Страница 228 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

? 4.290 Как умножают и делят смешанные дроби?

Чтобы выполнять умножение и деление со смешанными дробями (числами), их необходимо сначала преобразовать в неправильные дроби.

Как умножают смешанные дроби

Для умножения смешанных дробей используется следующий алгоритм:
1. Каждую смешанную дробь представляют в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель и к результату прибавляют числитель. Это будет новый числитель, а знаменатель остается прежним. Формула: $A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.
2. Полученные неправильные дроби перемножают по правилу умножения обыкновенных дробей: числитель умножают на числитель, а знаменатель — на знаменатель.
3. Если в результате получилась неправильная дробь, ее снова преобразуют в смешанную, выделяя целую часть. По возможности, дробь сокращают.

Пример: Вычислить произведение $2 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{3}{4}$.
1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
$1 \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
2. Перемножим полученные дроби:
$\frac{7}{3} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 7}{3 \cdot 4} = \frac{49}{12}$
3. Преобразуем результат обратно в смешанную дробь:
$\frac{49}{12} = 4 \frac{1}{12}$ (так как $49$ разделить на $12$ равно $4$ и $1$ в остатке).
Ответ: $4 \frac{1}{12}$.

Как делят смешанные дроби

Для деления смешанных дробей используется следующий алгоритм:
1. Обе смешанные дроби (и делимое, и делитель) представляют в виде неправильных дробей.
2. Деление заменяют на умножение, при этом делитель (вторую дробь) "переворачивают", то есть меняют местами числитель и знаменатель. Это называется нахождением обратной дроби.
3. Выполняют умножение полученных дробей, как было описано выше.
4. Если необходимо, сокращают результат и преобразуют неправильную дробь в смешанную.

Пример: Вычислить частное $3 \frac{1}{2} \div 1 \frac{1}{4}$.
1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$3 \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$
$1 \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$
2. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{7}{2} \div \frac{5}{4} = \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{5}$
3. Выполним умножение. Здесь можно сократить $2$ и $4$ на $2$:
$\frac{7}{_1\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{4}^2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{14}{5}$
4. Преобразуем результат в смешанную дробь:
$\frac{14}{5} = 2 \frac{4}{5}$ (так как $14$ разделить на $5$ равно $2$ и $4$ в остатке).
Ответ: $2 \frac{4}{5}$.

Вычислите произведение (4.291-4.292):

4.291. a) $1\frac{1}{5} \cdot 2$;

б) $2\frac{1}{5} \cdot 3$;

в) $8 \cdot 3\frac{1}{4}$;

г) $3\frac{2}{7} \cdot 8$;

д) $2 \cdot 5\frac{3}{4}$;

е) $2\frac{4}{5} \cdot 9$;

ж) $12 \cdot 5\frac{2}{3}$;

з) $21\frac{1}{9} \cdot 9$.

а)

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно сначала превратить смешанное число в неправильную дробь, а затем умножить эту дробь на число.

1. Преобразуем смешанное число $1 \frac{1}{5}$ в неправильную дробь: $1 \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.

2. Умножим полученную дробь на 2: $\frac{6}{5} \cdot 2 = \frac{6 \cdot 2}{5} = \frac{12}{5}$.

3. Преобразуем неправильную дробь $\frac{12}{5}$ обратно в смешанное число: $\frac{12}{5} = 2 \frac{2}{5}$.

Ответ: $2 \frac{2}{5}$.

б)

1. Преобразуем смешанное число $2 \frac{1}{5}$ в неправильную дробь: $2 \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$.

2. Умножим полученную дробь на 3: $\frac{11}{5} \cdot 3 = \frac{11 \cdot 3}{5} = \frac{33}{5}$.

3. Преобразуем неправильную дробь $\frac{33}{5}$ в смешанное число: $\frac{33}{5} = 6 \frac{3}{5}$.

Ответ: $6 \frac{3}{5}$.

в)

1. Преобразуем смешанное число $3 \frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $3 \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.

2. Умножим 8 на полученную дробь. Удобно сократить дробь перед умножением: $8 \cdot \frac{13}{4} = \frac{8 \cdot 13}{4} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 13}{4} = 2 \cdot 13 = 26$.

Ответ: $26$.

г)

1. Преобразуем смешанное число $3 \frac{2}{7}$ в неправильную дробь: $3 \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{23}{7}$.

2. Умножим полученную дробь на 8: $\frac{23}{7} \cdot 8 = \frac{23 \cdot 8}{7} = \frac{184}{7}$.

3. Преобразуем неправильную дробь $\frac{184}{7}$ в смешанное число: $184 \div 7 = 26$ (остаток 2). Таким образом, $\frac{184}{7} = 26 \frac{2}{7}$.

Ответ: $26 \frac{2}{7}$.

д)

1. Преобразуем смешанное число $5 \frac{3}{4}$ в неправильную дробь: $5 \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{23}{4}$.

2. Умножим 2 на полученную дробь и сократим: $2 \cdot \frac{23}{4} = \frac{2 \cdot 23}{4} = \frac{23}{2}$.

3. Преобразуем неправильную дробь $\frac{23}{2}$ в смешанное число: $\frac{23}{2} = 11 \frac{1}{2}$.

Ответ: $11 \frac{1}{2}$.

е)

1. Преобразуем смешанное число $2 \frac{4}{5}$ в неправильную дробь: $2 \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$.

2. Умножим полученную дробь на 9: $\frac{14}{5} \cdot 9 = \frac{14 \cdot 9}{5} = \frac{126}{5}$.

3. Преобразуем неправильную дробь $\frac{126}{5}$ в смешанное число: $126 \div 5 = 25$ (остаток 1). Таким образом, $\frac{126}{5} = 25 \frac{1}{5}$.

Ответ: $25 \frac{1}{5}$.

ж)

1. Преобразуем смешанное число $5 \frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $5 \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$.

2. Умножим 12 на полученную дробь и сократим: $12 \cdot \frac{17}{3} = \frac{12 \cdot 17}{3} = 4 \cdot 17 = 68$.

Ответ: $68$.

з)

Можно решить двумя способами.

Способ 1: Преобразование в неправильную дробь.

1. Преобразуем $21 \frac{1}{9}$ в неправильную дробь: $21 \frac{1}{9} = \frac{21 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{189+1}{9} = \frac{190}{9}$.

2. Умножим на 9 и сократим: $\frac{190}{9} \cdot 9 = 190$.

Способ 2: Использование распределительного свойства умножения.

$21 \frac{1}{9} \cdot 9 = (21 + \frac{1}{9}) \cdot 9 = 21 \cdot 9 + \frac{1}{9} \cdot 9 = 189 + 1 = 190$.

Ответ: $190$.