Страница 222 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.255 Как складывают смешанные дроби? Приведите примеры.

Как складывают смешанные дроби

Существует два основных способа сложения смешанных дробей.

Способ 1: По отдельности сложить целые и дробные части.

1. Сложить целые части смешанных дробей.
2. Сложить их дробные части. Если знаменатели разные, их нужно предварительно привести к общему знаменателю.
3. Сложить полученную целую часть и полученную дробь.
4. Если в результате сложения дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить из нее целую часть и прибавить к уже имеющейся целой части.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби.

1. Преобразовать каждую смешанную дробь в неправильную.
2. Сложить полученные неправильные дроби (приведя их к общему знаменателю, если это необходимо).
3. Если результат является неправильной дробью, преобразовать его обратно в смешанную дробь.

Примеры

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложим $2\frac{1}{7}$ и $4\frac{3}{7}$.

Складываем целые части: $2 + 4 = 6$.

Складываем дробные части: $\frac{1}{7} + \frac{3}{7} = \frac{1+3}{7} = \frac{4}{7}$.

Складываем результаты: $6 + \frac{4}{7} = 6\frac{4}{7}$.

Ответ: $2\frac{1}{7} + 4\frac{3}{7} = 6\frac{4}{7}$.

2. Сложение дробей с разными знаменателями

Сложим $3\frac{1}{4}$ и $5\frac{2}{3}$.

Сначала сложим целые части: $3 + 5 = 8$.

Затем сложим дробные части. Для этого приведем их к общему знаменателю, который равен 12.

$\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{3+8}{12} = \frac{11}{12}$.

Теперь сложим полученные результаты: $8 + \frac{11}{12} = 8\frac{11}{12}$.

Ответ: $3\frac{1}{4} + 5\frac{2}{3} = 8\frac{11}{12}$.

3. Сложение, при котором сумма дробных частей — неправильная дробь

Сложим $1\frac{5}{8}$ и $2\frac{7}{8}$.

Складываем целые части: $1 + 2 = 3$.

Складываем дробные части: $\frac{5}{8} + \frac{7}{8} = \frac{5+7}{8} = \frac{12}{8}$.

Дробь $\frac{12}{8}$ — неправильная. Выделим из нее целую часть: $\frac{12}{8} = 1\frac{4}{8}$. Сократим дробную часть: $1\frac{4}{8} = 1\frac{1}{2}$.

Прибавим эту часть к сумме целых частей: $3 + 1\frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}$.

Проверим вторым способом:

$1\frac{5}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{13}{8}$

$2\frac{7}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{23}{8}$

$\frac{13}{8} + \frac{23}{8} = \frac{13+23}{8} = \frac{36}{8}$.

Сократим дробь: $\frac{36}{8} = \frac{9}{2}$.

Преобразуем в смешанную дробь: $\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.

Результаты совпали.

Ответ: $1\frac{5}{8} + 2\frac{7}{8} = 4\frac{1}{2}$.

4.256. Запишите сумму в виде смешанной дроби:

a) $5 + \frac{1}{4}$;

б) $4 + \frac{3}{7}$;

в) $3 + \frac{3}{5}$;

г) $12 + \frac{15}{17}$.

а) Чтобы записать сумму целого числа и правильной дроби в виде смешанной дроби, нужно целое число записать как целую часть, а правильную дробь — как дробную часть смешанной дроби. В данном случае целая часть равна $5$, а дробная часть равна $\frac{1}{4}$.
Таким образом, $5 + \frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$.
Ответ: $5\frac{1}{4}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, для суммы $4 + \frac{3}{7}$ целой частью будет число $4$, а дробной частью — дробь $\frac{3}{7}$.
Таким образом, $4 + \frac{3}{7} = 4\frac{3}{7}$.
Ответ: $4\frac{3}{7}$.

в) Для суммы $3 + \frac{3}{5}$ целая часть смешанной дроби равна $3$, а дробная часть равна $\frac{3}{5}$.
Таким образом, $3 + \frac{3}{5} = 3\frac{3}{5}$.
Ответ: $3\frac{3}{5}$.

г) Для суммы $12 + \frac{15}{17}$ целая часть смешанной дроби равна $12$, а дробная часть равна $\frac{15}{17}$.
Таким образом, $12 + \frac{15}{17} = 12\frac{15}{17}$.
Ответ: $12\frac{15}{17}$.

4.257. Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби:

а) $6\frac{2}{3}$;

б) $7\frac{1}{8}$;

в) $5\frac{16}{25}$;

г) $1\frac{19}{20}$.

По определению, смешанная дробь (смешанное число) есть сумма его целой части и дробной части. Чтобы записать смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби, нужно просто поставить знак «+» между целой частью и дробной частью.

а) Дана смешанная дробь $6 \frac{2}{3}$.
Целая часть (натуральное число) этой дроби равна 6.
Дробная часть (правильная дробь) равна $\frac{2}{3}$.
Запишем смешанную дробь в виде суммы ее частей:
$6 \frac{2}{3} = 6 + \frac{2}{3}$.
Ответ: $6 + \frac{2}{3}$

б) Дана смешанная дробь $7 \frac{1}{8}$.
Целая часть (натуральное число) этой дроби равна 7.
Дробная часть (правильная дробь) равна $\frac{1}{8}$.
Запишем смешанную дробь в виде суммы ее частей:
$7 \frac{1}{8} = 7 + \frac{1}{8}$.
Ответ: $7 + \frac{1}{8}$

в) Дана смешанная дробь $5 \frac{16}{25}$.
Целая часть (натуральное число) этой дроби равна 5.
Дробная часть (правильная дробь) равна $\frac{16}{25}$.
Запишем смешанную дробь в виде суммы ее частей:
$5 \frac{16}{25} = 5 + \frac{16}{25}$.
Ответ: $5 + \frac{16}{25}$

г) Дана смешанная дробь $1 \frac{19}{20}$.
Целая часть (натуральное число) этой дроби равна 1.
Дробная часть (правильная дробь) равна $\frac{19}{20}$.
Запишем смешанную дробь в виде суммы ее частей:
$1 \frac{19}{20} = 1 + \frac{19}{20}$.
Ответ: $1 + \frac{19}{20}$

4.258. Вычислите сумму:

а) $9 + 5\frac{1}{2};$

б) $3\frac{3}{8} + 5;$

в) $8\frac{9}{13} + 7;$

г) $13 + 2\frac{7}{9};$

д) $3 + 28\frac{3}{7};$

е) $48\frac{5}{6} + 13;$

ж) $12 + 23\frac{1}{9};$

з) $39 + 42\frac{3}{20}.$

а) Чтобы найти сумму целого числа $9$ и смешанной дроби $5\frac{1}{2}$, нужно сложить их целые части, а дробную часть оставить без изменений. Складываем целые части: $9 + 5 = 14$. Дробная часть $\frac{1}{2}$ не меняется. Таким образом, получаем: $9 + 5\frac{1}{2} = (9 + 5) + \frac{1}{2} = 14\frac{1}{2}$. Ответ: $14\frac{1}{2}$

б) Чтобы найти сумму смешанной дроби $3\frac{3}{8}$ и целого числа $5$, нужно сложить их целые части, а дробную часть оставить без изменений. Складываем целые части: $3 + 5 = 8$. Дробная часть $\frac{3}{8}$ не меняется. Таким образом, получаем: $3\frac{3}{8} + 5 = (3 + 5) + \frac{3}{8} = 8\frac{3}{8}$. Ответ: $8\frac{3}{8}$

в) Складываем целые части чисел $8\frac{9}{13}$ и $7$. Получаем $8 + 7 = 15$. Дробная часть $\frac{9}{13}$ остается прежней. В итоге имеем: $8\frac{9}{13} + 7 = (8 + 7) + \frac{9}{13} = 15\frac{9}{13}$. Ответ: $15\frac{9}{13}$

г) Складываем целые части чисел $13$ и $2\frac{7}{9}$. Получаем $13 + 2 = 15$. Дробная часть $\frac{7}{9}$ остается прежней. В итоге имеем: $13 + 2\frac{7}{9} = (13 + 2) + \frac{7}{9} = 15\frac{7}{9}$. Ответ: $15\frac{7}{9}$

д) Складываем целые части чисел $3$ и $28\frac{3}{7}$. Получаем $3 + 28 = 31$. Дробная часть $\frac{3}{7}$ остается прежней. В итоге имеем: $3 + 28\frac{3}{7} = (3 + 28) + \frac{3}{7} = 31\frac{3}{7}$. Ответ: $31\frac{3}{7}$

е) Складываем целые части чисел $48\frac{5}{6}$ и $13$. Получаем $48 + 13 = 61$. Дробная часть $\frac{5}{6}$ остается прежней. В итоге имеем: $48\frac{5}{6} + 13 = (48 + 13) + \frac{5}{6} = 61\frac{5}{6}$. Ответ: $61\frac{5}{6}$

ж) Складываем целые части чисел $12$ и $23\frac{1}{9}$. Получаем $12 + 23 = 35$. Дробная часть $\frac{1}{9}$ остается прежней. В итоге имеем: $12 + 23\frac{1}{9} = (12 + 23) + \frac{1}{9} = 35\frac{1}{9}$. Ответ: $35\frac{1}{9}$

з) Складываем целые части чисел $39$ и $42\frac{3}{20}$. Получаем $39 + 42 = 81$. Дробная часть $\frac{3}{20}$ остается прежней. В итоге имеем: $39 + 42\frac{3}{20} = (39 + 42) + \frac{3}{20} = 81\frac{3}{20}$. Ответ: $81\frac{3}{20}$

4.259. Запишите обыкновенную дробь в виде смешанной дроби:

а) $\frac{9}{4}$;

б) $\frac{9}{8}$;

в) $\frac{16}{13}$;

г) $\frac{25}{2}$;

д) $\frac{17}{15}$;

е) $\frac{13}{3}$.

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель с остатком. Полученное неполное частное будет целой частью смешанной дроби, остаток от деления станет числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

а) Для дроби $\frac{9}{4}$ разделим числитель 9 на знаменатель 4 с остатком:
$9 \div 4 = 2$ (остаток $1$).
Целая часть равна 2, числитель дробной части – 1, знаменатель – 4. Таким образом, получаем смешанную дробь.
$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $2\frac{1}{4}$.

б) Для дроби $\frac{9}{8}$ разделим числитель 9 на знаменатель 8 с остатком:
$9 \div 8 = 1$ (остаток $1$).
Целая часть равна 1, числитель дробной части – 1, знаменатель – 8.
$\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$.
Ответ: $1\frac{1}{8}$.

в) Для дроби $\frac{16}{13}$ разделим числитель 16 на знаменатель 13 с остатком:
$16 \div 13 = 1$ (остаток $3$).
Целая часть равна 1, числитель дробной части – 3, знаменатель – 13.
$\frac{16}{13} = 1\frac{3}{13}$.
Ответ: $1\frac{3}{13}$.

г) Для дроби $\frac{25}{2}$ разделим числитель 25 на знаменатель 2 с остатком:
$25 \div 2 = 12$ (остаток $1$).
Целая часть равна 12, числитель дробной части – 1, знаменатель – 2.
$\frac{25}{2} = 12\frac{1}{2}$.
Ответ: $12\frac{1}{2}$.

д) Для дроби $\frac{17}{15}$ разделим числитель 17 на знаменатель 15 с остатком:
$17 \div 15 = 1$ (остаток $2$).
Целая часть равна 1, числитель дробной части – 2, знаменатель – 15.
$\frac{17}{15} = 1\frac{2}{15}$.
Ответ: $1\frac{2}{15}$.

е) Для дроби $\frac{13}{3}$ разделим числитель 13 на знаменатель 3 с остатком:
$13 \div 3 = 4$ (остаток $1$).
Целая часть равна 4, числитель дробной части – 1, знаменатель – 3.
$\frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$.
Ответ: $4\frac{1}{3}$.