Номер 4.290, страница 228 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

? 4.290 Как умножают и делят смешанные дроби?

Чтобы выполнять умножение и деление со смешанными дробями (числами), их необходимо сначала преобразовать в неправильные дроби.

Как умножают смешанные дроби

Для умножения смешанных дробей используется следующий алгоритм:
1. Каждую смешанную дробь представляют в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель и к результату прибавляют числитель. Это будет новый числитель, а знаменатель остается прежним. Формула: $A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.
2. Полученные неправильные дроби перемножают по правилу умножения обыкновенных дробей: числитель умножают на числитель, а знаменатель — на знаменатель.
3. Если в результате получилась неправильная дробь, ее снова преобразуют в смешанную, выделяя целую часть. По возможности, дробь сокращают.

Пример: Вычислить произведение $2 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{3}{4}$.
1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
$1 \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
2. Перемножим полученные дроби:
$\frac{7}{3} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 7}{3 \cdot 4} = \frac{49}{12}$
3. Преобразуем результат обратно в смешанную дробь:
$\frac{49}{12} = 4 \frac{1}{12}$ (так как $49$ разделить на $12$ равно $4$ и $1$ в остатке).
Ответ: $4 \frac{1}{12}$.

Как делят смешанные дроби

Для деления смешанных дробей используется следующий алгоритм:
1. Обе смешанные дроби (и делимое, и делитель) представляют в виде неправильных дробей.
2. Деление заменяют на умножение, при этом делитель (вторую дробь) "переворачивают", то есть меняют местами числитель и знаменатель. Это называется нахождением обратной дроби.
3. Выполняют умножение полученных дробей, как было описано выше.
4. Если необходимо, сокращают результат и преобразуют неправильную дробь в смешанную.

Пример: Вычислить частное $3 \frac{1}{2} \div 1 \frac{1}{4}$.
1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$3 \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$
$1 \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$
2. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{7}{2} \div \frac{5}{4} = \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{5}$
3. Выполним умножение. Здесь можно сократить $2$ и $4$ на $2$:
$\frac{7}{_1\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{4}^2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{14}{5}$
4. Преобразуем результат в смешанную дробь:
$\frac{14}{5} = 2 \frac{4}{5}$ (так как $14$ разделить на $5$ равно $2$ и $4$ в остатке).
Ответ: $2 \frac{4}{5}$.