

$y = 99 \div \frac{3}{11} = 99 \cdot \frac{11}{3}$

Выполним вычисления:

$y = \frac{99 \cdot 11}{3} = 33 \cdot 11 = 363$

Следовательно, искомое число равно 363.

Ответ: 363

4.220. а) За 4 дня похода израсходовали $\frac{2}{5}$ всех запасённых продуктов. На сколько дней было запасено продуктов?

б) На стоянке автомашин было 15 жигулей. Они составляли $\frac{3}{5}$ всех автомашин. Сколько всего автомашин было на стоянке?

а)

По условию задачи, за 4 дня похода было израсходовано $\frac{2}{5}$ всех запасённых продуктов. Это означает, что 4 дня составляют $\frac{2}{5}$ от общего количества дней, на которое хватило бы продуктов.

Чтобы найти общее количество дней (целое), зная его часть (4 дня) и соответствующую этой части дробь ($\frac{2}{5}$), нужно разделить эту часть на дробь.

Вычислим общее количество дней:

$4 \div \frac{2}{5} = 4 \times \frac{5}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$ (дней).

Следовательно, продуктов было запасено на 10 дней.

Ответ: на 10 дней.

б)

Из условия известно, что на стоянке было 15 жигулей, и это количество составляет $\frac{3}{5}$ от общего числа всех автомашин.

Чтобы найти общее количество автомашин (целое), зная его часть (15 машин) и дробь, которую эта часть составляет ($\frac{3}{5}$), необходимо разделить известную часть на эту дробь.

Вычислим общее количество автомашин на стоянке:

$15 \div \frac{3}{5} = 15 \times \frac{5}{3} = \frac{15 \times 5}{3} = 5 \times 5 = 25$ (автомашин).

Таким образом, всего на стоянке было 25 автомашин.

Ответ: 25 автомашин.

4.221. а) Число уменьшили на $ \frac{3}{10} $ этого числа, получилось 210. Найдите число.

б) Задумали число, увеличили его на $ \frac{1}{7} $ этого числа и получили 56. Какое число задумали?

а)

Пусть искомое число равно $x$. Когда число уменьшают на $\frac{3}{10}$ этого числа, это означает, что от исходного числа отнимают $\frac{3}{10}x$.

Оставшаяся часть числа составляет: $1 - \frac{3}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$.

Таким образом, $\frac{7}{10}$ от исходного числа равно 210. Можно составить уравнение:

$\frac{7}{10}x = 210$

Чтобы найти $x$ (целое число по его части), нужно значение части разделить на дробь:

$x = 210 : \frac{7}{10}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = 210 \cdot \frac{10}{7} = \frac{210 \cdot 10}{7} = 30 \cdot 10 = 300$

Итак, искомое число равно 300.

Ответ: 300

б)

Пусть задуманное число равно $y$. Когда число увеличивают на $\frac{1}{7}$ этого числа, это означает, что к исходному числу прибавляют $\frac{1}{7}y$.

Получившееся число составляет: $1 + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$ от исходного числа.

Таким образом, $\frac{8}{7}$ от задуманного числа равно 56. Составим уравнение:

$\frac{8}{7}y = 56$

Чтобы найти $y$, нужно 56 разделить на дробь $\frac{8}{7}$:

$y = 56 : \frac{8}{7}$

$y = 56 \cdot \frac{7}{8} = \frac{56 \cdot 7}{8} = 7 \cdot 7 = 49$

Итак, задуманное число равно 49.

Ответ: 49

4.222. Столб вкопали в землю на $\frac{1}{3}$ его длины. Он возвышается над землёй на 2 м 30 см. Определите длину столба.

Обозначим полную длину столба переменной $L$.

Согласно условию задачи, столб вкопали в землю на $\frac{1}{3}$ его длины. Это значит, что подземная часть столба равна $\frac{1}{3}L$.

Следовательно, часть столба, которая возвышается над землёй, составляет оставшуюся часть от целого. Чтобы найти эту часть, вычтем долю подземной части из единицы (которая представляет всю длину столба):$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$Таким образом, надземная часть составляет $\frac{2}{3}$ всей длины столба, то есть $\frac{2}{3}L$.

В условии сказано, что надземная часть равна 2 м 30 см. Для удобства вычислений переведем эту величину в сантиметры:$2 \text{ м } 30 \text{ см} = 2 \cdot 100 \text{ см} + 30 \text{ см} = 230 \text{ см}$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв выражение для надземной части к ее известной длине:$\frac{2}{3}L = 230 \text{ см}$

Чтобы найти полную длину столба $L$, решим это уравнение. Для этого нужно разделить известную длину (230 см) на соответствующую ей долю ($\frac{2}{3}$):$L = 230 : \frac{2}{3}$$L = 230 \cdot \frac{3}{2}$$L = \frac{230 \cdot 3}{2} = \frac{690}{2} = 345 \text{ см}$

Осталось перевести полученное значение обратно в метры и сантиметры:$345 \text{ см} = 300 \text{ см} + 45 \text{ см} = 3 \text{ м } 45 \text{ см}$.
Ответ: 3 м 45 см.

4.223. a) В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал $2/5$, после обеда – $1/3$ привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько арбузов привезли в магазин?

б) Некто израсходовал половину своих денег и $1/3$ остатка. После этого у него осталось 600 р. Сколько денег было у него первоначально?

а)

Пусть $x$ — это общее количество арбузов, которое привезли в магазин. Решим задачу по шагам.

1. Сначала найдём, какую часть от всех арбузов продали за весь день. Для этого сложим часть, проданную до обеда, и часть, проданную после обеда:

$ \frac{2}{5} + \frac{1}{3} $

Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю 15:

$ \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15} $

Итак, за весь день было продано $ \frac{11}{15} $ всех привезённых арбузов.

2. Теперь найдём, какая часть арбузов осталась непроданной. Для этого вычтем из всего количества (которое принимаем за 1) проданную часть:

$ 1 - \frac{11}{15} = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15} $

Осталось продать $ \frac{4}{15} $ всех арбузов.

3. Из условия задачи мы знаем, что осталось продать 80 арбузов. Это значит, что $ \frac{4}{15} $ от общего количества и есть 80. Чтобы найти целое по его части, нужно число разделить на дробь:

$ 80 : \frac{4}{15} = 80 \cdot \frac{15}{4} = \frac{80 \cdot 15}{4} = 20 \cdot 15 = 300 $

Таким образом, всего в магазин привезли 300 арбузов.

Ответ: 300 арбузов.

б)

Эту задачу удобнее решать с конца, выполняя обратные действия.

1. В конце у человека осталось 600 р. Это произошло после того, как он израсходовал $ \frac{1}{3} $ остатка. Значит, 600 р. составляют $ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $ от того остатка, который был перед последней тратой.

2. Найдём сумму, которая была у него до того, как он потратил $ \frac{1}{3} $ остатка. Если 600 р. — это $ \frac{2}{3} $, то чтобы найти всю сумму (целое), нужно разделить число на эту дробь:

$ 600 : \frac{2}{3} = 600 \cdot \frac{3}{2} = 300 \cdot 3 = 900 $ р.

Итак, после первой траты (когда он израсходовал половину денег) у него осталось 900 р.

3. Эти 900 р. являются половиной ($ \frac{1}{2} $) первоначальной суммы денег. Чтобы найти первоначальную сумму, нужно эту половину умножить на 2:

$ 900 \cdot 2 = 1800 $ р.

Следовательно, первоначально у него было 1800 рублей.

Ответ: 1800 р.