Страница 229 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.292. а) $1\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6}$;

б) $2\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}$;

в) $\frac{7}{9} \cdot 4\frac{1}{2}$;

г) $\frac{3}{7} \cdot 3\frac{1}{3}$;

д) $1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3}$;

е) $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{5}$;

ж) $7\frac{2}{3} \cdot 2\frac{1}{4}$;

з) $5\frac{2}{5} \cdot 1\frac{1}{9}$.

а) Чтобы умножить смешанное число $1\frac{1}{5}$ на дробь $\frac{1}{6}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.
Теперь выполним умножение дробей: $\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{6 \cdot 1}{5 \cdot 6}$.
Сократим общие множители (6) в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{6} \cdot 1}{5 \cdot \cancel{6}} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

б) Преобразуем смешанное число $2\frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$.
Умножим полученную дробь на $\frac{2}{3}$: $\frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 2}{5 \cdot 3}$.
Сократим 12 и 3 на их общий делитель 3: $\frac{\cancel{12}^4 \cdot 2}{5 \cdot \cancel{3}^1} = \frac{4 \cdot 2}{5} = \frac{8}{5}$.
Преобразуем неправильную дробь $\frac{8}{5}$ обратно в смешанное число: $\frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$.
Ответ: $1\frac{3}{5}$

в) Преобразуем смешанное число $4\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$.
Умножим дробь $\frac{7}{9}$ на полученную дробь: $\frac{7}{9} \cdot \frac{9}{2} = \frac{7 \cdot 9}{9 \cdot 2}$.
Сократим общие множители (9): $\frac{7 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 2} = \frac{7}{2}$.
Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{2}$ в смешанное число: $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.
Ответ: $3\frac{1}{2}$

г) Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Умножим дробь $\frac{3}{7}$ на полученную дробь: $\frac{3}{7} \cdot \frac{10}{3} = \frac{3 \cdot 10}{7 \cdot 3}$.
Сократим общие множители (3): $\frac{\cancel{3} \cdot 10}{7 \cdot \cancel{3}} = \frac{10}{7}$.
Преобразуем неправильную дробь $\frac{10}{7}$ в смешанное число: $\frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$.
Ответ: $1\frac{3}{7}$

д) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Теперь умножим полученные дроби: $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3}$.
Сократим общие множители (3), а также 4 и 2: $\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{4}^2}{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{3}} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: $2$

е) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:
$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$
$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$
Умножим полученные дроби: $\frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5} = \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 5}$.
Сократим общие множители (5), а также 8 и 2: $\frac{\cancel{5} \cdot \cancel{8}^4}{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{5}} = \frac{4}{1} = 4$.
Ответ: $4$

ж) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:
$7\frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{23}{3}$
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Умножим полученные дроби: $\frac{23}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{23 \cdot 9}{3 \cdot 4}$.
Сократим 9 и 3 на их общий делитель 3: $\frac{23 \cdot \cancel{9}^3}{\cancel{3}^1 \cdot 4} = \frac{23 \cdot 3}{4} = \frac{69}{4}$.
Преобразуем неправильную дробь $\frac{69}{4}$ в смешанное число: $\frac{69}{4} = 17\frac{1}{4}$.
Ответ: $17\frac{1}{4}$

з) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:
$5\frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{27}{5}$
$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$
Умножим полученные дроби: $\frac{27}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{27 \cdot 10}{5 \cdot 9}$.
Сократим 27 и 9 (на 9), а также 10 и 5 (на 5): $\frac{\cancel{27}^3 \cdot \cancel{10}^2}{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{9}^1} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$.
Ответ: $6$

4.293. Для чисел $1\frac{1}{2}$, $2\frac{1}{3}$, $2\frac{2}{5}$, $1\frac{4}{7}$ укажите обратные им числа.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти число, обратное данному смешанному числу, необходимо:

1. Преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
2. Поменять местами числитель и знаменатель полученной дроби (найти обратную дробь).

Применим этот алгоритм для каждого из данных чисел.

Для числа $1\frac{1}{2}$

1. Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

2. Найдём обратное число для дроби $\frac{3}{2}$, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь $\frac{2}{3}$.

Проверка: $1\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} = 1$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

Для числа $2\frac{1}{3}$

1. Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

2. Найдём обратное число для дроби $\frac{7}{3}$. Это будет дробь $\frac{3}{7}$.

Проверка: $2\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 7} = 1$.

Ответ: $\frac{3}{7}$.

Для числа $2\frac{2}{5}$

1. Преобразуем смешанное число $2\frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$.

2. Найдём обратное число для дроби $\frac{12}{5}$. Это будет дробь $\frac{5}{12}$.

Проверка: $2\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 12} = 1$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

Для числа $1\frac{4}{7}$

1. Преобразуем смешанное число $1\frac{4}{7}$ в неправильную дробь: $1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$.

2. Найдём обратное число для дроби $\frac{11}{7}$. Это будет дробь $\frac{7}{11}$.

Проверка: $1\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{11} = \frac{11}{7} \cdot \frac{7}{11} = \frac{11 \cdot 7}{7 \cdot 11} = 1$.

Ответ: $\frac{7}{11}$.

4.294. а) Известно, что $a \cdot b = 1$, $a = \frac{2}{5}$. Найдите $b$.

б) Известно, что $a \cdot b = 1$, $b = 2\frac{2}{7}$. Найдите $a$.

а)

По условию задачи дано уравнение $a \cdot b = 1$ и значение $a = \frac{2}{5}$. Чтобы найти $b$, нужно выразить его из уравнения. Для этого разделим обе части уравнения на $a$:

$b = \frac{1}{a}$

Теперь подставим известное значение $a$:

$b = \frac{1}{\frac{2}{5}}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю (перевернутую). Обратной для дроби $\frac{2}{5}$ является дробь $\frac{5}{2}$.

$b = 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{5}{2}$ в смешанное число:

$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $2\frac{1}{2}$

б)

По условию задачи дано уравнение $a \cdot b = 1$ и значение $b = 2\frac{2}{7}$. Чтобы найти $a$, выразим его из уравнения, разделив обе части на $b$:

$a = \frac{1}{b}$

Сначала преобразуем смешанное число $b = 2\frac{2}{7}$ в неправильную дробь:

$b = 2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$

Теперь подставим полученное значение $b$ в формулу для $a$:

$a = \frac{1}{\frac{16}{7}}$

Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь. Обратной для $\frac{16}{7}$ является дробь $\frac{7}{16}$.

$a = 1 \cdot \frac{7}{16} = \frac{7}{16}$

Ответ: $\frac{7}{16}$

4.295 Могут ли два взаимно обратных числа одновременно являться смешанными дробями?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проанализировать свойства взаимно обратных чисел и смешанных дробей.

Свойства смешанных дробей
Смешанная дробь (или смешанное число) — это число, состоящее из целой части (натурального числа, то есть $ \ge 1 $) и правильной дробной части. Например, $1\frac{1}{2}$ или $3\frac{4}{5}$. Ключевое свойство смешанной дроби заключается в том, что ее значение всегда строго больше единицы. Если $x$ — смешанная дробь, то $x > 1$.

Свойства взаимно обратных чисел
Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Если одно число равно $a$, то обратное ему равно $\frac{1}{a}$, так как $a \cdot \frac{1}{a} = 1$.

Логическое рассуждение
Предположим, что два взаимно обратных числа, назовем их $a$ и $b$, могут одновременно быть смешанными дробями.

1. Если $a$ — смешанная дробь, то из ее определения следует, что $a > 1$.

2. Если $b$ — смешанная дробь, то аналогично $b > 1$.

3. Поскольку $a$ и $b$ — взаимно обратные, их произведение должно быть равно 1: $a \cdot b = 1$.

Теперь проверим, возможно ли это. Если мы перемножим два числа, каждое из которых больше 1, то их произведение также будет больше 1. То есть, если $a > 1$ и $b > 1$, то $a \cdot b > 1 \cdot 1$, что означает $a \cdot b > 1$.

Мы пришли к противоречию: с одной стороны, произведение должно быть больше 1 ($a \cdot b > 1$), а с другой стороны, оно должно равняться 1 ($a \cdot b = 1$). Эти два условия не могут выполняться одновременно.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Если одно число является смешанной дробью (т.е. больше 1), то обратное ему число будет правильной дробью (т.е. меньше 1), а не смешанной.

Ответ: Нет, не могут.

Вычислите частное (4.296-4.297):

4.296. а) $1\frac{1}{5} : 2$;

б) $2\frac{2}{5} : 3$;

в) $9 : 2\frac{1}{4}$;

г) $3\frac{1}{7} : 2$;

д) $2 : 5\frac{1}{3}$;

е) $2\frac{4}{5} : 7$;

ж) $12 : 2\frac{2}{3}$;

з) $21\frac{1}{4} : 5$.

а) Чтобы разделить смешанное число на целое число, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$. Затем выполним деление. Деление на число равносильно умножению на обратное ему число. Обратное число для 2 это $\frac{1}{2}$.

$1\frac{1}{5} : 2 = \frac{6}{5} : 2 = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 \cdot 1}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

б) Представим смешанное число $2\frac{2}{5}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$.

Выполним деление, заменив его умножением на обратное число: $2\frac{2}{5} : 3 = \frac{12}{5} : 3 = \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{12 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$.

Сократим дробь: $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

в) Чтобы разделить целое число на смешанное, представим смешанное число в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь: $9 : 2\frac{1}{4} = 9 : \frac{9}{4} = 9 \cdot \frac{4}{9} = \frac{9 \cdot 4}{9}$.

Сократим девятки: $\frac{9 \cdot 4}{9} = 4$.

Ответ: $4$.

г) Представим смешанное число $3\frac{1}{7}$ в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$.

Выполним деление: $3\frac{1}{7} : 2 = \frac{22}{7} : 2 = \frac{22}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{22 \cdot 1}{7 \cdot 2} = \frac{22}{14}$.

Сократим дробь: $\frac{22}{14} = \frac{11}{7}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{11}{7} = 1\frac{4}{7}$.

Ответ: $1\frac{4}{7}$.

д) Представим смешанное число $5\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.

Выполним деление: $2 : 5\frac{1}{3} = 2 : \frac{16}{3} = 2 \cdot \frac{3}{16} = \frac{2 \cdot 3}{16} = \frac{6}{16}$.

Сократим дробь: $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$.

е) Представим смешанное число $2\frac{4}{5}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$.

Выполним деление: $2\frac{4}{5} : 7 = \frac{14}{5} : 7 = \frac{14}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{14 \cdot 1}{5 \cdot 7} = \frac{14}{35}$.

Сократим дробь: $\frac{14}{35} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

ж) Представим смешанное число $2\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.

Выполним деление: $12 : 2\frac{2}{3} = 12 : \frac{8}{3} = 12 \cdot \frac{3}{8} = \frac{12 \cdot 3}{8} = \frac{36}{8}$.

Сократим дробь: $\frac{36}{8} = \frac{9}{2}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.

Ответ: $4\frac{1}{2}$.

з) Представим смешанное число $21\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби: $21\frac{1}{4} = \frac{21 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{85}{4}$.

Выполним деление: $21\frac{1}{4} : 5 = \frac{85}{4} : 5 = \frac{85}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{85 \cdot 1}{4 \cdot 5} = \frac{85}{20}$.

Сократим дробь: $\frac{85}{20} = \frac{17}{4}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$.

Ответ: $4\frac{1}{4}$.

4.297. а) $1 \frac{1}{5} : \frac{1}{5}$;

б) $2 \frac{2}{5} : \frac{2}{3}$;

в) $\frac{5}{9} : 4 \frac{1}{6}$;

г) $\frac{5}{6} : 3 \frac{1}{3}$;

д) $2 \frac{1}{2} : 1 \frac{2}{3}$;

е) $3 \frac{1}{2} : 1 \frac{3}{4}$;

ж) $2 \frac{2}{5} : 1 \frac{1}{5}$;

з) $5 \frac{2}{5} : 1 \frac{1}{9}$.

а) Чтобы разделить смешанное число на дробь, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$1\frac{1}{5} : \frac{1}{5} = \frac{6}{5} : \frac{1}{5} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{1} = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 1} = \frac{30}{5} = 6$

Ответ: $6$

б) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$2\frac{2}{5} : \frac{2}{3} = \frac{12}{5} : \frac{2}{3} = \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{36}{10}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2, и выделим целую часть:

$\frac{36}{10} = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}$

Ответ: $3\frac{3}{5}$

в) Представим смешанное число $4\frac{1}{6}$ в виде неправильной дроби:

$4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{25}{6}$

Теперь выполним деление дроби на полученную неправильную дробь. Для этого умножим делимое на дробь, обратную делителю, и сократим:

$\frac{5}{9} : 4\frac{1}{6} = \frac{5}{9} : \frac{25}{6} = \frac{5}{9} \cdot \frac{6}{25} = \frac{5 \cdot 6}{9 \cdot 25} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$

г) Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь и сократив:

$\frac{5}{6} : 3\frac{1}{3} = \frac{5}{6} : \frac{10}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

д) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Выполним деление полученных дробей:

$2\frac{1}{2} : 1\frac{2}{3} = \frac{5}{2} : \frac{5}{3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{2}$

Преобразуем результат в смешанное число:

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$

е) Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

Выполним деление, умножив на обратную дробь:

$3\frac{1}{2} : 1\frac{3}{4} = \frac{7}{2} : \frac{7}{4} = \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{7 \cdot 4}{2 \cdot 7} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $2$

ж) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:

$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

Теперь разделим полученные дроби:

$2\frac{2}{5} : 1\frac{1}{5} = \frac{12}{5} : \frac{6}{5} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 6} = \frac{12}{6} = 2$

Ответ: $2$

з) Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$5\frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{27}{5}$

$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$5\frac{2}{5} : 1\frac{1}{9} = \frac{27}{5} : \frac{10}{9} = \frac{27}{5} \cdot \frac{9}{10} = \frac{27 \cdot 9}{5 \cdot 10} = \frac{243}{50}$

Выделим целую часть из полученной неправильной дроби:

$\frac{243}{50} = 4\frac{43}{50}$

Ответ: $4\frac{43}{50}$

Вычислите, используя распределительный закон (4.298–4.299):

4.298. a) $1\frac{1}{3} \cdot 2 = \left(1+\frac{1}{3}\right) \cdot 2 = 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2 = 2 + \frac{2}{3} = 2\frac{2}{3};$

б) $1\frac{1}{5} \cdot 2;$ в) $2\frac{1}{5} \cdot 3;$ г) $3\frac{1}{4} \cdot 3;$ д) $2\frac{2}{7} \cdot 3;$

е) $2 \cdot 5\frac{1}{4};$ ж) $2 \cdot 9\frac{4}{9};$ з) $2 \cdot 5\frac{7}{8};$ и) $2 \cdot 3\frac{1}{9}.$

Для решения данных примеров мы будем использовать распределительный закон умножения относительно сложения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Каждое смешанное число вида $A\frac{b}{c}$ можно представить в виде суммы его целой и дробной частей $A + \frac{b}{c}$.

б) $1\frac{1}{5} \cdot 2 = (1 + \frac{1}{5}) \cdot 2 = 1 \cdot 2 + \frac{1}{5} \cdot 2 = 2 + \frac{2}{5} = 2\frac{2}{5}$. Ответ: $2\frac{2}{5}$.

в) $2\frac{1}{5} \cdot 3 = (2 + \frac{1}{5}) \cdot 3 = 2 \cdot 3 + \frac{1}{5} \cdot 3 = 6 + \frac{3}{5} = 6\frac{3}{5}$. Ответ: $6\frac{3}{5}$.

г) $3\frac{1}{4} \cdot 3 = (3 + \frac{1}{4}) \cdot 3 = 3 \cdot 3 + \frac{1}{4} \cdot 3 = 9 + \frac{3}{4} = 9\frac{3}{4}$. Ответ: $9\frac{3}{4}$.

д) $2\frac{2}{7} \cdot 3 = (2 + \frac{2}{7}) \cdot 3 = 2 \cdot 3 + \frac{2}{7} \cdot 3 = 6 + \frac{6}{7} = 6\frac{6}{7}$. Ответ: $6\frac{6}{7}$.

е) $2 \cdot 5\frac{1}{4} = 2 \cdot (5 + \frac{1}{4}) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot \frac{1}{4} = 10 + \frac{2}{4} = 10 + \frac{1}{2} = 10\frac{1}{2}$. Ответ: $10\frac{1}{2}$.

ж) $2\frac{4}{9} \cdot 9 = (2 + \frac{4}{9}) \cdot 9 = 2 \cdot 9 + \frac{4}{9} \cdot 9 = 18 + 4 = 22$. Ответ: $22$.

з) $2 \cdot 5\frac{7}{8} = 2 \cdot (5 + \frac{7}{8}) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot \frac{7}{8} = 10 + \frac{14}{8} = 10 + \frac{7}{4} = 10 + 1\frac{3}{4} = 11\frac{3}{4}$. Ответ: $11\frac{3}{4}$.

и) $2\frac{1}{9} \cdot 3 = (2 + \frac{1}{9}) \cdot 3 = 2 \cdot 3 + \frac{1}{9} \cdot 3 = 6 + \frac{3}{9} = 6 + \frac{1}{3} = 6\frac{1}{3}$. Ответ: $6\frac{1}{3}$.

4.299. a) $\frac{1}{3} \cdot 2 + 2 \frac{2}{3} \cdot 2 = \left( \frac{1}{3} + 2 \frac{2}{3} \right) \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6;$

б) $1 \frac{1}{5} \cdot 3 + \frac{4}{5} \cdot 3;$в) $2 \frac{4}{5} \cdot 3 - \frac{4}{5} \cdot 3;$

г) $2 \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{9} + 6 \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{9};$д) $2 \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{8} - 1 \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8};$

е) $3 \frac{1}{5} \cdot \frac{8}{11} + 3 \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{11};$ж) $4 \frac{2}{3} \cdot 7 \frac{1}{12} - 6 \frac{1}{12} \cdot 4 \frac{2}{3};$

б) $1\frac{1}{5} \cdot 3 + \frac{4}{5} \cdot 3$
Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$. Вынесем общий множитель $3$ за скобки:
$(1\frac{1}{5} + \frac{4}{5}) \cdot 3$
Выполним сложение смешанного числа и дроби в скобках:
$1\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1 + \frac{1+4}{5} = 1 + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2$
Теперь умножим полученный результат на общий множитель:
$2 \cdot 3 = 6$
Ответ: 6

в) $2\frac{4}{5} \cdot 3 - \frac{4}{5} \cdot 3$
Используем распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$. Вынесем общий множитель $3$ за скобки:
$(2\frac{4}{5} - \frac{4}{5}) \cdot 3$
Выполним вычитание в скобках:
$2\frac{4}{5} - \frac{4}{5} = 2 + (\frac{4}{5} - \frac{4}{5}) = 2 + 0 = 2$
Теперь умножим результат на $3$:
$2 \cdot 3 = 6$
Ответ: 6

г) $2\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{9} + 6\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{9}$
Применим распределительное свойство умножения. Вынесем общий множитель $\frac{5}{9}$ за скобки:
$(2\frac{4}{5} + 6\frac{1}{5}) \cdot \frac{5}{9}$
Сложим смешанные числа в скобках. Складываем целые части и дробные части отдельно:
$2\frac{4}{5} + 6\frac{1}{5} = (2+6) + (\frac{4}{5} + \frac{1}{5}) = 8 + \frac{5}{5} = 8 + 1 = 9$
Теперь умножим результат на $\frac{5}{9}$:
$9 \cdot \frac{5}{9} = \frac{9 \cdot 5}{9} = 5$
Ответ: 5

д) $2\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{8} - 1\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8}$
Воспользуемся распределительным свойством и вынесем общий множитель $\frac{5}{8}$ за скобки:
$(2\frac{4}{5} - 1\frac{1}{5}) \cdot \frac{5}{8}$
Выполним вычитание смешанных чисел в скобках. Вычитаем целые и дробные части отдельно:
$2\frac{4}{5} - 1\frac{1}{5} = (2-1) + (\frac{4}{5} - \frac{1}{5}) = 1 + \frac{3}{5} = 1\frac{3}{5}$
Теперь умножим результат на $\frac{5}{8}$. Для этого представим смешанное число $1\frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби:
$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$
Выполним умножение:
$\frac{8}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{8 \cdot 5}{5 \cdot 8} = 1$
Ответ: 1

е) $3\frac{1}{5} \cdot \frac{8}{11} + 3\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{11}$
Вынесем общий множитель $3\frac{1}{5}$ за скобки, используя распределительное свойство:
$3\frac{1}{5} \cdot (\frac{8}{11} + \frac{3}{11})$
Выполним сложение дробей в скобках:
$\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{8+3}{11} = \frac{11}{11} = 1$
Теперь умножим $3\frac{1}{5}$ на результат сложения:
$3\frac{1}{5} \cdot 1 = 3\frac{1}{5}$
Ответ: $3\frac{1}{5}$

ж) $4\frac{2}{3} \cdot 7\frac{1}{12} - 6\frac{1}{12} \cdot 4\frac{2}{3}$
Заметим, что множитель $4\frac{2}{3}$ является общим. Вынесем его за скобки, применив распределительное свойство:
$4\frac{2}{3} \cdot (7\frac{1}{12} - 6\frac{1}{12})$
Выполним вычитание смешанных чисел в скобках:
$7\frac{1}{12} - 6\frac{1}{12} = (7-6) + (\frac{1}{12} - \frac{1}{12}) = 1 + 0 = 1$
Теперь умножим $4\frac{2}{3}$ на полученный результат:
$4\frac{2}{3} \cdot 1 = 4\frac{2}{3}$
Ответ: $4\frac{2}{3}$