Страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.310. Найдите координату точки B по координатам точки A и точки C — середины отрезка AB:

a) $A (2)$, $C (5)$;

б) $A \left(\frac{1}{2}\right)$, $C (3)$;

в) $A \left(\frac{1}{4}\right)$, $C \left(\frac{2}{3}\right)$.

Для решения задачи используется формула нахождения координаты середины отрезка. Если точка $C$ с координатой $x_C$ является серединой отрезка $AB$, концы которого находятся в точках $A$ с координатой $x_A$ и $B$ с координатой $x_B$, то координата середины вычисляется как:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

Чтобы найти координату точки $B$, необходимо выразить $x_B$ из этой формулы. Для этого сначала умножим обе части равенства на 2:

$2 \cdot x_C = x_A + x_B$

Затем перенесем $x_A$ в левую часть, изменив знак:

$x_B = 2 \cdot x_C - x_A$

Теперь, используя эту формулу, решим каждый из предложенных пунктов.

а) Даны координаты точек $A(2)$ и $C(5)$.

Подставим известные значения $x_A = 2$ и $x_C = 5$ в выведенную формулу:

$x_B = 2 \cdot 5 - 2$

Выполним вычисления:

$x_B = 10 - 2 = 8$

Таким образом, координата точки $B$ равна 8.

Ответ: $B(8)$.

б) Даны координаты точек $A\left(\frac{1}{2}\right)$ и $C(3)$.

Подставим известные значения $x_A = \frac{1}{2}$ и $x_C = 3$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot 3 - \frac{1}{2}$

Выполним вычисления:

$x_B = 6 - \frac{1}{2} = 5\frac{1}{2}$

Таким образом, координата точки $B$ равна $5\frac{1}{2}$.

Ответ: $B\left(5\frac{1}{2}\right)$.

в) Даны координаты точек $A\left(\frac{1}{4}\right)$ и $C\left(\frac{2}{3}\right)$.

Подставим известные значения $x_A = \frac{1}{4}$ и $x_C = \frac{2}{3}$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$

Выполним умножение:

$x_B = \frac{4}{3} - \frac{1}{4}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 это 12:

$x_B = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{16}{12} - \frac{3}{12}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$x_B = \frac{16 - 3}{12} = \frac{13}{12}$

Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $1\frac{1}{12}$.

Таким образом, координата точки $B$ равна $\frac{13}{12}$.

Ответ: $B\left(\frac{13}{12}\right)$.

4.311. Найдите координаты точек, делящих отрезок $AB$ на три равные части:

а) A (5), B ($9\frac{1}{2}$);

б) A ($\frac{1}{3}$), B ($\frac{2}{9}$).

Чтобы найти координаты точек, делящих отрезок на три равные части, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти длину всего отрезка AB, вычтя из большей координаты меньшую.
2. Разделить полученную длину на 3, чтобы найти длину каждой из трех равных частей.
3. К координате начальной точки (точки с меньшей координатой) прибавить найденную длину одной части, чтобы найти координату первой точки.
4. К координате первой найденной точки прибавить ту же длину, чтобы найти координату второй точки.

а) Даны точки $A(5)$ и $B(9\frac{1}{2})$.

1. Найдем длину отрезка AB. Координата точки B больше координаты точки A.

$L = 9\frac{1}{2} - 5 = 4\frac{1}{2}$

2. Разделим длину отрезка на 3, чтобы найти длину каждой из трех равных частей. Обозначим эту длину как $\Delta$.

$\Delta = 4\frac{1}{2} \div 3 = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

3. Найдем координату первой точки $C_1$, которая делит отрезок. Для этого к координате точки A прибавим $\Delta$.

$x_{C1} = 5 + 1\frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}$

4. Найдем координату второй точки $C_2$, прибавив $\Delta$ к координате точки $C_1$.

$x_{C2} = 6\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2} = 8$

Таким образом, искомые точки имеют координаты $6\frac{1}{2}$ и 8.

Ответ: $6\frac{1}{2}$ и 8.

б) Даны точки $A(\frac{1}{3})$ и $B(\frac{2}{9})$.

1. Найдем длину отрезка AB. Сначала сравним координаты, приведя дроби к общему знаменателю: $A(\frac{1}{3}) = A(\frac{3}{9})$. Так как $\frac{3}{9} > \frac{2}{9}$, координата точки A больше координаты точки B.

$L = \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} - \frac{2}{9} = \frac{1}{9}$

2. Разделим длину отрезка на 3, чтобы найти длину каждой из трех равных частей.

$\Delta = \frac{1}{9} \div 3 = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

3. Найдем координаты точек. Так как мы движемся от точки A с большей координатой к точке B с меньшей, мы будем вычитать $\Delta$. Найдем координату первой точки $C_1$ (ближайшей к A).

$x_{C1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{27} = \frac{9}{27} - \frac{1}{27} = \frac{8}{27}$

4. Найдем координату второй точки $C_2$, вычтя $\Delta$ из координаты точки $C_1$.

$x_{C2} = \frac{8}{27} - \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$

Таким образом, искомые точки имеют координаты $\frac{8}{27}$ и $\frac{7}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$ и $\frac{7}{27}$.

4.312. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 4 и 6;

б) $3 \text{ и } \frac{1}{2}$;

в) $1 \frac{1}{8} \text{ и } \frac{1}{2}$;

г) $3 \frac{2}{3} \text{ и } 2 \frac{1}{4}$.

Среднее арифметическое чисел — это их сумма, делённая на их количество. В каждой задаче нам даны два числа, поэтому мы будем находить их сумму и делить на 2.

а) Найти среднее арифметическое чисел 4 и 6.

1. Находим сумму чисел: $4 + 6 = 10$.

2. Делим сумму на количество чисел (их 2): $10 \div 2 = 5$.

Ответ: 5.

б) Найти среднее арифметическое чисел 3 и $\frac{1}{2}$.

1. Находим сумму чисел: $3 + \frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}$.

2. Представим сумму в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \times 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$.

3. Делим сумму на 2: $\frac{7}{2} \div 2 = \frac{7}{2 \times 2} = \frac{7}{4}$.

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.

Ответ: $1\frac{3}{4}$.

в) Найти среднее арифметическое чисел $1\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{2}$.

1. Находим сумму чисел. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 8.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}$.

Сумма: $1\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = 1\frac{1+4}{8} = 1\frac{5}{8}$.

2. Представим сумму в виде неправильной дроби: $1\frac{5}{8} = \frac{1 \times 8 + 5}{8} = \frac{13}{8}$.

3. Делим сумму на 2: $\frac{13}{8} \div 2 = \frac{13}{8 \times 2} = \frac{13}{16}$.

Ответ: $\frac{13}{16}$.

г) Найти среднее арифметическое чисел $3\frac{2}{3}$ и $2\frac{1}{4}$.

1. Находим сумму чисел. Для этого приведем дробные части к общему знаменателю 12.

$3\frac{2}{3} = 3\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = 3\frac{8}{12}$.

$2\frac{1}{4} = 2\frac{1 \times 3}{4 \times 3} = 2\frac{3}{12}$.

Складываем целые и дробные части: $3\frac{8}{12} + 2\frac{3}{12} = (3+2) + (\frac{8}{12} + \frac{3}{12}) = 5\frac{11}{12}$.

2. Представим сумму в виде неправильной дроби: $5\frac{11}{12} = \frac{5 \times 12 + 11}{12} = \frac{60+11}{12} = \frac{71}{12}$.

3. Делим сумму на 2: $\frac{71}{12} \div 2 = \frac{71}{12 \times 2} = \frac{71}{24}$.

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{71}{24} = 2\frac{23}{24}$ (так как $71 = 2 \times 24 + 23$).

Ответ: $2\frac{23}{24}$.

4.313. На рисунке 175 указаны координаты точек А и В, найдите координаты точек С и D.

а) A C B

$a$ $b$

б) A B C

$a$ $\frac{a+b}{2}$

в) A B C D

$a$ $\frac{a+b}{2}$

г) A C D B

$a$ $b$

Рис. 175

а) На рисунке точка C является серединой отрезка AB. Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов. Координата точки A равна $a$, координата точки B равна $b$. Следовательно, координата точки C равна $x_C = \frac{a+b}{2}$.

Ответ: $C\left(\frac{a+b}{2}\right)$.

б) На рисунке точки A, B, и C расположены на равных расстояниях друг от друга, то есть отрезок AB равен отрезку BC. Это означает, что точка B является серединой отрезка AC. Координата точки A равна $a$, координата точки B равна $\frac{a+b}{2}$. Обозначим координату точки C как $x_C$. Тогда координата точки B как середины отрезка AC вычисляется по формуле: $x_B = \frac{x_A + x_C}{2}$. Подставим известные значения: $\frac{a+b}{2} = \frac{a + x_C}{2}$. Умножив обе части уравнения на 2, получим $a+b = a+x_C$. Отсюда $x_C = b$.

Ответ: $C(b)$.

в) На рисунке точки A, B, C и D расположены на равных расстояниях друг от друга, то есть $AB = BC = CD$. Найдем длину одного такого отрезка (шага). Длина отрезка AB равна разности координат его концов: $d = x_B - x_A = \frac{a+b}{2} - a = \frac{a+b-2a}{2} = \frac{b-a}{2}$.
Координата точки C находится на расстоянии $d$ от точки B: $x_C = x_B + d = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} = \frac{a+b+b-a}{2} = \frac{2b}{2} = b$.
Координата точки D находится на расстоянии $d$ от точки C: $x_D = x_C + d = b + \frac{b-a}{2} = \frac{2b}{2} + \frac{b-a}{2} = \frac{2b+b-a}{2} = \frac{3b-a}{2}$.

Ответ: $C(b)$, $D\left(\frac{3b-a}{2}\right)$.

г) На рисунке точки C и D делят отрезок AB на три равные части, то есть $AC = CD = DB$. Длина всего отрезка AB равна $b-a$. Длина каждой из трех равных частей равна $d = \frac{b-a}{3}$.
Координату точки C найдем, прибавив к координате точки A длину отрезка AC: $x_C = x_A + d = a + \frac{b-a}{3} = \frac{3a+b-a}{3} = \frac{2a+b}{3}$.
Координату точки D найдем, прибавив к координате точки C длину отрезка CD: $x_D = x_C + d = \frac{2a+b}{3} + \frac{b-a}{3} = \frac{2a+b+b-a}{3} = \frac{a+2b}{3}$.

Ответ: $C\left(\frac{2a+b}{3}\right)$, $D\left(\frac{a+2b}{3}\right)$.

4.314. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 5, 3, 7;

б) 1, 2, 10;

в) 12, 15, 18;

г) 1, 2, 5, 12;

д) 100, 200, 300;

е) 3, 4, 5, 6, 7.

Среднее арифметическое нескольких чисел — это частное от деления суммы этих чисел на их количество.

а) Чтобы найти среднее арифметическое чисел 5, 3 и 7, необходимо сложить эти числа и разделить полученную сумму на их количество, то есть на 3.

1. Находим сумму чисел: $5 + 3 + 7 = 15$.

2. Делим сумму на количество чисел: $15 \div 3 = 5$.

Ответ: 5

б) Чтобы найти среднее арифметическое чисел 1, 2 и 10, необходимо сложить эти числа и разделить полученную сумму на их количество, то есть на 3.

1. Находим сумму чисел: $1 + 2 + 10 = 13$.

2. Делим сумму на количество чисел: $13 \div 3 = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$.

Ответ: $4\frac{1}{3}$

в) Чтобы найти среднее арифметическое чисел 12, 15 и 18, необходимо сложить эти числа и разделить полученную сумму на их количество, то есть на 3.

1. Находим сумму чисел: $12 + 15 + 18 = 45$.

2. Делим сумму на количество чисел: $45 \div 3 = 15$.

Ответ: 15

г) Чтобы найти среднее арифметическое чисел 1, 2, 5 и 12, необходимо сложить эти числа и разделить полученную сумму на их количество, то есть на 4.

1. Находим сумму чисел: $1 + 2 + 5 + 12 = 20$.

2. Делим сумму на количество чисел: $20 \div 4 = 5$.

Ответ: 5

д) Чтобы найти среднее арифметическое чисел 100, 200 и 300, необходимо сложить эти числа и разделить полученную сумму на их количество, то есть на 3.

1. Находим сумму чисел: $100 + 200 + 300 = 600$.

2. Делим сумму на количество чисел: $600 \div 3 = 200$.

Ответ: 200

е) Чтобы найти среднее арифметическое чисел 3, 4, 5, 6 и 7, необходимо сложить эти числа и разделить полученную сумму на их количество, то есть на 5.

1. Находим сумму чисел: $3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25$.

2. Делим сумму на количество чисел: $25 \div 5 = 5$.

Ответ: 5

4.315. a) Среднее арифметическое двух чисел равно 5. Найдите сумму этих чисел.

б) Среднее арифметическое пяти чисел равно 2. Найдите сумму этих чисел.

в) Даны два числа: 13 и 20. Добавьте третье число так, чтобы среднее арифметическое трёх чисел было равно 16.

а) Среднее арифметическое определяется как сумма всех чисел, деленная на их количество. Пусть даны два числа, $a$ и $b$. По условию, их среднее арифметическое равно 5. Это можно записать в виде формулы:

$\frac{a + b}{2} = 5$

Чтобы найти сумму этих чисел $(a + b)$, необходимо умножить их среднее арифметическое на их количество (которое равно 2):

$a + b = 5 \times 2 = 10$

Таким образом, сумма этих двух чисел равна 10.

Ответ: 10.

б) По аналогии с предыдущим пунктом, для нахождения суммы пяти чисел необходимо их среднее арифметическое умножить на их количество. В данном случае среднее арифметическое равно 2, а количество чисел – 5.

Сумма чисел = Среднее арифметическое $\times$ Количество чисел

Сумма чисел = $2 \times 5 = 10$

Следовательно, сумма этих пяти чисел равна 10.

Ответ: 10.

в) Нам даны два числа: 13 и 20. Обозначим искомое третье число через $x$. Среднее арифметическое трёх чисел (13, 20 и $x$) должно быть равно 16.

Сначала определим, какой должна быть сумма этих трёх чисел. Для этого умножим требуемое среднее арифметическое на количество чисел:

Сумма трёх чисел = $16 \times 3 = 48$

Теперь вычислим сумму двух известных чисел:

$13 + 20 = 33$

Чтобы найти третье число $x$, вычтем сумму известных чисел из общей требуемой суммы:

$x = 48 - 33 = 15$

Значит, третье число равно 15. Проверим результат: $\frac{13 + 20 + 15}{3} = \frac{48}{3} = 16$. Условие задачи выполняется.

Ответ: 15.

4.316. Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды 21 год. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся игроков оказался равным $20 \frac{4}{5}$ года. Сколько лет игроку, получившему травму?

Для решения задачи необходимо найти суммарный возраст игроков до и после ухода одного из них, а затем найти разницу.

1. Сначала вычислим суммарный возраст всех одиннадцати игроков. Для этого умножим их количество на средний возраст:

$11 \text{ игроков} \times 21 \text{ год} = 231 \text{ год}$

Это общая сумма возрастов всех игроков до того, как один из них получил травму.

2. После того как один игрок ушел с поля, в команде осталось $11 - 1 = 10$ игроков.

3. Теперь вычислим суммарный возраст оставшихся десяти игроков. Их средний возраст составляет $20 \frac{4}{5}$ года. Для удобства вычислений переведем смешанное число в десятичную дробь или неправильную дробь.

В виде десятичной дроби: $20 \frac{4}{5} = 20 + \frac{4}{5} = 20 + 0,8 = 20,8$ года.

Суммарный возраст десяти игроков равен:

$10 \text{ игроков} \times 20,8 \text{ года} = 208 \text{ лет}$

Или, используя неправильную дробь:

$20 \frac{4}{5} = \frac{20 \times 5 + 4}{5} = \frac{104}{5}$

$10 \times \frac{104}{5} = \frac{10 \times 104}{5} = 2 \times 104 = 208 \text{ лет}$

4. Чтобы найти возраст игрока, который ушел с поля, нужно из первоначального суммарного возраста вычесть суммарный возраст оставшихся игроков:

$231 \text{ год} - 208 \text{ лет} = 23 \text{ года}$

Таким образом, возраст игрока, получившего травму, составляет 23 года.

Ответ: 23 года.