Страница 214 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.224. Из бочки вылили $\frac{1}{2}$ находившейся в ней воды, потом $\frac{1}{2}$ остатка, потом $\frac{1}{2}$ нового остатка. Какую часть воды вылили?

Для решения задачи примем весь объем воды в бочке за 1. Будем последовательно находить, какую часть воды выливали каждый раз, а затем сложим эти части.

1. Первый раз вылили $\frac{1}{2}$ находившейся в бочке воды.
Это составляет $\frac{1}{2}$ от всего объема.

2. Второй раз вылили $\frac{1}{2}$ остатка.
Сначала найдем, какая часть воды осталась в бочке после первого раза:
$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Теперь найдем, какую часть от всего объема вылили во второй раз, взяв половину от остатка:
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

3. Третий раз вылили $\frac{1}{2}$ нового остатка.
Найдем, какая часть воды осталась после второго раза (новый остаток):
$\frac{1}{2} \text{ (остаток после первого раза)} - \frac{1}{4} \text{ (вылили во второй раз)} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
Теперь найдем, какую часть от всего объема вылили в третий раз, взяв половину от нового остатка:
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

4. Найдем, какую часть воды вылили всего.
Для этого нужно сложить все части, которые выливали:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{1 \times 4}{2 \times 4} + \frac{1 \times 2}{4 \times 2} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

4.225. Задача Бхаскары (Индия, XII в.). Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве — третья доля этого множества, Вишну — пятая и Солнцу — шестая; четвёртую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общее количество цветков лотоса, которое было изначально.

Согласно условию, цветки были распределены следующим образом:

• Шиве была принесена в жертву треть, то есть $\frac{1}{3}x$ цветков.
• Вишну — пятая часть, то есть $\frac{1}{5}x$ цветков.
• Солнцу — шестая часть, то есть $\frac{1}{6}x$ цветков.
• Бхавани получила четверть, то есть $\frac{1}{4}x$ цветков.
• Уважаемый учитель получил оставшиеся 6 цветков.

Сумма всех этих частей должна быть равна исходному общему количеству цветков $x$. На основании этого мы можем составить уравнение:

$\frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{x}{6} + \frac{x}{4} + 6 = x$

Чтобы решить это уравнение, сначала сложим все дробные части, содержащие $x$. Для этого необходимо найти наименьший общий знаменатель для чисел 3, 5, 6 и 4. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 60.

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю 60:

$\frac{20x}{60} + \frac{12x}{60} + \frac{10x}{60} + \frac{15x}{60} + 6 = x$

Сложим дроби в левой части уравнения:

$\frac{20x + 12x + 10x + 15x}{60} + 6 = x$

$\frac{57x}{60} + 6 = x$

Теперь перенесём все слагаемые с $x$ в одну сторону, чтобы выразить через них число 6:

$6 = x - \frac{57x}{60}$

Представим $x$ в виде дроби со знаменателем 60, то есть $x = \frac{60x}{60}$:

$6 = \frac{60x}{60} - \frac{57x}{60}$

$6 = \frac{60x - 57x}{60}$

$6 = \frac{3x}{60}$

Можно сократить дробь в правой части: $\frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.

$6 = \frac{1}{20}x$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 20:

$x = 6 \cdot 20$

$x = 120$

Таким образом, изначально было 120 цветков.

Проверка:

• Шиве: $\frac{1}{3} \cdot 120 = 40$ цветков.
• Вишну: $\frac{1}{5} \cdot 120 = 24$ цветка.
• Солнцу: $\frac{1}{6} \cdot 120 = 20$ цветков.
• Бхавани: $\frac{1}{4} \cdot 120 = 30$ цветков.
• Учителю: 6 цветков.

Общая сумма: $40 + 24 + 20 + 30 + 6 = 120$. Решение верное.

Ответ: 120 цветков.

4.226. Капитан на вопрос «Сколько у него в команде людей?» ответствовал, что $\frac{2}{5}$ его команды в карауле, $\frac{2}{7}$ в работе, $\frac{1}{4}$ в лазарете да ещё 27 человек налицо. Спрашивается число людей его команды.

Пусть $x$ — общее число людей в команде. Согласно условию задачи, можно составить уравнение, приравняв общее число людей к сумме всех его частей:

$x = \frac{2}{5}x + \frac{2}{7}x + \frac{1}{4}x + 27$

Чтобы решить это уравнение, сначала перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть:

$x - \frac{2}{5}x - \frac{2}{7}x - \frac{1}{4}x = 27$

Вынесем $x$ за скобки:

$x \left(1 - \frac{2}{5} - \frac{2}{7} - \frac{1}{4}\right) = 27$

Теперь найдем значение выражения в скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 7 и 4 равен $5 \cdot 7 \cdot 4 = 140$.

$1 - \frac{2}{5} - \frac{2}{7} - \frac{1}{4} = \frac{140}{140} - \frac{2 \cdot 28}{140} - \frac{2 \cdot 20}{140} - \frac{1 \cdot 35}{140} = \frac{140 - 56 - 40 - 35}{140}$

Выполним вычитание в числителе:

$140 - 56 - 40 - 35 = 140 - 131 = 9$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{9}{140}$.

Подставим это значение обратно в уравнение:

$x \cdot \frac{9}{140} = 27$

Теперь найдем $x$:

$x = 27 \div \frac{9}{140} = 27 \cdot \frac{140}{9}$

$x = \frac{27 \cdot 140}{9} = 3 \cdot 140 = 420$

Следовательно, в команде 420 человек.

Ответ: 420

4.227. Задача Герона Александрийского (I в.).

Бассейн ёмкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которых одна даёт в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час — четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?

Для решения задачи необходимо определить общую скорость наполнения бассейна двумя трубами, а затем разделить общий объем бассейна на эту скорость, чтобы найти время.

1. Сначала найдем совместную производительность (скорость наполнения) обеих труб.

• Производительность первой трубы: $v_1 = 1$ кубическая единица в час.
• Производительность второй трубы: $v_2 = 4$ кубические единицы в час.

Когда обе трубы работают одновременно, их производительности складываются. Таким образом, совместная производительность $v_{общ}$ составляет:$v_{общ} = v_1 + v_2 = 1 + 4 = 5$ кубических единиц в час.

2. Теперь, зная общую производительность, найдем время, необходимое для заполнения всего бассейна.

• Объем бассейна: $V = 12$ кубических единиц.

Время $t$ рассчитывается по формуле: $t = \frac{V}{v_{общ}}$.Подставим известные значения:$t = \frac{12}{5}$ часа.

Этот результат можно представить в виде десятичной дроби или в часах и минутах:$t = \frac{12}{5} = 2,4$ часа.

Чтобы перевести $0,4$ часа в минуты, умножим это значение на 60:$0,4 \text{ часа} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 24$ минуты.

Следовательно, для наполнения бассейна потребуется 2 часа и 24 минуты.

Ответ: Бассейн наполнится за $2,4$ часа (или 2 часа 24 минуты).