Страница 225 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.274. Как вычитают смешанные дроби?

Для вычитания смешанных дробей, то есть чисел, состоящих из целой и дробной части, существует два основных способа. Выбор способа зависит от конкретного примера и личных предпочтений.

Способ 1: Поэтапное вычитание

Этот метод предполагает отдельное вычитание целых частей и дробных частей. При его использовании важно обратить внимание на дробные части чисел.

Случай А: Дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого.

Это самый простой случай. Нужно привести дробные части к общему знаменателю, а затем отдельно вычесть целые части и отдельно — дробные.

Пример: $5\frac{7}{8} - 2\frac{3}{8}$

1. Знаменатели у дробных частей одинаковые.
2. Вычитаем целые части: $5 - 2 = 3$.
3. Вычитаем дробные части: $\frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \frac{4}{8}$.
4. Сокращаем полученную дробь: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
5. Соединяем целую и дробную части: $3\frac{1}{2}$.

Ответ: $3\frac{1}{2}$.

Случай Б: Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

В этой ситуации нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, чтобы увеличить его дробную часть.

Пример: $9\frac{1}{4} - 5\frac{3}{4}$

Здесь $\frac{1}{4}$ меньше, чем $\frac{3}{4}$, поэтому напрямую вычесть дробные части нельзя.

1. "Занимаем" 1 у целой части уменьшаемого (9). Целая часть становится $9-1 = 8$.
2. Представляем "занятую" единицу в виде дроби с тем же знаменателем, что и у дробной части: $1 = \frac{4}{4}$.
3. Добавляем эту дробь к исходной дробной части уменьшаемого: $\frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4}$.
4. Теперь уменьшаемое число приняло вид $8\frac{5}{4}$.
5. Выполняем вычитание: $8\frac{5}{4} - 5\frac{3}{4}$.
6. Вычитаем целые части: $8 - 5 = 3$.
7. Вычитаем дробные части: $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4}$.
8. Сокращаем дробь: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
9. Соединяем результат: $3\frac{1}{2}$.

Ответ: $3\frac{1}{2}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби

Этот способ универсален и подходит для любого случая. Он исключает необходимость "занимать" единицу.

1. Превратите каждую смешанную дробь в неправильную. Для этого целую часть умножьте на знаменатель и прибавьте числитель. Результат станет новым числителем.
2. Приведите дроби к общему знаменателю, если он разный.
3. Вычтите числители.
4. Если результат — неправильная дробь, преобразуйте его обратно в смешанную дробь.

Пример: $9\frac{1}{4} - 5\frac{3}{4}$

1. Преобразуем $9\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $9 \times 4 + 1 = 37 \Rightarrow \frac{37}{4}$.
2. Преобразуем $5\frac{3}{4}$ в неправильную дробь: $5 \times 4 + 3 = 23 \Rightarrow \frac{23}{4}$.
3. Выполняем вычитание: $\frac{37}{4} - \frac{23}{4} = \frac{37 - 23}{4} = \frac{14}{4}$.
4. Сокращаем дробь: $\frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.
5. Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{2}$ в смешанную: $7 \div 2 = 3$ (остаток 1). Получаем $3\frac{1}{2}$.

Ответ: $3\frac{1}{2}$.

Вычислите (4.275–4.288):

4.275. а) $\frac{7}{12} - \frac{5}{12}$;

б) $\frac{8}{15} - \frac{4}{15}$;

в) $\frac{17}{36} - \frac{11}{36}$;

г) $\frac{17}{45} - \frac{2}{45}$;

д) $\frac{5}{48} - \frac{1}{12}$;

е) $\frac{5}{12} - \frac{5}{18}$;

ж) $\frac{1}{14} - \frac{1}{21}$;

з) $\frac{3}{26} - \frac{4}{39}$.

а) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. $\frac{7}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7-5}{12} = \frac{2}{12}$. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2: $\frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители: $\frac{8}{15} - \frac{4}{15} = \frac{8-4}{15} = \frac{4}{15}$. Данная дробь несократима. Ответ: $\frac{4}{15}$.

в) Знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители: $\frac{17}{36} - \frac{11}{36} = \frac{17-11}{36} = \frac{6}{36}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 6: $\frac{6 \div 6}{36 \div 6} = \frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$.

г) Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители: $\frac{17}{45} - \frac{2}{45} = \frac{17-2}{45} = \frac{15}{45}$. Сократим дробь на 15: $\frac{15 \div 15}{45 \div 15} = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$.

д) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 48 и 12 это 48. Дополнительный множитель для второй дроби равен $48 \div 12 = 4$. $\frac{5}{48} - \frac{1}{12} = \frac{5}{48} - \frac{1 \times 4}{12 \times 4} = \frac{5}{48} - \frac{4}{48} = \frac{5-4}{48} = \frac{1}{48}$. Ответ: $\frac{1}{48}$.

е) Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Для чисел 12 и 18 наименьший общий знаменатель равен 36. Дополнительный множитель для первой дроби $36 \div 12 = 3$, для второй $36 \div 18 = 2$. $\frac{5}{12} - \frac{5}{18} = \frac{5 \times 3}{12 \times 3} - \frac{5 \times 2}{18 \times 2} = \frac{15}{36} - \frac{10}{36} = \frac{15-10}{36} = \frac{5}{36}$. Ответ: $\frac{5}{36}$.

ж) Найдем наименьший общий знаменатель для 14 и 21. Он равен 42. Дополнительный множитель для первой дроби $42 \div 14 = 3$, для второй $42 \div 21 = 2$. $\frac{1}{14} - \frac{1}{21} = \frac{1 \times 3}{14 \times 3} - \frac{1 \times 2}{21 \times 2} = \frac{3}{42} - \frac{2}{42} = \frac{3-2}{42} = \frac{1}{42}$. Ответ: $\frac{1}{42}$.

з) Найдем наименьший общий знаменатель для 26 и 39. Разложим знаменатели на простые множители: $26 = 2 \times 13$, $39 = 3 \times 13$. Наименьший общий знаменатель равен $2 \times 3 \times 13 = 78$. Дополнительный множитель для первой дроби $78 \div 26 = 3$, для второй $78 \div 39 = 2$. $\frac{3}{26} - \frac{4}{39} = \frac{3 \times 3}{26 \times 3} - \frac{4 \times 2}{39 \times 2} = \frac{9}{78} - \frac{8}{78} = \frac{9-8}{78} = \frac{1}{78}$. Ответ: $\frac{1}{78}$.

4.276. а) $1 - \frac{2}{5};$

б) $1 - \frac{7}{18};$

В) $1 - \frac{12}{13};$

Г) $1 - \frac{2}{45}.$

а) Для того чтобы вычесть дробь из единицы, необходимо представить единицу в виде дроби с тем же знаменателем, что и у вычитаемой дроби. Знаменатель дроби $\frac{2}{5}$ равен 5, поэтому представим 1 как $\frac{5}{5}$.
$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{5-2}{5} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

б) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 18. То есть, $1 = \frac{18}{18}$. Теперь выполним вычитание.
$1 - \frac{7}{18} = \frac{18}{18} - \frac{7}{18} = \frac{18-7}{18} = \frac{11}{18}$.
Ответ: $\frac{11}{18}$

в) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 13. То есть, $1 = \frac{13}{13}$. Теперь выполним вычитание.
$1 - \frac{12}{13} = \frac{13}{13} - \frac{12}{13} = \frac{13-12}{13} = \frac{1}{13}$.
Ответ: $\frac{1}{13}$

г) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 45. То есть, $1 = \frac{45}{45}$. Теперь выполним вычитание.
$1 - \frac{2}{45} = \frac{45}{45} - \frac{2}{45} = \frac{45-2}{45} = \frac{43}{45}$.
Ответ: $\frac{43}{45}$

4.277 а) $12 - \frac{1}{7};$

б) $21 - \frac{4}{13};$

В) $45 - \frac{23}{43};$

Г) $99 - \frac{43}{45}.$

a)

Чтобы вычесть дробь из целого числа, представим целое число в виде суммы, где одно из слагаемых равно 1. Затем представим 1 в виде дроби с тем же знаменателем, что и у вычитаемой дроби, и выполним вычитание.

$12 - \frac{1}{7} = (11 + 1) - \frac{1}{7}$

Представим 1 в виде дроби со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$.

$11 + \frac{7}{7} - \frac{1}{7} = 11 + \frac{7-1}{7} = 11 + \frac{6}{7} = 11\frac{6}{7}$

Ответ: $11\frac{6}{7}$

б)

Представим число 21 как $20 + 1$. Единицу запишем в виде дроби со знаменателем 13.

$21 - \frac{4}{13} = (20 + 1) - \frac{4}{13} = 20 + \frac{13}{13} - \frac{4}{13}$

$20 + \frac{13 - 4}{13} = 20 + \frac{9}{13} = 20\frac{9}{13}$

Ответ: $20\frac{9}{13}$

в)

Представим число 45 как $44 + 1$. Единицу запишем в виде дроби со знаменателем 43.

$45 - \frac{23}{43} = (44 + 1) - \frac{23}{43} = 44 + \frac{43}{43} - \frac{23}{43}$

$44 + \frac{43 - 23}{43} = 44 + \frac{20}{43} = 44\frac{20}{43}$

Ответ: $44\frac{20}{43}$

г)

Представим число 99 как $98 + 1$. Единицу запишем в виде дроби со знаменателем 45.

$99 - \frac{43}{45} = (98 + 1) - \frac{43}{45} = 98 + \frac{45}{45} - \frac{43}{45}$

$98 + \frac{45 - 43}{45} = 98 + \frac{2}{45} = 98\frac{2}{45}$

Ответ: $98\frac{2}{45}$

4.278. a) $12 - \frac{41}{70}$;

б) $36 - \frac{7}{53}$;

в) $35 - \frac{35}{74}$;

г) $46 - \frac{53}{62}$.

а) $12 - \frac{41}{70}$

Чтобы вычесть дробь из целого числа, необходимо "занять" единицу у целого числа и представить её в виде дроби с нужным знаменателем. В данном случае, представим 12 как $11 + 1$.

Единицу представим в виде дроби со знаменателем 70: $1 = \frac{70}{70}$.

Теперь выражение выглядит так:

$12 - \frac{41}{70} = (11 + 1) - \frac{41}{70} = 11 + \frac{70}{70} - \frac{41}{70}$.

Вычитаем дробные части, оставляя целую часть без изменений:

$11 + (\frac{70}{70} - \frac{41}{70}) = 11 + \frac{70 - 41}{70} = 11 + \frac{29}{70} = 11\frac{29}{70}$.

Ответ: $11\frac{29}{70}$.

б) $36 - \frac{7}{53}$

Представим число 36 в виде суммы $35 + 1$.

Единицу представим как дробь со знаменателем 53: $1 = \frac{53}{53}$.

Подставим в исходное выражение:

$36 - \frac{7}{53} = (35 + 1) - \frac{7}{53} = 35 + \frac{53}{53} - \frac{7}{53}$.

Выполним вычитание дробей:

$35 + (\frac{53 - 7}{53}) = 35 + \frac{46}{53} = 35\frac{46}{53}$.

Ответ: $35\frac{46}{53}$.

в) $35 - \frac{35}{74}$

Представим число 35 как $34 + 1$.

Единицу представим в виде дроби со знаменателем 74: $1 = \frac{74}{74}$.

Получаем следующее выражение:

$35 - \frac{35}{74} = (34 + 1) - \frac{35}{74} = 34 + \frac{74}{74} - \frac{35}{74}$.

Вычитаем дробные части:

$34 + (\frac{74 - 35}{74}) = 34 + \frac{39}{74} = 34\frac{39}{74}$.

Ответ: $34\frac{39}{74}$.

г) $46 - \frac{53}{62}$

Представим число 46 как $45 + 1$.

Единицу представим в виде дроби со знаменателем 62: $1 = \frac{62}{62}$.

Запишем выражение в новом виде:

$46 - \frac{53}{62} = (45 + 1) - \frac{53}{62} = 45 + \frac{62}{62} - \frac{53}{62}$.

Произведем вычитание дробей:

$45 + (\frac{62 - 53}{62}) = 45 + \frac{9}{62} = 45\frac{9}{62}$.

Ответ: $45\frac{9}{62}$.