Страница 241 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.335. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ на реке плот проплывает за 6 ч, а теплоход проплывает по озеру такое же расстояние за 3 ч. За сколько часов теплоход проплывает расстояние между пристанями $A$ и $B$:

а) по течению реки;

б) против течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пристанями А и В.
• $v_{теч}$ — скорость течения реки.
• $v_т$ — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде, например, в озере).

Скорость плота равна скорости течения реки. Плот проплывает расстояние $S$ за 6 часов, следовательно, скорость течения реки можно выразить как:

$v_{теч} = \frac{S}{6}$

Теплоход проплывает такое же расстояние $S$ по озеру за 3 часа. В озере течение отсутствует, поэтому скорость теплохода равна его собственной скорости:

$v_т = \frac{S}{3}$

Теперь мы можем ответить на вопросы задачи.

а) по течению реки;
При движении по течению скорость теплохода складывается из его собственной скорости и скорости течения реки:

$v_{по~теч.} = v_т + v_{теч} = \frac{S}{3} + \frac{S}{6}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$v_{по~теч.} = \frac{2S}{6} + \frac{S}{6} = \frac{3S}{6} = \frac{S}{2}$

Чтобы найти время, которое теплоход затратит на путь по течению, разделим расстояние на скорость:

$t_{по~теч.} = \frac{S}{v_{по~теч.}} = \frac{S}{\frac{S}{2}} = S \cdot \frac{2}{S} = 2$ часа.

Ответ: 2 часа.

б) против течения реки?
При движении против течения скорость течения реки вычитается из собственной скорости теплохода:

$v_{против~теч.} = v_т - v_{теч} = \frac{S}{3} - \frac{S}{6}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$v_{против~теч.} = \frac{2S}{6} - \frac{S}{6} = \frac{S}{6}$

Чтобы найти время, которое теплоход затратит на путь против течения, разделим расстояние на скорость:

$t_{против~теч.} = \frac{S}{v_{против~теч.}} = \frac{S}{\frac{S}{6}} = S \cdot \frac{6}{S} = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.

4.336. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ на реке бревно проплывает за 12 ч. Теплоход проплывает расстояние $AB$ по течению реки за 3 ч. За сколько часов теплоход проплывёт расстояние $AB$:

а) по озеру;

б) против течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями A и B.
• $v_{теп}$ – собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде, например, в озере).
• $v_{теч}$ – скорость течения реки.

По условию, бревно проплывает расстояние $S$ за 12 часов. Так как бревно движется со скоростью течения реки, мы можем найти скорость течения:

$v_{теч} = \frac{S}{12}$

Теплоход проплывает расстояние $S$ по течению за 3 часа. Скорость теплохода по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения ($v_{теп} + v_{теч}$).

$v_{теп} + v_{теч} = \frac{S}{3}$

Теперь мы можем найти собственную скорость теплохода, подставив в это уравнение найденное значение скорости течения:

$v_{теп} + \frac{S}{12} = \frac{S}{3}$

$v_{теп} = \frac{S}{3} - \frac{S}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$v_{теп} = \frac{4S}{12} - \frac{S}{12} = \frac{3S}{12} = \frac{S}{4}$

Теперь, зная собственную скорость теплохода и скорость течения, мы можем ответить на вопросы задачи.

а) по озеру

В озере течение отсутствует, поэтому теплоход будет двигаться со своей собственной скоростью $v_{теп}$. Время, за которое он пройдет расстояние $S$, равно:

$t_{озеро} = \frac{S}{v_{теп}} = \frac{S}{S/4} = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

б) против течения реки

Скорость теплохода против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения:

$v_{против} = v_{теп} - v_{теч}$

Подставим известные нам значения:

$v_{против} = \frac{S}{4} - \frac{S}{12} = \frac{3S}{12} - \frac{S}{12} = \frac{2S}{12} = \frac{S}{6}$

Время, за которое теплоход пройдет расстояние $S$ против течения, равно:

$t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{S/6} = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.

4.337. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ на реке плот проплывает за 15 мин, а катер проплывает расстояние $AB$ против течения реки за 30 мин. За сколько минут катер проплывёт расстояние $AB$:

a) по озеру;

б) по течению реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_к$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде, например, в озере).
• $v_т$ — скорость течения реки.
• $S$ — расстояние между пристанями А и В.

Скорость плота равна скорости течения реки. Из условия известно, что плот проплывает расстояние $S$ за 15 минут. Следовательно, скорость течения реки можно выразить через расстояние:

$v_т = \frac{S}{15}$

Катер проплывает расстояние $S$ против течения за 30 минут. Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения ($v_к - v_т$). Таким образом, имеем уравнение:

$v_к - v_т = \frac{S}{30}$

Теперь мы можем найти собственную скорость катера, подставив выражение для $v_т$ во второе уравнение:

$v_к - \frac{S}{15} = \frac{S}{30}$

Выразим $v_к$:

$v_к = \frac{S}{30} + \frac{S}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_к = \frac{S}{30} + \frac{2S}{30} = \frac{3S}{30} = \frac{S}{10}$

Мы нашли собственную скорость катера. Теперь можем ответить на вопросы задачи.

а) по озеру;

По озеру катер движется со своей собственной скоростью $v_к$. Время $t_{озеро}$, которое потребуется катеру, чтобы проплыть расстояние $S$, вычисляется по формуле $t = S/v$.

$t_{озеро} = \frac{S}{v_к} = \frac{S}{S/10} = 10$ минут.

Ответ: 10 минут.

б) по течению реки?

Скорость катера по течению реки $v_{по}$ равна сумме его собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_к + v_т = \frac{S}{10} + \frac{S}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_{по} = \frac{3S}{30} + \frac{2S}{30} = \frac{5S}{30} = \frac{S}{6}$

Время $t_{по}$, за которое катер проплывет расстояние $S$ по течению, равно:

$t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{S/6} = 6$ минут.

Ответ: 6 минут.

4.338. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ катер проплывает по течению реки за 8 мин, а такое же расстояние по озеру — за 12 мин.

За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями $A$ и $B$:

а) плот;

б) катер против течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пристанями А и В.
• $v_к$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде, например, в озере).
• $v_р$ — скорость течения реки.

Из условия задачи известно, что катер проплывает расстояние $S$ по озеру за 12 минут. Скорость движения в озере равна собственной скорости катера. Таким образом, мы можем выразить $v_к$:

$S = v_к \cdot 12 \implies v_к = \frac{S}{12}$

Также известно, что по течению реки катер проплывает то же расстояние $S$ за 8 минут. Скорость катера по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения ($v_к + v_р$).

$S = (v_к + v_р) \cdot 8 \implies v_к + v_р = \frac{S}{8}$

а) плот;

Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $v_р$. Чтобы найти время, за которое плот проплывёт расстояние $S$, нам нужно сначала найти скорость течения $v_р$. Мы можем сделать это, вычтя собственную скорость катера из его скорости по течению:

$v_р = (v_к + v_р) - v_к$

Подставим ранее найденные выражения для скоростей:

$v_р = \frac{S}{8} - \frac{S}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$v_р = \frac{3S}{24} - \frac{2S}{24} = \frac{S}{24}$

Теперь, зная скорость течения, можем найти время $t_{плот}$, за которое плот пройдёт расстояние $S$:

$t_{плот} = \frac{S}{v_р} = \frac{S}{S/24} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ минуты.

Ответ: 24 минуты.

б) катер против течения реки?

Чтобы найти время движения катера против течения, нужно сначала определить его скорость против течения ($v_{против}$). Эта скорость равна разности собственной скорости катера и скорости течения реки:

$v_{против} = v_к - v_р$

Подставим известные нам значения $v_к = \frac{S}{12}$ и $v_р = \frac{S}{24}$:

$v_{против} = \frac{S}{12} - \frac{S}{24}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$v_{против} = \frac{2S}{24} - \frac{S}{24} = \frac{S}{24}$

Теперь найдем время $t_{против}$, за которое катер проплывёт расстояние $S$ против течения:

$t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{S/24} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ минуты.

Ответ: 24 минуты.

4.339. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ моторная лодка проплывает против течения реки за 30 мин, а такое же расстояние по озеру — за 10 мин. За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями $A$ и $B$:

a) плот;

б) моторная лодка по течению реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями A и B.
• $v_л$ – собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде).
• $v_т$ – скорость течения реки.

Скорость лодки по течению реки равна $v_л + v_т$, а скорость против течения – $v_л - v_т$. Скорость плота равна скорости течения $v_т$.

Из условия известно, что расстояние $S$ по озеру (где течение отсутствует, скорость равна $v_л$) лодка проплывает за 10 минут. Используя формулу $S = v \cdot t$ (расстояние = скорость × время), можем выразить собственную скорость лодки:

$S = v_л \cdot 10 \implies v_л = \frac{S}{10}$

Против течения реки (со скоростью $v_л - v_т$) лодка проплывает то же расстояние $S$ за 30 минут. Составим второе уравнение:

$S = (v_л - v_т) \cdot 30 \implies v_л - v_т = \frac{S}{30}$

Теперь подставим выражение для $v_л$ из первого уравнения во второе, чтобы найти скорость течения $v_т$:

$\frac{S}{10} - v_т = \frac{S}{30}$

Выразим $v_т$:

$v_т = \frac{S}{10} - \frac{S}{30} = \frac{3S - S}{30} = \frac{2S}{30} = \frac{S}{15}$

Итак, мы нашли, что скорость течения реки равна $S/15$. Теперь можем ответить на вопросы задачи.

а) плот;

Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $v_т = \frac{S}{15}$. Чтобы найти время, за которое плот проплывет расстояние $S$, разделим расстояние на скорость:

$t_{плот} = \frac{S}{v_т} = \frac{S}{S/15} = S \cdot \frac{15}{S} = 15$ минут.

Ответ: 15 минут.

б) моторная лодка по течению реки?

Скорость лодки по течению равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по\_теч} = v_л + v_т$.

Подставим известные значения $v_л = \frac{S}{10}$ и $v_т = \frac{S}{15}$:

$v_{по\_теч} = \frac{S}{10} + \frac{S}{15} = \frac{3S}{30} + \frac{2S}{30} = \frac{5S}{30} = \frac{S}{6}$

Теперь найдем время, которое потребуется лодке, чтобы проплыть расстояние $S$ по течению:

$t_{по\_теч} = \frac{S}{v_{по\_теч}} = \frac{S}{S/6} = S \cdot \frac{6}{S} = 6$ минут.

Ответ: 6 минут.

4.340. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ моторная лодка проплывает по течению реки за 15 мин, а против течения — за 60 мин.

За сколько минут проплывёт то же расстояние:

а) бревно по реке;

б) моторная лодка по озеру?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями A и B;
• $V_л$ – собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде, например, в озере);
• $V_т$ – скорость течения реки.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается со скоростью течения, и она равна $V_{по} = V_л + V_т$.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость уменьшается на скорость течения, и она равна $V_{против} = V_л - V_т$.

Используя формулу расстояния $S = V \cdot t$, составим систему уравнений на основе данных из условия:

1. Движение по течению: $S = (V_л + V_т) \cdot 15$

2. Движение против течения: $S = (V_л - V_т) \cdot 60$

Из этих уравнений выразим скорости:

$V_л + V_т = \frac{S}{15}$ (уравнение 1)

$V_л - V_т = \frac{S}{60}$ (уравнение 2)

а) бревно по реке;

Бревно не имеет собственной скорости и плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью $V_т$. Необходимо найти время $t_a$, за которое бревно проплывет расстояние $S$. Это время вычисляется по формуле $t_a = \frac{S}{V_т}$.

Чтобы найти $V_т$, вычтем из уравнения 1 уравнение 2:

$(V_л + V_т) - (V_л - V_т) = \frac{S}{15} - \frac{S}{60}$

$2V_т = \frac{4S - S}{60} = \frac{3S}{60} = \frac{S}{20}$

Отсюда находим скорость течения:

$V_т = \frac{S}{40}$

Теперь можем найти время движения бревна:

$t_a = \frac{S}{V_т} = \frac{S}{S/40} = 40$ минут.

Ответ: 40 минут.

б) моторная лодка по озеру?

В озере течение отсутствует, поэтому лодка будет двигаться со своей собственной скоростью $V_л$. Необходимо найти время $t_b$, за которое лодка проплывет расстояние $S$. Это время вычисляется по формуле $t_b = \frac{S}{V_л}$.

Чтобы найти $V_л$, сложим уравнение 1 и уравнение 2:

$(V_л + V_т) + (V_л - V_т) = \frac{S}{15} + \frac{S}{60}$

$2V_л = \frac{4S + S}{60} = \frac{5S}{60} = \frac{S}{12}$

Отсюда находим собственную скорость лодки:

$V_л = \frac{S}{24}$

Теперь можем найти время движения лодки по озеру:

$t_b = \frac{S}{V_л} = \frac{S}{S/24} = 24$ минуты.

Ответ: 24 минуты.

4.341. Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывёт 5 суток, а обратно – 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань приплывут плоты?

Пусть $S$ — расстояние от Нижнего Новгорода до Астрахани, $v_т$ — собственная скорость теплохода (в стоячей воде), а $v_р$ — скорость течения реки.

Когда теплоход плывет по течению (из Нижнего Новгорода в Астрахань), его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_т + v_р$. Время в пути составляет 5 суток. Расстояние можно выразить уравнением: $S = (v_т + v_р) \cdot 5$.

Из этого уравнения следует, что скорость по течению равна $v_т + v_р = \frac{S}{5}$.

Когда теплоход плывет против течения (из Астрахани в Нижний Новгород), его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_т - v_р$. Время в пути составляет 7 суток. Расстояние можно выразить уравнением: $S = (v_т - v_р) \cdot 7$.

Из этого уравнения следует, что скорость против течения равна $v_т - v_р = \frac{S}{7}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($v_т$ и $v_р$):
$v_т + v_р = \frac{S}{5}$
$v_т - v_р = \frac{S}{7}$

Плот не имеет собственного двигателя, поэтому он движется со скоростью течения реки, то есть $v_{плота} = v_р$. Нам необходимо найти время $t_{плота}$, за которое плоты проплывут расстояние $S$. Это время равно $t_{плота} = \frac{S}{v_р}$.

Чтобы найти скорость течения $v_р$, вычтем второе уравнение из первого:

$(v_т + v_р) - (v_т - v_р) = \frac{S}{5} - \frac{S}{7}$

$2v_р = \frac{7S - 5S}{35}$

$2v_р = \frac{2S}{35}$

Разделив обе части на 2, получим скорость течения:

$v_р = \frac{S}{35}$

Теперь, зная скорость течения, мы можем рассчитать время движения плотов:

$t_{плота} = \frac{S}{v_р} = \frac{S}{S/35} = 35$ суток.

Ответ: 35 суток.