Страница 239 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.327. Вычислите площадь всех граней и объём куба с ребром:

а) $\frac{2}{3}$ см;

б) $\frac{4}{5}$ м.

а) Пусть длина ребра куба $a = \frac{2}{3}$ см.
Площадь всех граней (площадь полной поверхности) куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, так как куб имеет 6 одинаковых квадратных граней, площадь каждой из которых равна $a^2$.
Подставим значение длины ребра в формулу:
$S = 6 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ см².
Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$.
Подставим значение длины ребра в формулу:
$V = (\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$ см³.
Ответ: площадь всех граней $2\frac{2}{3}$ см², объём $\frac{8}{27}$ см³.

б) Пусть длина ребра куба $a = \frac{4}{5}$ м.
Площадь всех граней куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$.
Подставим значение длины ребра в формулу:
$S = 6 \cdot (\frac{4}{5})^2 = 6 \cdot \frac{16}{25} = \frac{96}{25} = 3\frac{21}{25}$ м².
Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$.
Подставим значение длины ребра в формулу:
$V = (\frac{4}{5})^3 = \frac{4^3}{5^3} = \frac{64}{125}$ м³.
Ответ: площадь всех граней $3\frac{21}{25}$ м², объём $\frac{64}{125}$ м³.

4.328. Вычислите площадь всех граней и объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны:

а) $1\frac{1}{3}$ дм, $\frac{1}{4}$ дм и $\frac{1}{2}$ дм;

б) $\frac{1}{5}$ дм, $1\frac{1}{4}$ дм и $\frac{1}{3}$ дм.

а)

Даны рёбра прямоугольного параллелепипеда: $a = 1\frac{1}{3}$ дм, $b = \frac{1}{4}$ дм и $c = \frac{1}{2}$ дм.

Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь:

$a = 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$ дм.

Площадь всех граней (полная поверхность) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(ab + bc + ac)$.

Найдём площади пар противоположных граней:

$ab = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ дм².

$bc = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ дм².

$ac = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ дм².

Теперь найдём общую площадь всех граней:

$S = 2(\frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{2}{3}) = 2((\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + \frac{1}{8}) = 2(1 + \frac{1}{8}) = 2 \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ дм².

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

$V = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$ дм³.

Ответ: площадь всех граней $2\frac{1}{4}$ дм², объём $\frac{1}{6}$ дм³.

б)

Даны рёбра прямоугольного параллелепипеда: $a = \frac{1}{5}$ дм, $b = 1\frac{1}{4}$ дм и $c = \frac{1}{3}$ дм.

Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь:

$b = 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$ дм.

Площадь всех граней вычисляется по формуле: $S = 2(ab + bc + ac)$.

Найдём площади пар противоположных граней:

$ab = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ дм².

$bc = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{12}$ дм².

$ac = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$ дм².

Теперь найдём общую площадь всех граней, приведя дроби к общему знаменателю 60:

$S = 2(\frac{1}{4} + \frac{5}{12} + \frac{1}{15}) = 2(\frac{1 \cdot 15}{60} + \frac{5 \cdot 5}{60} + \frac{1 \cdot 4}{60}) = 2(\frac{15 + 25 + 4}{60}) = 2 \cdot \frac{44}{60} = \frac{88}{60} = \frac{22}{15} = 1\frac{7}{15}$ дм².

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = a \cdot b \cdot c$.

$V = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ дм³.

Ответ: площадь всех граней $1\frac{7}{15}$ дм², объём $\frac{1}{12}$ дм³.

4.329. Вычислите объём классной комнаты в литрах, если её ширина 6 м, длина 8 м, а высота $3\frac{1}{4}$ м. Вычислите, сколько литров воздуха приходится на каждого из 25 учащихся, занимающихся в этом классе. Составьте и решите аналогичную задачу, учитывая размеры вашей классной комнаты и число учащихся вашего класса.

Вычислите объём классной комнаты в литрах

Чтобы найти объём комнаты, которая имеет форму прямоугольного параллелепипеда, нужно умножить её длину, ширину и высоту. Формула объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.

Дано:
Ширина $a = 6$ м
Длина $b = 8$ м
Высота $c = 3\frac{1}{4}$ м

1. Сначала вычислим объём в кубических метрах ($м^3$). Для удобства вычислений представим высоту в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$ м.

$V = 6 \cdot 8 \cdot \frac{13}{4} = 48 \cdot \frac{13}{4}$

Сократим 48 и 4:

$V = 12 \cdot 13 = 156$ м³.

2. Теперь переведём объём из кубических метров в литры. Известно, что в одном кубическом метре 1000 литров ($1 м^3 = 1000$ л).

$156$ м³ $= 156 \cdot 1000 = 156000$ литров.

Ответ: 156000 литров.

Вычислите, сколько литров воздуха приходится на каждого из 25 учащихся

Чтобы найти, какой объём воздуха приходится на одного учащегося, нужно общий объём комнаты разделить на количество учащихся.

$156000 \text{ л} \div 25 \text{ учащихся} = 6240$ л.

Ответ: 6240 литров.

Составьте и решите аналогичную задачу, учитывая размеры вашей классной комнаты и число учащихся вашего класса

Примечание: Так как реальные размеры и число учащихся неизвестны, для примера возьмём следующие данные: ширина комнаты – 7 м, длина – 9 м, высота – 3 м, а количество учащихся в классе – 28 человек.

Условие задачи: Вычислите объём классной комнаты в литрах, если её ширина 7 м, длина 9 м, а высота 3 м. Вычислите, сколько литров воздуха приходится на каждого из 28 учащихся, занимающихся в этом классе.

Решение:

1. Найдём объём комнаты в кубических метрах:

$V = 7 \cdot 9 \cdot 3 = 63 \cdot 3 = 189$ м³.

2. Переведём объём в литры:

$189$ м³ $= 189 \cdot 1000 = 189000$ литров.

3. Вычислим, сколько литров воздуха приходится на одного учащегося:

$189000 \div 28 = 6750$ литров.

Ответ: объём классной комнаты 189000 литров; на каждого учащегося приходится 6750 литров воздуха.

4.330. В магазине продаются аквариумы. Какой из двух аквариумов имеет больший объём, если их размеры: 42 см, $ \frac{1}{3} $ м, $ 2\frac{1}{2} $ дм и 54 см, $ \frac{1}{4} $ м, $ 2\frac{1}{5} $ дм?

Для того чтобы ответить на вопрос, какой из двух аквариумов имеет больший объём, необходимо вычислить объём каждого из них и сравнить полученные значения. Объём прямоугольного параллелепипеда (которым является аквариум) вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ — его длина, ширина и высота.

Прежде чем выполнять вычисления, необходимо привести все размеры к одной единице измерения. Удобнее всего перевести все величины в дециметры (дм), так как 1 кубический дециметр равен 1 литру ($1 \text{ дм}^3 = 1 \text{ л}$).

Основные соотношения единиц длины:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

$1 \text{ см} = 0,1 \text{ дм}$

Сначала найдём объём первого аквариума с размерами 42 см, $\frac{1}{3}$ м и $2\frac{1}{2}$ дм.

Переведём все размеры в дециметры:

$a_1 = 42 \text{ см} = 42 \cdot 0,1 = 4,2 \text{ дм}$

$b_1 = \frac{1}{3} \text{ м} = \frac{1}{3} \cdot 10 = \frac{10}{3} \text{ дм}$

$c_1 = 2\frac{1}{2} \text{ дм} = 2,5 \text{ дм}$

Теперь вычислим объём первого аквариума ($V_1$):

$V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1 = 4,2 \cdot \frac{10}{3} \cdot 2,5 = \frac{42}{10} \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{42 \cdot 10 \cdot 5}{10 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{210}{6} = 35 \text{ дм}^3$.

Далее найдём объём второго аквариума с размерами 54 см, $\frac{1}{4}$ м и $2\frac{1}{5}$ дм.

Переведём все размеры в дециметры:

$a_2 = 54 \text{ см} = 54 \cdot 0,1 = 5,4 \text{ дм}$

$b_2 = \frac{1}{4} \text{ м} = \frac{1}{4} \cdot 10 = 2,5 \text{ дм}$

$c_2 = 2\frac{1}{5} \text{ дм} = 2,2 \text{ дм}$

Вычислим объём второго аквариума ($V_2$):

$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = 5,4 \cdot 2,5 \cdot 2,2 = \frac{54}{10} \cdot \frac{25}{10} \cdot \frac{22}{10} = \frac{29700}{1000} = 29,7 \text{ дм}^3$.

Теперь сравним полученные объёмы:

$V_1 = 35 \text{ дм}^3$

$V_2 = 29,7 \text{ дм}^3$

Поскольку $35 > 29,7$, объём первого аквариума больше объёма второго.

Ответ: больший объём имеет первый аквариум.

4.331. Площадь пола комнаты 16 $м^2$, высота комнаты $2\frac{1}{4}$ м. Определите объём этой комнаты.

Для того чтобы найти объём комнаты, необходимо умножить площадь её пола на высоту. Объём ($V$) комнаты, которая обычно представляет собой прямоугольный параллелепипед, вычисляется по формуле:

$V = S \cdot h$

где $S$ — площадь основания (пола), а $h$ — высота.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

Площадь пола $S = 16 \text{ м}^2$.

Высота комнаты $h = 2\frac{1}{4} \text{ м}$.

Для удобства вычислений преобразуем смешанное число, обозначающее высоту, в неправильную дробь:

$h = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} \text{ м}$

Теперь подставим известные значения в формулу и вычислим объём комнаты:

$V = 16 \cdot \frac{9}{4} = \frac{16 \cdot 9}{4} = 4 \cdot 9 = 36 \text{ м}^3$

Ответ: $36 \text{ м}^3$.

4.332. Постройте развёртку прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого $\frac{2}{5}$ дм, $\frac{1}{4}$ дм, $\frac{1}{2}$ дм. Вырежьте развёртку из бумаги, оставляя припуски для склеивания, и склейте прямоугольный параллелепипед. Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда.

Для определения объёма и суммы площадей граней прямоугольного параллелепипеда, обозначим длины его рёбер как $a$, $b$ и $c$:

$a = \frac{2}{5}$ дм

$b = \frac{1}{4}$ дм

$c = \frac{1}{2}$ дм

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется по формуле, как произведение длин трёх его рёбер (длины, ширины и высоты):

$V = a \cdot b \cdot c$

Подставим в формулу заданные значения рёбер:

$V = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{2}{40}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$V = \frac{1}{20}$ дм$^3$

Ответ: $\frac{1}{20}$ дм$^3$.

Сумма площадей всех граней, или площадь полной поверхности ($S$), вычисляется по формуле, где суммируются площади всех шести граней (по две одинаковых):

$S = 2 \cdot (ab + ac + bc)$

Сначала вычислим произведения $ab$, $ac$ и $bc$:

$ab = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ дм$^2$

$ac = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ дм$^2$

$bc = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ дм$^2$

Теперь подставим эти значения в формулу для площади поверхности:

$S = 2 \cdot \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8}\right)$

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 10, 5 и 8 равен 40.

$S = 2 \cdot \left(\frac{1 \cdot 4}{10 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5}\right) = 2 \cdot \left(\frac{4}{40} + \frac{8}{40} + \frac{5}{40}\right)$

Сложим дроби в скобках:

$S = 2 \cdot \left(\frac{4+8+5}{40}\right) = 2 \cdot \frac{17}{40}$

Выполним умножение и сократим полученную дробь:

$S = \frac{2 \cdot 17}{40} = \frac{34}{40} = \frac{17}{20}$ дм$^2$

Ответ: $\frac{17}{20}$ дм$^2$.

4.333. Постройте развёртку куба, ребро которого $ \frac{1}{25} $ м. Вырежьте развёртку из бумаги, оставляя припуски для склеивания, и склейте куб. Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося куба.

Задача состоит из практической части (построение развёртки и склеивание куба) и расчётной. В данном решении мы выполним расчётную часть, определив объём и сумму площадей всех граней куба с ребром $a = \frac{1}{25}$ м.

Определите объём

Объём куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – это длина его ребра.

Подставим известное значение длины ребра в формулу:

$V = \left(\frac{1}{25}\right)^3 = \frac{1^3}{25^3} = \frac{1}{25 \times 25 \times 25} = \frac{1}{15625}$ м³

Ответ: объём куба равен $\frac{1}{15625}$ м³.

Определите сумму площадей всех граней

Сумма площадей всех граней – это площадь полной поверхности куба ($S$). Куб состоит из 6 одинаковых квадратных граней. Площадь одной грани равна $a^2$. Площадь полной поверхности вычисляется по формуле $S = 6 \times a^2$.

Сначала найдём площадь одной грани:

$S_{грани} = \left(\frac{1}{25}\right)^2 = \frac{1^2}{25^2} = \frac{1}{625}$ м²

Теперь умножим площадь одной грани на 6, чтобы найти общую площадь поверхности:

$S = 6 \times \frac{1}{625} = \frac{6}{625}$ м²

Ответ: сумма площадей всех граней куба равна $\frac{6}{625}$ м².

4.334. Квадрат площадью $1 \text{ м}^2$ разрезали на несколько равных квадратов площадью:

а) $ \frac{1}{4} \text{ м}^2;$

б) $ \frac{1}{9} \text{ м}^2;$

в) $ \frac{1}{16} \text{ м}^2;$

г) $ \frac{1}{25} \text{ м}^2.$

Сколько таких квадратов получилось?

Чтобы найти, сколько маленьких квадратов получилось, нужно общую площадь большого квадрата разделить на площадь одного маленького квадрата.

а) Площадь большого квадрата $S_{общ} = 1$ м². Площадь маленького квадрата $S_{мал} = \frac{1}{4}$ м².
Количество квадратов: $N = S_{общ} \div S_{мал} = 1 \div \frac{1}{4} = 1 \times \frac{4}{1} = 4$.
Ответ: 4.

б) Площадь большого квадрата $S_{общ} = 1$ м². Площадь маленького квадрата $S_{мал} = \frac{1}{9}$ м².
Количество квадратов: $N = 1 \div \frac{1}{9} = 1 \times \frac{9}{1} = 9$.
Ответ: 9.

в) Площадь большого квадрата $S_{общ} = 1$ м². Площадь маленького квадрата $S_{мал} = \frac{1}{16}$ м².
Количество квадратов: $N = 1 \div \frac{1}{16} = 1 \times \frac{16}{1} = 16$.
Ответ: 16.

г) Площадь большого квадрата $S_{общ} = 1$ м². Площадь маленького квадрата $S_{мал} = \frac{1}{25}$ м².
Количество квадратов: $N = 1 \div \frac{1}{25} = 1 \times \frac{25}{1} = 25$.
Ответ: 25.