Номер 4.190, страница 206 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.190. Верно ли равенство? Ответ обоснуйте.

а) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$;

б) $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}$;

В) $\frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{3}{4} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$;

Г) $\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 8$.

а) $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} $

Данное равенство верно. Оно является иллюстрацией переместительного (коммутативного) свойства умножения, которое гласит, что от перестановки множителей произведение не меняется. Чтобы убедиться в этом, вычислим значения левой и правой частей равенства.

Левая часть: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $.

Правая часть: $ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} $.

Поскольку $ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} $, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

б) $ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} $

Данное равенство верно. Как и в предыдущем примере, здесь применяется переместительное (коммутативное) свойство умножения. Множители в правой части записаны в другом порядке, но их состав тот же, что и в левой части. Проверим это вычислением.

Левая часть: $ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{4 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{6}{84} $. Сократив дробь на 6, получаем $ \frac{1}{14} $.

Правая часть: $ \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 2}{7 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{6}{84} $. Сократив дробь на 6, получаем $ \frac{1}{14} $.

Поскольку $ \frac{1}{14} = \frac{1}{14} $, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

в) $ \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{4}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} $

Данное равенство верно. Это пример распределительного (дистрибутивного) свойства умножения относительно сложения, которое формулируется как $ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $. Проверим равенство, вычислив обе его части.

Вычислим левую часть:

1. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 20: $ \frac{1}{5} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{20} + \frac{3 \cdot 5}{20} = \frac{4 + 15}{20} = \frac{19}{20} $.

2. Теперь умножим: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{19}{20} = \frac{2 \cdot 19}{3 \cdot 20} = \frac{1 \cdot 19}{3 \cdot 10} = \frac{19}{30} $.

Вычислим правую часть:

1. Вычислим первое произведение: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15} $.

2. Вычислим второе произведение: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $.

3. Сложим полученные результаты, приведя их к общему знаменателю 30: $ \frac{2}{15} + \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{30} + \frac{1 \cdot 15}{30} = \frac{4 + 15}{30} = \frac{19}{30} $.

Поскольку $ \frac{19}{30} = \frac{19}{30} $, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

г) $ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 8 $

Данное равенство верно. Это также пример распределительного (дистрибутивного) свойства умножения относительно сложения: $ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $. Проверим равенство вычислением.

Вычислим левую часть:

1. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 4: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.

2. Теперь умножим: $ \frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{3 \cdot 8}{4} = \frac{24}{4} = 6 $.

Вычислим правую часть:

1. Вычислим первое произведение: $ \frac{1}{2} \cdot 8 = \frac{8}{2} = 4 $.

2. Вычислим второе произведение: $ \frac{1}{4} \cdot 8 = \frac{8}{4} = 2 $.

3. Сложим полученные результаты: $ 4 + 2 = 6 $.

Поскольку $ 6 = 6 $, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.